1、第 5 节 二次函数的综合应用课时 1 与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40 分钟)1. (2017 滨州)如图，直线 ykxb(k、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A(4，0)、B(0，3) ，抛物线 yx 22x 1 与 y 轴交于点 C. (1)求直线 ykxb 的函数解析式；(2)若点 P(x，y)是抛物线 yx 22x1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标；(3)若点 E 在抛物线 y x22x1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CEEF 的最小值第 1 题图2. (2
2、017 宁波) 如图，抛物线 y x2 xc 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交14 14于点 B，连接 AB，点 C(6， )在抛物线上，直线 AC 与 y 轴交于点 D. 152(1)求 c 的值及直线 AC 的函数表达式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连接 PQ 与直线 AC 交于点M，连接 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点求证：APMAON；设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长(用含 m 的代数式表示 )第 2 题图3. (2017 东营)如图，直线 y x 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A33 3在
3、x 轴上， ACB90，抛物线 yax 2bx 经过 A、B 两点3(1)求 A、B 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值第 3 题图4. (2017 武汉) 已知点 A(1，1)，B(4，6)在抛物线 yax 2bx 上(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点 F 的坐标为 (0，m)(m2)，直线 AF 交抛物线于另一点 G，过点 G作 x 轴的垂线，垂足为 H，设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH，AE ，求证：FH AE；(3)如图，直线 A
4、B 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，点 P 从点 C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度，同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x2轴正方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时，QM2PM，直接写出 t 的值第 4 题图课时 2 与面积有关的问题(建议答题时间：40 分钟)1. (2017 深圳)如图，抛物线 yax 2bx2 经过点 A(1，0)，B (4，0)，交 y 轴于点 C. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示) ；(2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D，使 SABD SABC
5、，若存在请32直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45得到 BE，与抛物线交于另一点 E，求 BE 的长第 1 题图2. (2017 盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线 y x2 与 x 轴交于点 A，与12y 轴交于点 C，抛物线 y x2bxc 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点12B. (1)求抛物线的函数表达式；(2)点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点连接 BC、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，CDE 的面积为 S1，BCE 的面积为 S2，求 的最大值；S1S2过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，连接 C
6、D，是否存在点 D，使得CDF 中的某个角恰好等于BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由3. (2017 海南) 抛物线 yax 2bx3 经过点 A(1，0)和点 B(5，0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线 y x3 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于35x 轴下方，直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N.连接 PC、PD，如图，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由连接 PB，过点 C 作 CQPM，垂足为点 Q，如图， 是否存在点 P，使
7、得CNQ 与PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由第 3 题图4. (2017 重庆南开一模 ) 已知抛物线 y x2 x4 交 x 轴于点 A、B ，交 y 轴13 13于点 C，连接 AC、BC. (1)求交点 A、B 的坐标以及直线 BC 的解析式；(2)如图，动点 P 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度向点 O 运动，过点 P 作 y轴的平行线交线段 BC 于点 M，交抛物线于点 N，过点 N 作 NKBC 交 BC 于点K，当 MNK 与MPB 的面积比为 12 时，求动点 P 的运动时间 t 的值；(3)如图，动点 P 从点 B 出发以每秒 5
