1、专训 2 菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等利用菱形的性质与判定判断图形的形状1 【 中考北京】如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，ADBC，AD 2BC ，ABD90，E 为 AD 的中点，连接 BE.(1)求证：四边形 BCDE 为菱形；(2)连接 AC，若 AC
2、 平分BAD，BC1，求 AC 的长(第 1 题 )来源:gkstk.Com利用菱形的性质与判定证明线段的关系2 【 中考 滨州】如图，在 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于 BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点12E，连接 EF，则所得四边形 ABEF 是菱形(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 ABEF 是菱形；(2)若菱形 ABEF 的周长为 16，AE 4 ，求C 的大小3(第 2 题)利用菱形的性质与判定求线段长3 【 中考包头】如图，在ABC 中，C 90，B30，AD
3、是ABC 的角平分线，DEBA 交 AC 于点 E，DF CA 交 AB 于点 F，已知 CD3.(1)求 AD 的长；(2)求四边形 AEDF 的周长(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)(第 3 题)来源:学优高考网利用菱形的性质与判定解决面积问题4 【 中考 云南 】如图，ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点(1)求证：四边形 AEDF 是菱形；(2)如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF 的面积 S.(第 4 题)来源:学优高考网 gkstk答案1(1)证明：AD2BC，E
4、为 AD 的中点，DEBC.ADBC，四边形 BCDE 是平行四边形ABD90，AEDE，BEDE.四边形 BCDE 是菱形(2)解：ADBC，AC 平分BAD，BACDACBCA.ABBC1.ABD90，E 为 AD 的中点，BEAE AD.12AD2BC 2，BEAEAB1.ABE 为等边三角形，BAE60.DAC30，ADB 30.ADC60.ACD 90.在 RtACD 中，AD2，DAC30，CD1.AC .32(1)证明：由作图过程可知，ABAF ，AE 平分BAD.BAEEAF.四边形 ABCD 是平行四边形，BCAD.AEBEAF.BAEAEB.BEAB.BEAF.AFBE，四
5、边形 ABEF 是平行四边形ABBE，四边形 ABEF 是菱形(2)解： 如图，连接 BF，交 AE 于 G，(第 2 题)菱形 ABEF 的周长为 16，AE 4 ，3ABBEEFAF 4，AG AE2 ，AEBF.12 3在 RtABG 中，AB 2AG 2BG 2，4 2(2 )2 BG2.3BG2.BF 2BG4.ABAFBF4.ABF 为等边三角形BAF 60.四边形 ABCD 是平行四边形，CBAF60.3解：(1)C 90，B30，CAB60.AD 平分CAB，CAD CAB30.12在 RtACD 中，ACD90，CAD 30 ，AD2CD6.(2)DE BA 交 AC 于点
6、E， DFCA 交 AB 于点 F，四边形 AEDF 是平行四边形，EAD ADF.又EAD FAD，ADF FAD.AFDF.四边形 AEDF 是菱形AEDE DFAF.在 RtCED 中，CDEB30 ，CE DE.12又CE 2CD 2DE 2， 9DE 2.(12DE)2DE2 (负值舍去 )3四边形 AEDF 的周长为 8 .34(1)证明：ADBC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，在 RtABD 中，DE ABAE ，12在 RtACD 中，DF ACAF.12又ABAC ，来源:gkstk.ComAEAF DEDF.四边形 AEDF 是菱形(2)解：如图，设 EF 与 AD 相交于点 O.(第 4 题)菱形 AEDF 的周长为 12，AE3，设 EFx，ADy，则 xy7，x 22xyy 249，易知 ADEF，在 RtAOE 中，AO 2EO 2AE 2， 3 2.来源:学优高考网(12y)2 (12x)2 即 x2y 236，把代入，可得 2xy13，xy .132菱形 AEDF 的面积 S xy .12 134
