1、一、 考纲要求：1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法二、概念掌握及解题上的注意点：1. 分组转化法求和的常见类型(1)若 an bncn，且 bn， cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求 an的前n 项和(2)通项公式为 anError!的数列，其中数列 bn， cn是或等差数列，可采用分组求和法求和 错位相减法求和的适用范围如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和.3.错位相减法求和的注意事项在写出“ Sn”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确
2、写出“ Sn qSn”的表达式.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1两种情况求解.三、高考考题题例分析：例 1.（2018 天津卷） 设a n是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（nN*） ，b n是等差数列已知 a1=1，a 3=a2+2，a 4=b3+b5，a 5=b4+2b6（）求a n和b n的通项公式；（）设数列S n的前 n 项和为 Tn（nN*） ，（i）求 Tn；（ii）证明 = 2（nN*） 【答案】 （） ，b n=n；（） （i）【解析】：（）解：设等比数列a n的公比为 q，由 a1=1，a 3=a2+2，可得 q2
3、q2=0q0，可得 q=2故 设等差数列b n的公差为 d，由 a4=b3+b5，得 b1+3d=4，由 a5=b4+2b6，得 3b1+13d=16，b 1=d=1故 bn=n；例 2.（2018 江苏卷）已知集合 A=x|x=2n1，nN*，B=x|x=2 n，nN*将 AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a n，记 Sn为数列a n的前 n 项和，则使得Sn12a n+1成立的 n 的最小值为 【答案】27【解析】：利用列举法可得：S26= ，a 27=43，12a 27=516，不符合题意S27= =546， 28=451228=540，符合题意，故答案为：27例 3.【2017
4、 课标 1，理 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依 此 类 推 .求 满 足 如 下 条 件 的 最 小 整 数 N： N100 且 该 数 列 的 前 N 项 和为 2 的 整 数 幂 .那 么该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330 C220 D110【答案】A例 4.【2015 高考新课标
5、 2，理 16】设 是数列 的前 n 项和，且 ，nSa1a，则 _11nnaSn【答案】 【解析】：由已知得 ，两边同时除以 ，得11nnnaSS 1nS，故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则1nSn，所以 ()n1S例 5.【2015 高考山东，理 18】设数列 的前 n 项和为 .已知 .anS23n（I）求 的通项公式；na（II）若数列 满足 ，求 的前 n 项和 .b3lognnabT【答案】 （I） ; （II） .13,na13624nnT（II）因为 ，所以 3lognnab13b当 时， 11n所以 3T当 时，n12112333nnbb所以 0 nnT两式相减，得
6、经检验， 时也适合，1n综上可得： 3624nT例 6.(2017全国卷)设数列 an满足 a13 a2(2 n1) an2 n.(1)求 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 1【答案】(1) an .22n 1(2) Sn2n2n 1例 7.(2017山东高考)已知 an是各项均为正数的等比数列，且 a1 a26， a1a2 a3.(1)求数列 an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n1 bnbn1 ，求数列 的bnan前 n 项和 Tn.【答案】(1) an2 n.(2) Tn5 .2n 52n【解析】： (1)设 an的公比为
7、 q，由题意知 a1(1 q)6， a q a1q2，21又 an0，由以上两式联立方程组解得 a12， q2，所以 an2 n.(2)由题意知 S2n1 (2 n1) bn1 ， 2n 1 b1 b2n 12又 S2n1 bnbn1 ， bn1 0，所以 bn2 n1.令 cn ，则 cn .bnan 2n 12n因此 Tn c1 c2 cn ，32 522 723 2n 12n 1 2n 12n又 Tn ，12 322 523 724 2n 12n 2n 12n 1两式相减得Tn ，12 32 (12 122 12n 1) 2n 12n 1所以 Tn5 .2n 52n例 8.(2016北京