8、个单位的速度向点 A 运动，同时另一个动点 Q 从点 A 出发沿 AC 以相同速度向终点 C 运动，且 P、Q 同时停止，分别以 PQ、 BP 为边在 x 轴上方作正方形 PQEF 和正方形 BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形 PQEF 和正方形 BPGH 重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积第 4 题图课时 3 与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40 分钟)1. (2017 菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx 1 交 y 轴于点A，交 x 轴正半轴于点 B(4，0)，与过 A 点的直线相交于另一点 D(3， )，过点52D 作 DC
9、x 轴，垂足为 C. (1)求抛物线的表达式；(2)点 P 在线段 OC 上(不与点 O、C 重合)，过 P 作 PNx 轴，交直线 AD 于 M，交抛物线于点 N，连接 CM，求PCM 面积的最大值；(3)若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t，是否存在 t，使以点M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由第 1 题图2. (2017 广安)如图，已知抛物线 yx 2bxc 与 y 轴相交于点 A(0，3)，与 x正半轴相交于点 B，对称轴是直线 x1.(1)求此抛物线的解析式及点 B 的坐标；(2)动点 M 从点 O 出发，以
10、每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、 N 同时停止运动过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形；当 t0 时， BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 值；若不能，请说明理由第 2 题图3. (2017 潍坊) 如图，抛物线 yax 2bxc 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A(0，3)、B(1，0)、D(2，3)，抛物线与 x 轴的另一交点为 E.经过点 E 的直线 l 将平
11、行四边形 ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 F.点 P 为直线 l 上方抛物线上一动点设点 P 的横坐标为 t.(1)求抛物线的解析式；(2)当 t 何值时， PFE 的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点 P 使PAE 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由4. (2017 重庆九龙坡区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2 x 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C. 33 83 3(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于 x 轴的对称点记为点 P，点 M 是
12、直线 BC上的一动点，当PBC 的面积最大时，求 PM MC 的最小值；1010(3)如图，点 K 为抛物线的顶点，点 D 在抛物线对称轴上且纵坐标为 ，对称3轴右侧的抛物线上有一动点 E，过点 E 作 EHCK，交对称轴于点 H，延长 HE至点 F，使得 EF ，在平面内找一点 Q，使得以点 F、H 、D、Q 为顶点的533四边形是轴对称图形，且过点 Q 的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点 Q，若存在，请直接写出点 E 的横坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图课时 4 二次函数的实际应用(建议答题时间：20 分钟)1. (2017 临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方
13、向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单位：s)之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20 m；足球飞行路线的对称轴是直线 t ；足球被踢出 9 s 时落地；足球被踢出 1.5 s 时，距离地面的高度是9211 m其中正确结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. (2017 金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分如图，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞
14、行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满足函数表达式 ya(x4) 2h.已知点 O 与球网的水平距离为5 m，球网的高度为 1.55 m.(1)当 a 时，求 h 的值，通过计算判断此球能否过网；124(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值125第 2 题图3. (2017 扬州)农经公司以 30 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 p(千克) 与销售价格 x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格 x(元/千克) 30 35 40 45 50日销售量 p(千克
