1、11. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如 212121(,;,;,)0nnuuFxxx 其中： 为多元函数.12,)nu方程的阶：未知函数导数的最高阶数；方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的；方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数；特解:不含任意独立函数的方程的解.例如： 为一阶非线性非齐次偏微分
2、方程； 为未知函数。22()sincouxyxy u为二阶线性齐次方程；220uxyz二阶线性非其次偏微分方程 的通解为2uyx21(,)()uxyxyFG其中， 为两个任意独立的函数.,()注意：通解所含独立函数的个数偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为 (,)LuGxy2其中， 为二阶线性偏微分算符，满足L1212.cucuL(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当 为方程的解，则 也为方程的解；u()cRb. 为方程的解，则 也为方程的解.12, 12u(2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. 为非齐次方程的特解， 为齐次方程的通解，
3、则 为非其次的通解；IuI Iub. 若 则12(,)(,).LHxyLuxy1212(,)(,).LuHxy(3).线性偏微分方程的叠加原理若 是方程 的解(其中 为二阶线性偏微分算符),如果级数ku(1,)kf收敛，且二阶偏导数存在，则 一定是1()kkcR1kuc的解；特别地，若 是方程 的解，则 一定是1kLuf ku0L1kuc的解.04.1 数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，x如图 1.1 所示.设 是平衡时坐标为 的点 时刻沿 方向的位移，现在求弦(,)utxty上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段 与外界的相互作用以建立方
4、程.(,)d假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力 T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为 ，tu单位长度的质量为 或线密度为 ；3(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角 也是很小的，则12,32sin,!ta,cos1.!iiii iii ii而 2tan().Tiiuukdsdxx根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有 21()cos()cs0()(.dTxTR在横向上有 21sini()().ttxdxTgdsuu根据 ，上式可以化简为()()fxdf2 2() .t tuuTxgdsTgux即弦的横振动方程为
5、22.(,)txxuuaga此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中 就是弦上振a动传播的速度.图 1.1 所示4讨论：若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为(*)2.txua此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.如果在弦的单位长度上还有横向外力 作用，则 (*)式可以改为(,)Fxt2.*txuaf则(*)式称为弦的受迫振动，其中 (,)(,).xtft对于 ，两端固定，则 ，弦在 时无纵向移动，0t0,xxlu0t。则，00,ttuv轻弦 ，重弦 ，g 为自由项200,txxlttauv 200,txxlttuav若在 处给予一个冲击力，
