1、【高考地位】从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大.【方法点评】方法一 由等差或等比数列的性质求值解题模板：第一步 观察已知条件和所求未知量的结构特征；第二步 选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系；第三步 整理化简，求得代数式的值.例 1 在等差数列 中 则 的最大值等于na12100,a3,且 56aA. 3 B. 6 C. 9 D. 36【答案】C考点：数列，基本不等式例 2 在等比数列 所以中, , 则 等于（ ）na6135a415,a908A 或 B 或 C D
2、322332【答案】A【解析】第一步，观察已知条件和所求未知量的结构特征：因为在等比数列 所以中, , na6135a415,a第二步，选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系：所以 6514a第三步，整理化简，求得代数式的值：所以 或 ，所以 或 。3214a14908a32考点：等比数列的性质.二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.8 【2018 年新课标 I 卷】记 为数列 的前 项和，若 ，则 _【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的 ，类比着写出 ，两式相减，整理得到，从而确定出数列
3、为等比数列，再令 ，结合 的关系，求得 ，之后应用等比数列的求和公式求得 的值.详解：根据 ，可得 ，两式相减得 ，即 ，当 时， ，解得 ，所以数列 是以-1 为首项，以 2 为公布的等比数列，所以 ，故答案是 .点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.9 【2018 年浙江卷】已知等比数列 an的公比 q1，且 a3+a4+a5=28， a4+2 是 a3，
4、 a5的等差中项数列bn满足 b1=1，数列（ bn+1bn） an的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列 bn的通项公式 【答案】 （）（）【解析】分析:（）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比， （）先根据数列前 n 项和求通项，解得 ，再通过叠加法以及错位相减法求 .（）设 ，数列 前 n 项和为 .由 解得 .由（）可知 ，所以 ，故 ，.设 ，所以 ，因此 ，又 ，所以 .点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
5、“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.10设 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（ nN *） ； bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为Tn（ nN *） 已知 b1=1， b3=b2+2， b4=a3+a5， b5=a4+2a6（）求 Sn和 Tn；（）若 Sn+（ T1+T2+Tn）= an+4bn，求正整数 n 的值【答案】() ， ；()4.【解析】分析：（I）由题意得到关于 q 的方程，解方程可得 ，则 .结合题意可得等差数列的首项和公差为 ，则其前 n 项和 .（II）由（I） ，知 据此可
6、得 解得 （舍） ，或 .则n 的值为 4. 详解：（I）设等比数列 的公比为 q，由 b1=1， b3=b2+2，可得 因为 ，可得 ，故 所以， 设等差数列 的公差为 由 ，可得 由 ，可得 从而，故 ，所以， 点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.11 【2018 年北京卷】设 是等差数列，且 .（）求 的通项公式；（）求 .【答案】 （I）（II）【解析】分析：（1）设公差为 ，根据题意可列关于 的方程组，求解 ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得 ，进而可利用等比数列求和公式进行求解.详解：（I）设等差数
7、列 的公差为 ， ， ，又 ， . .（II）由（I）知 ， ， 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. . 点睛：等差数列的通项公式及前 项和共涉及五个基本量 ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.12 【2018 年新课标 I 卷】已知数列 满足 ， ，设 （1）求 ；（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；（3）求 的通项公式【答案】(1) b1=1， b2=2， b3=4(2) bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列理由见解析.(3) an=n2n-1【解析】分析：(1)根据题中条件所给的数列 的递推公式 ，将其化为an+1= ，分别令 n=1 和 n=2，
8、代入上式求得 a2=4 和 a3=12，再利用 ，从而求得b1=1， b2=2， b3=4(2)利用条件可以得到 ，从而 可以得出 bn+1=2bn，这样就可以得到数列 bn是首项为 1，公比为2 的等比数列(3)借助等比数列的通项公式求得 ，从而求得 an=n2n-1（2） bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由条件可得 ，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列（3）由（2）可得 ，所以 an=n2n-1点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理
9、得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列 的通项公式，借助于 的通项公式求得数列 的通项公式，从而求得最后的结果.13 【2018 年全国卷】等比数列 中， （1）求 的通项公式；（2）记 为 的前 项和若 ，求 【答案】 （1） 或 .（2） .【解析】分析：（1）列出方程，解出 q 可得；（2）求出前 n 项和，解方程可得 m。（2）若 ，则 由 得 ，此方程没有正整数解若 ，则 由 得 ，解得 综上， 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式，属于基础题。14 【2018 年全国卷 II】记 为等差数列 的前 项和，已知 ，（1）求 的通项公式