8、高考)已知 an是等差数列， bn是等比数列，且b23， b39， a1 b1， a14 b4.(1)求 an的通项公式；(2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和【答案】(1) an2 n1( n1,2,3，)(2) n2 .3n 12(2)由(1)知 an2 n1， bn3 n1 .因此 cn an bn2 n13 n1 .从而数列 cn的前 n 项和Sn13(2 n1)133 n1 n2 .n 1 2n 12 1 3n1 3 3n 12数列求和练习一、选择题1已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S39， S525，则 S7 ( )A41 B48C49 D56【答案】
9、C2数列12 n1 的前 n 项和为 ( )A12 n B22 nC n2 n1 D n22 n【答案】C【解析】：由题意得 an12 n1 ，所以 Sn n n2 n11 2n1 23数列 an的通项公式是 an(1) n(2n1)，则该数列的前 100 项之和为 ( )A200 B100C200 D100【答案】D【解析】：根据题意有 S1001357911197199250100，故选D4数列 1 ，3 ，5 ，7 ，(2 n1) ，的前 n 项和 Sn的值等于 ( )12 14 18 116 12nA n21 B2 n2 n112n 12nC n21 D n2 n112n 1 12n【
10、答案】A 【解析】：该数列的通项公式为 an(2 n1) ，12n则 Sn135(2 n1) (12 122 12n) n21 .12n5数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an ，则 S5等于 ( )1n n 1A1 B56C D16 130【答案】B【解析】： an ，1n n 1 1n 1n 1 S5 a1 a2 a51 .12 12 13 16 566数列 an的通项公式是 an ，前 n 项和为 9，则 n 等于 ( )1n n 1A9 B99C10 D100【答案】B 7已知数列 an中， an4 n5，等比数列 bn的公比 q 满足 q an an1 (n2)且b1 a2，则|
11、 b1| b2| b3| bn| ( )A14 n B4 n1C D1 4n3 4n 13【答案】B【解析】：由已知得 b1 a23， q4， bn(3)(4) n1 ，| bn|34 n1 ，即| bn|是以 3 为首项，4 为公比的等比数列| b1| b2| bn| 4 n13 1 4n1 48在数列 an中， an1 an2， Sn为 an的前 n 项和若 S1050，则数列 an an1 的前10 项和为 ( )A100 B110 C120 D130【答案】C【解析】： an an1 的前 10 项和为 a1 a2 a2 a3 a10 a112( a1 a2 a10) a11 a12
12、S10102120.故选 C9数学文化中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了 ( )A192 里 B96 里 C48 里 D24 里【答案】B 【解析】：由题意，知每天所走路程形成以 a1为首项，公比为 的等比数列，则12378，解得 a1192，则 a296，即第二天走了 96 里故选 B.a1(1 126)1 1210已知数列 5,6,1，5，该数列的特点
13、是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和 S16等于 ( )A5 B6 C7 D16【答案】C 11已知函数 f(x) xa的图象过点(4,2)，令 an ， nN *，记数列 an1f n 1 f n的前 n 项和为 Sn，则 S2 019 ( )A 1 B 12 018 2 019C 1 D 12 020 2 020【答案】C 【解析】：由 f(4)2 得 4a2，解得 a ，则 f(x) x .12 12 an ，1f n 1 f n 1n 1 n n 1 nS2 019 a1 a2 a3 a2 019( )( )( )( 2 1 3 2 4 3 2 02
14、0) 1.2 019 2 02012已知函数 f(x)的图象关于 x1 对称，且 f(x)在(1，)上单调，若数列 an是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50) f(a51)，则 an的前 100 项的和为 ( )A200 B100C0 D50【答案】B【解析】：因为函数 f(x)的图象关于 x1 对称，又函数 f(x)在(1，)上单调，数列 an是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50) f(a51)，所以 a50 a512，所以 S10050( a50 a51)100，故选 B. 100 a1 a1002二、填空题13设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 ansin ， nN *