15、) 600 450 300 150 0(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 p 与 x 之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售 1 千克这种农产品需支出 a 元(a0)的相关费用，当40x45 时，农经公司的日获利的最大值为 2430 元，求 a 值(日获利日销售利润日支出费用)答案课时 1 与线段、周长有关的问题1. 解：(1) 直线 ykxb 经过点 A(4，0)，B (0，3)， ，解得 ，0 4k b3 b ) k 34b 3)直线的函数解析式为 y x3；34(2)如解图，
16、过点 P 作 PMAB 于点 M，作 PNy 轴交直线 AB 于点 N.第 1 题解图PNMABO ，AOB NMP90，AOB PMN， ，AOPM ABPNOA 4，OB3，AB 5，OA2 OB2PM PN，45点 P 是抛物线上的点，PNy 轴，P(x，x 22x1)，N(x， x3)，34PN x3( x 22x1)x 2 x2(x )2 ，34 54 58 10364PMd (x )2 ，45 58 10380当 x 时， PM 取得最小值 ，此时 P 点坐标为( ， )；58 10380 58 11964(3)抛物线 yx 22x1 与 y 轴交于点 C，C(0，1) ，对称轴为
17、直线 x 1，22（ 1）如解图，作点 C 关于对称轴的对称点 G，则 G 点坐标为(2，1)，点 G 到直线AB 的距离即为 CEEF 的最小值，最小值为 d (2 )2 .45 58 10380 1452. (1)解：把点 C(6， )代入抛物线解析式可得 9 c，152 152 32解得 c3，y x2 x3，14 14当 y0 时， x2 x30，14 14解得 x14 ，x 23，A(4，0)，设直线 AC 的函数表达式为：ykx b(k0)，把 A(4，0)，C(6， )代入 ykx b 中得 ，解得 ，152 0 4k b152 6k b) k 34b 3)直线 AC 的函数表达
18、式为：y x3；34(2)证明：由 (1)易得 OA4，OB3，OD3， 在 RtAOB 中，tanOAB .OBOA 34在 RtAOD 中，tan OAD .ODOA 34OAB OAD，在 RtPOQ 中，M 为 PQ 中点，OM MP，MOP MPO，MOP AON，APMAON，APMAON；解：如解图，过点 M 作 MEx 轴于点 E.又OM MP，OE EP，点 M 横坐标为 m，AEm4 ，AP 2m 4，tanOAD ，34cos EAMcosOAD ，45AM AE ，54 5（m 4）4APMAON， ，AMAN APAOAN .AMAOAP 5m 202m 4第 2 题
19、解图3. 解：(1) 直线 y x 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，33 3令 x0 得 y ，令 y0 得 x3，3点 B 的坐标为(3 ，0)，点 C 的坐标为(0， )3tanCBO ，OCBO 33CBO30 ，BCO60 ，ACBC，ACO30 ，AO COtanACO 1，333点 A 的坐标为( 1，0) ；(2)抛物线 yax 2bx 经过 A，B 两点，3 ，解得 ，a b 3 09a 3b 3 0) a 33b 233 )抛物线的解析式为 y x2 x ；33 233 3(3)MDy 轴，MDHBCO60，MH BC，HD MD，MH MD.12 32DMN 的
20、周长为(1 )MD.12 32设点 D 的坐标为(t， t )，则点 M 的坐标为 (t， t2 t )，33 3 33 233 3点 M 在直线 BC 上方的抛物线上，MD ( t2 t )33 233 3( t ) t2 t (t )2 .33 3 33 3 33 32 3340t3，当 t 时，MD 有最大值，且 MD 的最大值为 ，32 334DMH 周长的最大值为(1 ) .12 32 334 93 984. (1)解：将点 A(1，1)，B(4，6)代入 yax 2bx 中， ，a b 116a 4b 6)解得 ，a 12b 12)抛物线的解析式为 y x2 x；12 12(2)证
21、明：A(1，1)，F(0，m)直线 AF 的解析式为：y (m1)xm.联立 ，y （m 1）x my 12x2 12x )得 x2(m )xm0.12 12A、G 为直线 AF 与抛物线的交点，x A xG 2m1，x G2m1 (1)2m ， （m 12）12H(2m ，0) ，直线 HF 的解析式为：y xm.12由抛物线解析式易得 E(1，0)，又 A(1，1)，直线 AE 的解析式为：y x ，12 12直线 HF 与直线 AE 的斜率相等，HF AE；(3)解：t 的值为 或 或 或 .15 1136 15 1136 13 892 13 892【解法提示】由题意知直线 AB 解析式
22、为 yx2，C(2，0)，D(0，2)，P(t2，t) ，Q (t，0)直线 PQ 的解析式为 y x ，t2 t22设 M(x0，y 0)，由 QM2PM 可得：|tx 0|2|x 0t 2| ，解得：x 0t 或 x0t4.43(i)当 x0t 时，代入直线 PQ 解析式得 y0 t.43 23M(t ， t)，43 23代入 y x2 x 中得： (t )2 (t ) t，12 12 12 43 12 43 23解得 t1 ，t 2 ；15 1136 15 1136(ii)当 x0t4 时，y 02t.M(t4，2 t)，代入 y x2 x 中得： (t4) 2 (t4)2t，12 12
23、 12 12解得：t 3 ，t 4 .13 892 13 892综上所述，t 的值为 或 或 或 .15 1136 15 1136 13 892 13 892课时 2 与面积有关的问题1. 解：(1)将点 A(1，0)，B(4，0)代入 yax 2bx 2 中，得，解得 ，a b 2 016a 4b 2 0) a 12b 32)抛物线的解析式为 y x2 x2；12 32(2)存在，点 D 的坐标为 D1(1，3) ，D 2(2，3)，D 3(5，3)【解法提示】如解图，过点 D 作 DMAB 于点 M.设 D(m， m2 m2)( m0)，则 DM| m2 m2|.12 32 12 32A(
24、1，0)，B(4，0) ，AB5.抛物线交 y 轴于点 C，y x2 x2 中，令 x0，有 y2，12 32C(0，2) ，OC2.OCAB ，S ABC ABOC5，12第 1 题解图又S ABD SABC ，32DM | m2 m2| OC3，12 32 32当 m2 m23 时，解得 m11，m 22，此时 D1(1，3)，D 2(2，3)；12 32当 m2 m23 时，解得 m32(舍去)，m 45，此时 D3(5，3)12 32综上所述，点 D 的坐标为 D1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，3)(3)如解图，过点 C 作 CFBC 交 BE 于点 F，过点 F 作 FH