10、；（2）求 ，并求 的最小值【答案】 （1） an=2n9， （2） Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果， （2）根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（ n4） 216所以当 n=4 时， Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数
11、集这一限制条件. 【反馈练习】1已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足 nanT34a627Tnb123nb， ，设 ，则数列 的前 11 项和为（ ）nb12ncabncA 1062 B 2124 C 1101 D 1100【来源】2018 年普通高校招生全国卷 一（A） 【衡水金卷】高三信息卷 （五）文科数学试题【答案】C2已知 ， ， ， 成等差数列， ， ， ， ， 成等比数列，则 的值是（ ）1a241b23412abA B C 或 D 552【来源】 【全国百强校】河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理）试题【答案】A【解析】依题意可知 ,所以 .212
12、245,14,abb125ab3已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ， 与 的等差中项为 ，则 （ ）nnS163a46325SA B 30 C 31 D 5125432【来源】 【全国校级联考】吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校 2018 届高三 1 月联合模拟考数学（文）试题【答案】C故答案为：C。4已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）nanS63934aA 31 B 12 C 13 D 52【来源】 【全国百强校】河南省漯河市高级中学 2018 届高三上学期第四次模拟考试（12 月）数学（文）试题【答案】C【解析】由等差数列的前 n 项和公
13、式和等差数列的性质有：，166163432aSaa即： .3449,本题选择 C 选项.5已知 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，若 ，则 为（ ）nSna396S、 、 83a25aA 3 B 6 C 8 D 9【来源】 【全国校级联考】湖南省五市十校教研教改共同体 2018 届高三 12 月联考数学（理）试题【答案】B【解析】由题意得9369361112,2qqSqaa，所以 ，选 B.63121qq82563426已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列，则 （ ）nanS,na17SA B C D 0234【来源】 【全国市级联考】云南省昆明市 2017 届高三下学期第二次统测数学
14、（理）试题【答案】B【解析】本题以数列为背景，涉及数列前 项和，等差数列的性质，隐含求解数列问题常用的思想方法，n如构造，递推与划归等，属于中档题型。请在此填写本题解析!7在正项等比数列 中，若 成等差数列，则 _na132,a53a【来源】 【全国市级联考】宁夏石嘴山市 2018 届高三 4 月适应性测试（一模）数学（文）试题【答案】 .32【解析】由于 成等差数列,所以 ,即 , ,解得132,a312a211aq20q.故 .2q53q15等比数列 中，各项都是正数，且 , , 成等差数列，则 =_na1a3221345a【来源】2018 届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考数学文
15、科试卷【答案】 218已知三个数 ， ， 成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项，1a5a na则能使不等式 成立的自然数 的最大值为 _1212nn n【来源】 【全国市级联考】河南省平顶山市 2017-2018 学年期末调研考试高二理科数学【答案】7【解析】 因为三个数 成等比数列，所以 ，所以 ，1,5a215aa3倒数重新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项为 ，公比为 ，na,84所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，na82则不等式 等价为 ，1212nnaa 1182nn整理，得 ，所以 ，所以 的最大值为 72n17,nNn79数列 为等比数列， 且 成等
16、差数列，则公差 _naa135,4ad【来源】 【全国校级联考】江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校 2018 届高三 12 月联考数学试题【答案】310已知数列 满足 ， .记 ，则数列 的前 项和na112nna2nCanC_.12.nC【来源】 【全国校级联考】河南省中原名校（豫南九校）2018 届高三上学期第四次质量考评（期中）数学（文）试题【答案】 2n【解析】由 得， ，所以 是以 为公差的等差数列，故1nna12nna1na2，所以 ，利用错位相减法可得：2na2nCa，故填 .1.nCn11已知数列 满足 ，数列 满足 .na11,2nnb12lognna(1)求数
17、列 ， 的通项公式；b(2)设数列 的前 n 项和为 ，求使得 对任意正整数 都成立的实数 的取值范围.nT24nmm【来源】 【全国校级联考】辽宁省辽南协作校 2017-2018 学年高三下学期第一次模拟考试题数学（文科）【答案】(1) ， ；(2) .12na2b4【解析】试题分析：（1）由 ，即可得数列 是首项是 1，公比为 的等比数列，可得11,naana2数列 的通项公式，由 ，即可得数列 的通项公式；（2）由数列 可得 ， na12lognnbanbnbnT对任意正整数 都成立等价于 任意正整数 都成立，即可求得实数 的取值24Tm6m m范围. 试题解析：（1）由 ，11,02nna 为首项是 1，公比为 的等比数列na 2n 21lognnb12在数列 和 中， ， ， ， ，等比数列 满足 .nab1=a12na13b27ncnnba（）求数列 和 的通项公式； nc（）若 ，求 的值6m【来源】 【全国区级联考】北京市丰台区 2018 年高三年级一模数学试题（文）【答案】(1) , ;(2) .21nanc=38m【解析】试题分析：（1）根据等差和等比数列通项的求法得到 ， （2） ， 21nanc2nnba，可得到 ，进而求出参数值.nnb（）因为 ， ，2nnba1所以 1所以 6=75令 ， 得 2m38