6、初始速度为 ，则轻弦的振动方0x 00,()tux程为2000,()txxlttuav51.2 定解条件( 初始条件与边界条件)1. 初始条件 定义：说明某一具体物理现象的初始状态.例如：对于热传导问题，若已知物理量 的初始温度分布，即u0(,;)|(,).txyzxyz其中 为已知函数.(,)xyz对于振动过程，由于出现 ，所以需要两个初始条件，即初始位移及初始速度：tu0(,;)|(,).ttxyzxyz而对于描述稳态场的 Poisson 方程与 Laplace 则没有初始条件 .注意：初始条件应当给出的是整个系统的初始状态，而不仅是系统个别点的状态.例 1. 一根长为 的两段固定的弦，用
7、手将它的中点横向拉开距离为 ，如图l h1.2 所示，然后放手任其自由振动.写出它的初始条件.图 1.2解： 0 02,/2(,)| ;(,)|.(),t tthxlluxuxx 2. 边界条件定义：描述系统在边界上的情况.从数学上归纳为三类边界条件：(1).第一类边界条件 (Dirichlet). 给出未知函数在边界上的值：600(,;)|(,;),.uxyztfxyztxyz例如：弦的两端固定，其边界条件为 ,(,.ul(2).第二类边界条件 (Neumann). 给出未知函数在边界上的法向导数值： 00(,;)(,;),.uxyztfxyztxyzn例如：考虑细杆的导热问题，若杆的某个端
8、点 有热量沿该端点外法线流出，a则其边界条件为 绝热状态：|().nxakuft|.nxku判定：边界上给定杆一端“自由” 、 “绝热” “限定源扩散”等.(3).第三类边界条件 (Robin). 给出未知函数在边界上的值与边界的法向导数值之间的线性关系： 00(,;)(,;)(,;),.uxyztuxyztkfxyztxyzknR例如：在杆的导热问题中，若杆在某个端点 自由冷却，即从杆流出的热量a强度 与温度差 之间的关系为|nxak0|xau00|(|)()|.nxanxakkhuuh其中 为周围介质的温度.0u注意：边界条件也分有齐次边界条件与非齐次边界条件之分，其定义如前微分方程的齐次
9、与非齐次类似.边界条件还会遇到衔接边界条件；有限性条件；周期性条件等.例 2. 长为 的弦两段固定，线密度为 ，开始在 处受到冲量l xc(|)I 的作用.写出定解条件.解：(1)边界条件： (0,),0.utlt(2)初始条件. 初始位移： 初始速度：在 段，由动量定理()x|xc(,)2(,).t tImuxx7所以 (,0).|2.|ttIuxxc例 3 2.txa设 ，t1,axtt，uuux2222222 2uuxxx （1）同理 2222()uuat（2）代入原方程，得，利用偏积分20ua，()ud()()()()ugfgfxatgt为两个未知函数 ,fg附加定解条件200(),(
10、)txt tua0() 3()(4)ttufxgxa对（4）进行积分，得 01 (5)xfxgdCa8解(3)、(5)得 ，所以01()() 22()xCfxdag011()()() 222xattfxatxtdCg。11(,)()()()2xatuxtatxtd若取 ，则2,2,3)utt可见对定解条件的依赖。1.3 定解问题的提法1. 定解问题的三种提法(1).初值问题：只有初始条件没有边界条件的定解问题；(2).边值问题：只有边界条件没有初始条件的定解问题；(3).混合问题：既有初始条件又有边界条件的定解问题.2. 定解问题的适定性(1).解的存在性 .(2).解的唯一性 .(3).解的
11、稳定性.如果一个问题的解是存在、唯一且稳定的，则称此问题是适定的.9二、分离变量法0 引言偏微分方程可实施分离变量的条件：对于常系数二阶齐次偏微分方程总是可以实施变量分离的；而对于变系数的二阶齐次偏微分方程则需要满足一定的条件，才可以实施变量分离.边界条件可实施变量分离的条件：只有当边界条件(第一类、第二类及第三类边界条件)为齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件.此外，进行分离变量时，需要根据边界条件选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系(二维) ，柱坐标系及球坐标系.2.1 直角坐标系下的分离变量(有界问题)1. 分离变量法简介下面以一维有界弦的自由振动为例，阐述分离变量法的基本思路