25、y 轴于点 H，过点 E 作 EG x 轴于点 G.第 1 题解图CFBC，CBF45，BCF 是等腰直角三角形，且 BCCF，OCBFCH90 ，又FH y 轴，CFHFCH90 ，OCBCFH，而 BCCF，BOCCHF(AAS )，又B(4，0)，C(0，2)，CHOB4，FHOC2，OH6，F(2，6)设 BE 的解析式为 ykxc，将 B(4，0)，F(2，6) 代入 ykx c，得，解得 ，4k c 02k c 6) k 3c 12)BE 的解析式为 y3x12.联立抛物线和直线 BE 的解析式，得 ，y 12x2 32x 2y 3x 12 )解得 (舍去)， ，x1 4y1 0)
26、 x2 5y2 3)E(5，3)，EG x 轴，BG 1，EG3，在 RtBEG 中，BE .BG2 EG2 102. 解：(1)据题意得， A(4，0)，C(0，2)，抛物线 y x2bxc 过 A、C 两点，12 ， ，0 1216 4b c2 c ) b 32c 2)抛物线的函数表达式为 y x2 x2；12 32(2)令 y0， x2 x20，12 32x 14，x 21，B(1，0)，如解图，过 D 作 DMx 轴交 AC 于 M，过 B 作 BNx 轴交 AC 于 N，第 2 题解图DM BN，DME BNE， ，S1S2 DEBE DMBN设 D(a， a2 a2) ，12 32
27、则 M(a， a 2)，12DM a2 a2( a2) a22a，在 y x2 中，12 32 12 12 12令 x1，则 y ，52BN ，52B(1，0)，N(1， )，52 (a2) 2 ，S1S2 DMBN 12a2 2a52 15 45当 a2 时， 取最大值为 ；S1S2 45如解图，第 2 题解图 A(4，0)，B(1，0) ，C(0，2)，AC2 ，BC ，AB5，5 5AC 2BC 2AB 2，ABC 是以ACB 为直角的直角三角形，取 AB 中点 P，并连接 CP，P( ，0)，32PAPCPB ，52CPO2BAC，tanCPOtan(2BAC) ；43情况 1：过 D
28、 作 x 轴的平行线，交 y 轴于 R，交 AF 延长线于 G，则DGCBAC，若DCF2BAC，即DGCCDG2BAC，CDGBAC，tanCDGtanBAC .12即 ，设 D(d， d2 d2)，RCDR 12 12 32DR d，RC d2 d，12 32 ， 12d2 32dd 12d 10( 舍) ， d12，x D2；情况 2：如解图，过 A 作 AQDF，交 CD 延长线于点 Q，过 Q 作 QHx 轴于点 H，若FDC2BAC，即AQC2BAC，tanAQC ，ACAQ 25AQ 43AQ ，QHAAOC，352 ，AHOC AQAC HQAO 34第 2 题解图 AH ，H
29、Q3，32Q( ，3)，又 C(0，2) ，112易求直线 QC 的解析式为 y x2，211联立得 ，y 211x 2y 12x2 32x 2) x2 x0，12 2922x10(舍去) ，x 2 ，2911x D ，2911综上所述，D 点的横坐标为2 或 .29113. 解：(1) 抛物线 yax 2bx3 经过点 A(1，0)和点 B(5，0) ，解得 ，该抛物线对应的函数解析式为a b 3 025a 5b 3 0) a 35b 185)y x2 x3；35 185(2)点 P 是抛物线上的动点，且位于 x 轴下方，可设点 P(t， t2 t3)(1t5) ，35 185PMy 轴，分
30、别与 x 轴和直线 CD 相交于点 M、 N，M(t，0)，N(t， t3)35点 C，D 是直线与抛物线的交点，令 x2 x3 x3，解得35 185 35x10，x 27.当 x0 时， y x33，35当 x7 时， y x3 .35 365点 C(0，3)，D(7 ， )365如解图，分别过点 C 和点 D 作直线 PN 的垂线，垂足分别为 E，F，第 3 题解图则CEt，DF7t，S PCDS PCNS PDN PNCE PNDF PN(CED12 12 12F) PN，72当 PN 最大时，PCD 的面积最大PN t3( t2 t3) (t )2 ，35 35 185 35 72
31、14720当 t 时，PN 取最大值为 ，此时PCD 的面积最大，最大值为 772 14720 12 ；14720 102940存在. CQN PMB90，当 或 时， CNQ 与PBM 相似NQCQ PMBMNQCQ BMPMCQPM，垂足为点 Q，Q(t， 3)且 C(0，3) ，N(t， t3)，35CQt ，NQ( t3)3 t.35 35 .NQCQ 35P(t， t2 t3) ，M(t ，0)，B(5，0)35 185BM5t，PM t2 t3.35 185情况 1：当 时，PM BM，即 t2 t3 (5t )，解得NQCQ PMBM 35 35 185 35t12，t 25(舍
32、去)，此时，P(2 ， )；95情况 2：当 时，BM PM，即 5t ( t2 t3)，解得NQCQ BMPM 35 35 35 185t1 ，t 25(舍去)此时，P( ， )349 349 5527综上所述，存在点 P(2， )或者 P( ， )，使得 CNQ 与PBM 相似95 349 55274. 解：(1)令 y0，则 x2 x40，解得 x 4 或3，13 13点 A 坐标( 3，0)，点 B 坐标(4，0)，设直线 BC 解析式为 ykx b，把 B(4，0)，C(0，4)代入得 ，b 44k b 0)解得 ，k 1b 4)直线 BC 解析式为 yx 4；(2)如题图， PNOC，NKBC，MPB MKN90，PMBNMK ，MNK MBP ，MNK 与MBP 的面积比为 1：2，BM MN，2OB OC，PBM45，BM PB，2MNPB，设 P(a，0)，则 MN a2 a4a4 a2 a，BP4a，13 13 13 43 a2 a4a，13 43解得 a3 或 4(舍去) ，PB1，t ；15(3)如解图 中，过 F 作 FRx 轴于 R，交 GH 于 T，当轴对称图形为筝形时，PFPG，GMFM，BPPGAQ，PQPF，AQ PQ 5t，过点 Q 作 QNAP，则 ANNP，由AQNACO， ，AQAC ANAOA(3，0)，C(0，4)，AC5，
