1、2.2.1 椭圆及其标准方程（一）,数 学 实 验,1取一条细绳， 2把它的两端固定在板上的两点F1、F2 3用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形,F1,F2,M,观察作图过程：1绳长应当大于F1、F2之间的距离。2由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和为定值。,.,.,在这一过程中，你能说出移动笔尖（动点）满足的几何条件吗？,椭圆的定义:,平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于 的点的轨迹叫椭圆。,F1,F2,M,这两个定点F1、F2叫做 ， 两焦点之间的距离叫做 。,1. 椭圆的定义:,平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹
2、叫椭圆。,F1,F2,M,这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。,满足几个条件的动点的轨迹是椭圆？,1平面内-这是前提 2动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a 3常数 2a 要大于焦距 2c,F1,F2,M,动点 M 的轨迹是线段F1F2 .,动点 M 没有轨迹 .,下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.,取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。,设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0
3、)、F2(c,0)。,由定义知：,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,由椭圆定义知：,方程形式能否更简单？,由上述过程可知，椭圆上任一点的坐标都满足方程，,以方程的,即以方程的解为坐标的点都在椭圆上.,由曲线与方程的关系可知，方程是椭圆的方程.,解(x, y)为坐标的点到椭圆两焦点F1(-c,0), F2(c,0)的距离之和为2a，,这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，这里 c2=a2-b2 .,思考：观察图，你能从中找出表示,的线段吗？,由图可知，,如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：,它也是椭圆的标准方
4、程。,2. 椭圆的标准方程:,F1,F2,M,0,x,y,A1,A2,B1,B2,方程的形式可以统一表示为：,注 意：,求椭圆的标准方程，要先定“位”， 即确定焦点的位置；其次是定“量”，即求 a、b 的大小 . a、b、c 满足的关系有：,注意：,（1）在两个方程中，总有,（2） 有关系式：,（3） 在 的分母下，焦点在x轴上；在 的分母下，焦点在y轴上。,或,解：,（1）由已知可设椭圆的标准方程为：,故所求椭圆的标准方程为：,（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经过点,（2）由已知可设椭圆的标准方程为：,解：,由椭圆的定义知，,故所求椭圆的标准方程为：,(
5、还有其他方法吗？),（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经过点,方法2：, 可设所求椭圆方程为, 椭圆经过点,即,即,故所求椭圆的标准方程为：,【说明】 （1）求椭圆标准方程需要两个独立条件. （2）求椭圆标准方程的主要方法有：定义法：用定义寻找a,b,c的方程；待定系数法：设方程，代入计算出待定字母的值。待定系数法更为常用，是解此类问题的通解通法.,或,课堂练习：教材42页,1. 如果椭圆 上一点P到焦点F1的距离等 于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是_.,由椭圆定义,解：,|PF1| + |PF2| = 20，, |PF2| = 20-6=14 .,
6、|PF1| = 6 ,（2） ，焦点在y轴上；,（1） ，焦点在x轴上；,2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:,解：,(1)由题意,故AF1B的周长为：,解：,(1)由题意,故AF1B的周长为：,(2) 如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长不会有变化，,仍然成立.,【说明】由本题可知，AF1B的周长为4a， AF1F2,BF1F2的周长等于2a+2c.,【说明】（1）所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；,（2）两个标准方程中，都有,（3）a、b、c 满足的关系：,（4）椭圆方程的鉴别：,形如 的式子要表示椭圆，,当且仅当,（5）椭圆焦点位置的判断：,标准方
7、程中,谁x2, y2的分母大，,则焦点在其对应的坐标轴上.,课堂练习：,分析：,课堂练习：,解：,解：,又,由已知，,解得,巩固1 如图，在圆x2+y2=4上任意一点P,过点P作x轴的垂线段 PD ，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？,解：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则, P(x0，y0) 在圆 x2 + y2 = 4 上，, x02 + y02 = 4,得 x2 +4 y2 = 4, 点M的轨迹是一个椭圆 .,D,解2：, P 在圆 x2 + y2 = 4 上，, 可设,消去参数，得, 点M的轨迹是一个椭圆 .,设 M(x，y) ，则,由题意有,巩固
8、1 如图，在圆x2+y2=4上任意一点P,过点P作x轴的垂线段 PD ，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？,D,巩固2.如图点A(-5，0),B(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程.,解：,设 M(x，y) ，,则,即,化简,即,为所求点M的轨迹方程.,巩固3.点A(-1，0),B(1，0),直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？,解：,设 M(x，y) ，,则,即,得,故点M的轨迹是直线 x=3,并去掉点(3, 0).,解：,故动圆圆心的轨迹方程为：,巩固4：求与圆(x+3)2+y2=4外切，且与圆 (x-3)2+y2=100内切的动圆圆心的轨迹方程,设动圆的圆心为M(x, y)，半径为r，它与已知圆O1、O2切于Q、P 两点,则：,2、两种标准方程的比较,3、在求椭圆方程时，要弄清焦点 在哪个轴上，是x轴还是y轴？或者两个轴都有可能？,小 结：,1、椭圆的定义,【说明】 （1）求椭圆标准方程需要两个独立条件. （2）求椭圆标准方程的主要方法有：定义法：用定义寻找a,b,c的方程；待定系数法：设方程，代入计算出待定字母的值。待定系数法更为常用，是解此类问题的通解通法.,或,选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程（1）书,