12、与主要步骤.例 1 具体考虑长度为 ，两端固定的均匀弦的自由振动，即下列定解问题l范定方程 20.(,0)txuaxlt边界条件 (,)|,)|.(xlut初始条件 00|(|)tttx xl 注意：此问题中，方程和边界条件均为齐次的，初始条件为非齐次的，所以可以用分离变量法求解.【解】第一步：分离变量.10将分离变量形式的试探解 代入齐次范定方程和齐次边界条件，(,)()uxtXTt导出独立变量满足的常微分方程的边值问题.注意到 为独立的自变量，由此范定方程变为,xt( 为常数)2 2()()()0.)xTtXTaxTtXa于是，范定方程可以分离成两个常微分方程，即范定方程 2()()0.x
13、Ttat齐次边界条件 (0),()()()0.Xtl Xl第二步：求解本征值(固有值)问题.现求解 满足的常微分方程Xx(1)()()0.0l分 三种情形逐一加以分析.0,当 时. (1)的通解为 常数 由边界条件确定，12().xxXCe12,C即 1212 120() 0.0xxllXCeel从而 无意义，不合题意.()(,)0xut当 时. (1)的通解为 由边界条件同样得到 从而12().XxC120.C无意义，不合题意，也应舍去. ()0(,)Xxt当 时. (1)的通解为 由12()cossin.xxx112 212 0()cosincsi00,i0.CxCllXll此时，若 所以
14、一定有sin(,).luxt2i0).nllnZl11与 对应的函数为n22()sin.()nXxCxlR注意：分离变量过程中引入的常数 只能取 这种特定数值，才可以得到有2l意义的解.常数 的这种特定数值称为本征值，相应的解称为本征函数.方程(1)构成本征值问题.第三步：求解 满足的常微分方程.()Tt将 代入 中，得到2nl2()0tat2 ()()cossin.nnaaTttTtCtDtl ll式中 为待定常数.,nCD第四步：作特解的线性叠加. 根据以上分析，可以得到原问题的特解为 2(,)()sincossinnn naauxtXTtCxttlllsicoi).(1,2)atDl由于
15、范定方程与边界条件均为线性而且齐次的，故线性叠加后的解(*)1(,)(sin)(cssin).nauxtxCttlll仍然满足范定方程和边界条件.此处， 尚未确定.,nD第五步：由初始条件确定系数.代入初始条件 可以得到00(,)|(),|().)tttuxuxxl1sin()(nClaDx利用正弦函数的正交性 ,0sini.(1,2)2l mnmxldxl 12用 乘以上式两边后，对 从 0 到 积分，可得sinmxlxl02()sin.(1,2).,lnlCdxlDx将 代回(*)式即得定解问题的解.,nC2. 解的物理意义先看级数的每一项 (,)sin)(cossin)cos()(sin
16、).nn naauxtxCtDtEtxlll l式中 22,rct.nnn nnElC我们知道，形如 的函数代表一种简谐振动，它的角频率为cos()nnEt，因此 代表这样的振动波：在所考察的弦上各点以同一圆频率做简谐n(,)nuxt振动，其振幅为 依赖于点 的位置，为 驻波 (与 行波 对应).|si|nxlx在 这些点上，振幅为零，这些点称为波 的节点或波节2(1)0,lx nu点；在 这些点上，振幅达到最大值，这些点称为波 的32llnn n腹点或波腹点.例 2.设长为 的均匀杆，两端的坐标为 及 ，杆的侧面是绝热的，且在l 0xl端点 处的温度为零，而在另一端 处杆的热量自由发散到周围
17、温度是零0xl度的介质中去，杆内初始温度分布为 ，求杆内温度随时间的变化规律.()解：定解问题为 2,0,()(,)(,)0;.uaxltthuux第一步：分离变量.令 ，将其代入范定方程，仿上例，得(,)()tXTt132 2()()0()()XxXxTtaTtat第二步：求解本征值(固有值)问题.现求解 满足的常微分方程()()0.0,()xXlhl分 三种情形逐一加以分析.0,当 时. (1)的通解为 常数 由边界条件确定，12().xxXCe12,C即 1212 21212 0() 00,()0.xxl lllXCeeehelhl从而 无意义，不合题意.()(,)xut当 时. (1)