15、，则 S2 018_.n2【答案】1【解析】： ansin ， nN *，显然每连续四项的和为 0.n2S2 018 S4504 a2 017 a2 0180101.14计算：32 1 42 2 52 3 ( n2)2 n_.【答案】4 n 42n15(2017全国卷)等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a33， S410，则_.n k 11Sk【答案】 2nn 1【解析】：设等差数列 an的公差为 d，则由Error!得Error! Sn n1 1 ，n n 12 n n 12 2 .1Sn 2n n 1 (1n 1n 1) n k 11Sk 1S1 1S2 1S3 1Sn2 (112
16、12 13 13 14 1n 1n 1)2 .(11n 1) 2nn 116已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2 an2 n，则 Sn_. 【答案】 n2n(nN *) 三、解答题17已知数列 an的前 n 项和 Sn满足： Sn n22 n， nN *.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和. 1anan 1【答案】(1) an2 n1(2) n6n 9【解析】： (1)当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1，a1 S13 也满足 an2 n1，所以数列 an的通项公式为 an2 n1.(2)由(1)知 ，1anan 1 12( 12n 1 12n 3)
17、则 Tn12(13 15 15 17 12n 1 12n 3) .12(13 12n 3) 16 14n 6 n6n 918.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a11， S3 S4 S5.(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn(1) n1 an，求数列 bn的前 2n 项和 T2n.【答案】(1) an1( n1)22 n1(2) T2n2 n.19.已知等差数列 an中，2 a2 a3 a520，且前 10 项和 S10100.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn ，求数列 bn的前 n 项和. 1anan 1【答案】(1) an2 n1(2) n2n 1【解析】：
18、(1)由已知得Error!解得Error!所以数列 an的通项公式为 an12( n1)2 n1.(2)bn1 2n 1 2n 1 ，12( 12n 1 12n 1)所以 Tn12(1 13 13 15 12n 1 12n 1) .12(1 12n 1) n2n 120已知数列 an的前 n 项和 Sn ，数列 bn满足 bn an an1 (nN *)n n 12(1)求数列 bn的通项公式；(2)若 cn2 an(bn1)( nN *)，求数列 cn的前 n 项和 Tn.【答案】(1) bn2 n1(2) Tn( n1)2 n2 4.21.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm
19、1 4， Sm0， Sm2 14( m2，且 mN *). (1)求 m 的值；(2)若数列 bn满足 log 2bn(nN *)，求数列( an6) bn的前 n 项和an2【答案】(1) m5(2) Tn( n1)2 n1 (nN *)12【解析】： (1)由已知得 am Sm Sm1 4，且 am1 am2 Sm2 Sm14，设数列 an的公差为 d，则 2am3 d14， d2.由 Sm0，得 ma1 20，m m 12即 a11 m， am a1( m1)2 m14， m5.(2)由(1)知 a14， d2， an2 n6， n3log 2bn，得 bn2 n3 .( an6) bn
20、2 n2n3 n2n2 .设数列( an6) bn的前 n 项和为 Tn， Tn12 1 22 0( n1)2 n3 n2n2 ， 2Tn12 022 1( n1)2 n2 n2n1 ， ，得 Tn2 1 2 02 n2 n2n1 n2n12 1 1 2n1 22 n1 n2n1 ，12 Tn( n1)2 n1 (nN *)1222设 Sn是数列 an的前 n 项和，已知 a13， an1 2 Sn3( nN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn(2 n1) an，求数列 bn的前 n 项和 Tn.【答案】(1) an3 n.(2) Tn( n1)3 n1 3.(2)法一：由(1)得 bn(2 n1) an(2 n1)3 n， Tn1333 253 3(2 n1)3 n，3Tn13 233 353 4(2 n1)3 n1 ，得2 Tn1323 223 323 n(2 n1)3 n1 32(3 23 33 n)(2 n1)3 n132 (2 n1)3 n132 1 3n 11 36(2 n2)3 n1 . Tn( n1)3 n1 3.