18、的通解为 由边界条件同样得到 从而012().XxC120.C无意义，不合题意，也应舍去. ()(,)Xxt当 时. (1)的通解为 由12()cossin.xxx1122212 0()cosincosin00,()0ta)ta.CxClhlXlhXll 可以看成是曲线 与直线 交点的横坐标(如图 2.1 所1tnyl2yh示)，显然它们的交点有无穷多个，于是可以得到无穷多个(正)本征值 120.n 及相应的固有函数 22()si.()nnXxCxR14-15 -10 -5 0 5 10 15-40-30-20-10010203040Xy1=tanxy2=-2x如图 2.1第三步：求解 满足的
19、常微分方程. 将 代入 中，得到()Tt n2()()0Ttat2().atTtCe式中 为待定常数.nC第四步：作特解的线性叠加. 根据以上分析，可以得到原问题的特解为 222(,)()sinsin.(1,2)natatnn nuxtXTtxex 由于范定方程与边界条件均为线性而且齐次的，故线性叠加后的解 21(,)si.natnnuxtCex仍然满足范定方程和边界条件.此处， 尚未确定.第五步：由初始条件确定系数.代入初始条件 可以得到0(,)|().)tuxxl1,(sin.nCx利用正弦函数的正交性： 2,0 0sini si.(,12,)l lmnnmnmxdxLxdn 用 乘以上式
20、两边后，对 从 0 到 积分，可得i l1501()sin.(1,2)lnCxdxL将 代回 的表达式即得定解问题的解.nC(,)uxt3. 分离变量法解题步骤(1) 选择合适的坐标系，将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题.(2) 依据齐次边界条件，确定固有值与固有函数.(3) 定出固有值、固有函数后；再解其它常微分方程，把得到的解与固有函数乘起来成为 ，这时 中还包含着任意常数.(,)nuxt(,)nuxt(4) 利用叠加原理，结合本征函数的正交性，确定任意常数.为方便记忆：“定解条件写完整，边界条件齐次化；五个步骤循序解，特征问题是关键”.4. 常见边值问题的本征函
21、数类型 定解问题中的边界条件分离变量后的边界条件本征函数系I(0,)utl(0)Xlsin,12,xlII(,)0xtul()0lco,0,lIII(,)xtl()Xl(1/2)sin,1,2xnlIV(0,)utl(0)l(/)co,0,l164.5Laplace 方程的定解问题4.5.1 平面直角坐标系中的狄利克莱问题 20,0,()xxayybuxbf图 4.5 一个特殊的狄里克莱问题解：设 (,)()uxyXYy()()xYy（1） ， （2）0(),()Xa 0()对于（1） ，当 时有解(1)的通解为 由12()cossin.xCxx1212 0cossin0(0),sin0.CX
22、aa此时，若 所以一定有si (,).Cuxy2in0).nanZa与 对应的函数为n22()sin.()nXxCxaR17对于（2） ，2120,()nnyyaannYYDea由 ，所以12(0),D111()()sinh2nyynnayyaan eYe ya ,()sihinnxuxXYC11(,),isinnnyyxya，根据 的正交性，可得1(,)sihi()nbxuxbCfa sixa02isin fda例 1：非奇次边界条件下的 Laplace 方程20,()xxayybugf解：设 ，代入泛定方程，得12(,)(,)(,)uxyux2122101220(),()()xxayybu
23、ugf可分成两组定解问题， ，212011,()xxayybuf22202,()0xxayybug184.5.3 二维极坐标系下 Laplace 方程的分离变量法(圆域)考虑半径为 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达0到稳定状态时圆盘内的温度分布.模型： 02.|()uf解：极坐标下模型变为 22 0011()().(,)uuf 自然边界条件及周期边界条件： 0lim.(,)(,2)u第一步：分离变量.令 代入方程得(,).R22210.RR由边界条件 由此，我们得到0lim(0).2)(,)(,2)uR 及()20.(0)R第二步：求解本征值及本征函数.先解 .()2)(1
24、)当 时，问题无解；0(2) 当 时，问题的解为 (常数) ；00(a(3)当 时，它的解为 ，且 必须是正整数)cossinnnb，取 ，则 n1,2 (.再解 20.(0)R19方程为典型的欧拉方程，可作代换 ，即 ，则方程可以化为teln2 ,00 .,nttnnCDdRnt 于是变量分离形式的解为 00(,)l .(coss)(coss)n nn n nuabd由于 Laplace 方程是线性的，它的一般解应是所有本征解的叠加，即 01(,)l(css)(coss).nn nnuCDabd根据边界条件 得 (0)R0 01,)(cos).()2 2nnna aubC第三步：确定系数 由
25、于 ，所以,.nab0|)f1()(coss).2nnfab因此， 就是 展开为傅氏级数时的系数，即有00,nabf202001()cos.1()innnfdabfd将这些系数代入 表达式式即得所求的解.,u例 1.解下列定解问题 02210.|cosu解：利用公式并注意三角函数的正交性，可得 10 022,(1),0(,)cos.nnabu204.6 非齐次方程及齐次边界条件的定解问题主要求解方法：观察法、特征函数法(傅立叶级数法)、齐次化原理、其它方法.特征函数法第一步：求解非齐次方程对应的齐次方程对应的特征值问题的特征函数 ；()nXx第二步：设非齐次范定方程的解为 同时也将方程的非齐0
26、(,)(),nuxtTtXx次项按此特征函数展开，即 0(,)().nftft第三步：确定 ().nTt例 1. 求解两端固定弦的强迫振动的规律 2(,)0,(0,),().txtuaftxltlu解：(1).确定对应齐次问题的本征函数系. 2 ()()00,0()sin.,.(,)().tx nXxualt Xxlllt (2).将 按本征函数系 展开,tfsin;12l1(,)()i,sn.nuxtTtxlff由 的正交性，可得 sin;1,2xl 02()(,)sin.lnxftftdl(3).将两级数代入范定方程求展开系数 T再次由 的正交性21 1()()sin()sin.n naT
27、tTtxftxlll sinxl2).1,2(*)natTtfl将初始条件代入级数解中，得211(),0)()sin,nxuTxl1(),)()i.t nl02si.(*2)ln nxTdl()()3l (4).由(*1)，(*2)，(*3)，根据 拉普拉斯变换法 可得0()()()sincossin.(1,2)tn nlatatlatTtfdal l 注意：此方法也可以求解齐次线性偏微分方程.拉普拉斯变换法: 1222()() .nnnnfpTtLkkpl例 2. 用特征函数法求解非齐次方程的定解问题： 2cosin,0,(0,)(,)().txtuaAtxltlu解：(1).确定对应齐次问
28、题的本征函数系. 2 ()()00,0()cos.,.(,)().tx nXxualt Xxxl llt (2).将 按本征函数系 展开,fcos;12,nl0(,)()s,nuxtTtxl(3).将级数代入范定方程求展开系数 nt再次由 的正交性20()()coscsi.nnaxTtTtAtlllcosnxl2 211 i;()()0.1(*)nnatttTTtl l将初始条件代入级数解中，得220(),)()cos,nxuTxl0(),)().t nl结合傅立叶余弦系数公式，得(*2) 0001()(). .llTxd及(*3)02()()cos. .ln nlxTdl(4). 由(*1)
29、，(*2)，(*3)，可得001 1122(),1(sinsi)cossin,/)()cos.(0,n nTttAl at atlattall ltt 将以上表达式代入 中即可.0(,)()cos,nuxtTtxl4.7 非齐方程及非齐次边界条件的定解问题前面所讨论定解问题的解法，不论方程是否为齐次的，边界条件均为齐次的.如果遇到非齐次方程和非齐次边界情形，我们该如何处理呢？总的原则是：首先设法将边界条件通过某种变量代换转化为齐次的.当边界条件为齐次之后，既使方程是非齐次的，我们仍可以用特征函数法进行求解.例 1. 求解定解问题23212(,)0,(0,)(,).txtuaftxltul解：第
30、一步：将边界条件齐次化.为此令 ，选取特定函数0(,(,)xVtWxt使 的边界条件为齐次的，即 0(,)Wxt(,)Vt ).l此式成立，只需 而满足此式的函数有多种，最简0102,(),(.tuWltu单的是取 为 的一次式，即设(,)xt0 210 1102() ()(, ().(,()AtxBt utxtxutulutl而 满足11)(), ().uxtVtWtVtl,Vt定解问题：2,0(0,)()0,().txtafxtl其中：211211(,)();(0)().utfxtf xluxxl注意：(1).取 为 的一次式目的是使 的表达式简单；0,Wt (,),()ftx(2).若
31、均与 无关，则可以选取12(,)(),()fxtfuCt满足范定方程及对应边界条件，使得 满足的方程与边界均00 (,)Vxt为齐次的.(3).若边界条件不全是第一类的，本节方法仍然有效.例 2. 求解定结问题2422,0,5(0,)(,),.txtauxltl解：第一步：设 ，且(,)(,)(,)uxtVtWxt22,0,5(0,)(,).txaxltlt此时 满足以上三个条件，不妨设 为(,)Wxt 213123,();,Wxtkxk待定系数.将其代入上式，可求得 21(,).05l第二步： 的定解问题为 (,)Vxt 2 2,0(,)()1,();5(,0)()(0).txtttValt
32、lt luxxxW分离变量法解题步骤小结：(1) 依据边界的形状选取适当的坐标系，原则为使得边界条件的表达式较为简单：圆、圆环、扇形等域用极坐标系较为简单，圆柱形域与球形域可分别使用柱坐标及球坐标系较为方便；(2) 齐次方程齐次边界 直接分离变量；非齐次方程齐次边界 本征函数展开法；非齐次方程非齐次边界 先作函数代换，将边界条件齐次化，再用本征函数展开法计算.25在上一章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，当我们采用极坐标系求解稳定场分布时，得到了欧拉方程，如果我们在柱坐标及球坐标系下进行分离变量，也会得到几类特殊的数理方程，如贝塞尔方程、勒让德方程等.本章首先介绍贝塞尔方程、勒让德方程的
33、引出，最后，介绍分离变量法的理论基础SL 理论 .5.1 贝塞尔方程的引出考虑定解问题 220;|(,).txyRu解：用分离变量法求解此问题.1. 令 ，代入方程，可得(,;)(,)uxytVTt22 22() .(0)VdTxytxy由此，可以得到函数 分别满足的两个方程,TV220().HelmhotzquainttAxy2. 求解 方程.Helmhotz22 22100,| |0.RxyRVVVR26(1) 再令 代入 方程，可得(,)().VRHelmhotz22(0)()(0R(2) 由于 为周期是 的周期函数，所以 ，从而(),12)n22()cosi.()(0nnnabRR(3
34、) 再作变换 ，则有 r22 ).rFrnFr上式为变系数线性常微分方程，称为 阶贝塞尔(Bessel)方程，其中n().rFR5.2 勒让德(Legendre)方程的引出考虑球坐标系下 Laplace 方程的求解问题22 222 21110()(sin)0.i sinuuuurxyz r解：用分离变量法求解此问题.1.令 代入方程，可得(,)()(.urRr222 2111(sin)0.i sindddRrr以 乘以上式，可得2rR22 2111()(sin)0i sini .i idRddr上式左端只与 有关，右端只与 有关，要它们相等只有当它们都是常数方可，r,记该常数为 (1).n27
35、2. 2 21()(1)sin(1)isidRrdn2 22(1)0EulerqatioLesin1(isintdrRrrd(1)1222()sin(i)(1)sinnnRrArdmm及(1)1212(),coinnRrArB2 2cot()0.sind方程称为连带勒让德方程，其解记为 .mnPx3. 对上式进行变量替换，令 ，并改记 ，其解记cos(1)x()Px为 则上式可变为 |().mnPx2 2()(10.)dmxn ，22sisisin(1)ddxP2 2221cot(coi(sin)i isins)dddPdxx x若 与 无关，则 ，此时上式可以进一步简化为勒让德方程 (,)u
36、r0m2()()(11)(0.dPxnPxd其解记为 ).nPx4. 通解为28,1| 1|, , ,(,)()()cos()(cos)in.nmnmnnmmn nurRrABPCrDP 5.3 施特姆刘维尔(SL)理论简述1. SL 本征值方程 二阶线性齐次偏微分方程经分离变量后将得到二阶线性齐次常微分方程，其普遍形式为 ()()()()0,axybxycxyaxb其中， 为已知函数， 为分离变量过程引入的参数.上式经过适当,bc操作，可以转化为 SL 型方程：令 ()()(),kxkxqxab(*)()()()0,dyxkqyyab其中， 称为核函数， 为权函数， 为参数.()x(1) 取
37、 则(*)式可以转化为 Bessel 方程2,(),0,nkqxabR222 0.dydynxyxyx(2) 取 有界，则(*)式可以转化为 2()1,()0,()1,(1)kqxabLegendre 方程 22()()0.dydyxxyx(3) 取 有界，则(*)式可以转22()1,(),()1,(1)1mkxqab化为连带 Legendre 方程 2 222(1)0(1)()0.1dydymxyxyxx292. SL 本征值问题所谓 SL 型本征值问题，就是在一定的边界条件下，求 SL 型方程的 值(本征值)及相应的非零解(本征函数).SL 方程通常与三类边界条件构成本征值问题.(1) 齐
38、次边界条件第一类齐次边界条件为 ()0,().yab第二类齐次边界条件为 第三类齐次边界条件为 (),()0.()yhyhb(2) 周期性边界条件 ,)abka如本征值问题 2()()0()cosin.(0,12)0mmAB 此时， (),2,0(2)1.k(3) 自然边界条件(有界性条件当边界点是核函数 的一阶零点时，则边界点上存在自然边界条件.具体地()kx说，在边界点 有 有界；同理，在边界点 有 有a0)yab()0()kyb界.如勒让德方程的 ，由于 ，故在边界点 均2()1kx(1)0,)k1,x存在自然边界条件： 有界.又如贝塞尔方程 ，故在边界点 存y(kx0在自然边界条件；而
39、在边界点 ，因为 ，故就不是自然边界条件了.b()y3. SL 型本征值问题的基本性质在常见的工程和物理问题中，SL 型方程的 在 中为实函(),()kxq,ab数，在 内 且 在 连续，现(,)ab(0,(),()0,kxqx )在这些条件下讨论其性质.(1) 存在定理 存在无穷多个实的固有值 ，它们对应着无穷(1,2)n多个本征函数 ()1,2).nyx30(2) 非负定理 所有的本征值都是非负的，即 0(1,2).n(3) 正交性定理 对应不同本征值的本征函数在区间 上带权 正交：ab(x()(),.bnmaxydx如: 等均在对应区间满足定理 .sin,imnxePl(4) 完备性定理
40、若任意函数 在 上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，且满足本()fx,ab征值问题的边界条件，即可用本征函数系 将它展开为绝对且一致收敛的()nyx广义傅立叶级数 1()().nfxfyx展开系数为 2/().bbn naafyfdxd注意 1：广义傅立叶级数通常称上式右边的级数为广义傅立叶级数，系数 称为 的广义(1,2)nf ()fx傅立叶系数，函数族 称为级数的展开基.()1,2)nyx注意 2：记 ，称 为模；对于复数的本征2bnad2()bnnayxd函数，为保证模为实数而定义 ，正交关系也改为2*()()0.bmnayxx广义傅立叶系数为： * 2/|().bn naffdydx5.4 分离变量法的进一步讨论1. 球坐标系的分离变量法(1) 与时间无关的 Laplace 方程的分离变量(前面已经讨论过)(2) 与时间有关的方程的分离变量a. 波动方程为 2(,;)(,;)0.tuxyztauxyzt作时空变量的分离，令 代入上式，可得,.wT
