1、 第 18 讲 从三角形的内切圆谈起数学是一个非常美的领域， 这是因为它的主要部分是由人 类的心灵构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这 不是很美吗？那里有真正自由，正是这种自由才是数学美的力量所在。-瑟斯顿知识纵横和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这 个多边形叫做圆的外切多边形。三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心， 圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2.圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论
2、的下列图形：例题求解【例 1】如图，O 是 内切圆，切点 为 ，若ABCRtFED、的长度是方程 的两个根，则BEAF、 0312x的面积是 C（第 18 届江苏省竞赛题）思路点拨 连 ，易证四边形 为正方形，解题的关键是求出 的长.F、 OCFE、【例 2】如图，以正方形 的边 为直径作半圆 ，过点 作直线切半圆于点 ，交ABCDD于点 ，则 与直角梯形 的周长的比值为（ ）ABEEA. B. C. D.4356576（杭州市中考题）思路点拨 本例 综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为了求出周长，需引入字母或赋值。【例 3】如图，已知过原点 和 的动圆 交坐标轴于 两点，设
3、 的内切O)2,(M1OBA、 OA圆 的直径 为 ，求 的值.IdAB思路点拨 ，只需求出 的值，注意AB 点 的坐标特点。M【例4】如图，在 中，其中 ，其中 、 ，.、ABCRt3,4,90BCA1O2n为 个相等的 圆， 与 相外切， 与 相外切， 与 相外切n1O22On， 、 ，.、 都与 AB 相切，且 与 相切， 与 相切，求 这些等圆12nn1A的半径 （用 表示）.r（河北省竞赛题）思路点拨 在同一直线上，连接 ，把nO、 .21 nnBOGFO、 11分别用 的代数式表示，建立BGAF、 r的方程。r圆与梯形的珠联璧合【例 5】如图，的直径 ， 和 是它的两条切线， 切
4、于 E，交 于 ，cmAB8MBNDoAMD于 ，设 ， ，求 与 的函数关系式BNCxDyx对于例 5，在条件不变的情况下，我们还可得出以下结论：1 ；2 以 为直径的圆与 相切；A3 以 为直径的圆与 相切；AB4 为一定值。BC【例 6】如图，已知直径与等边 三角形 的高相等的圆 和 边相切于点 和 ，与ABCABCDE边相交于点 和 ，求 的度数ACFGDEF（浙江省竞赛题）分析 若要运用切线的性质，则需确定圆心， 这是解本题的关 键。例 5 图例 6 图学历训练基础夯实1.如图，在梯形 中， ， 为内切圆， 为切点若 ，ABCD/OEcmOA8，求 的长为 。cmO6E（天津市中考题
5、）2.如图，在平面直角坐标系中有一正方形 AOBC，反比例函数 经过正方形 AOBC 对角xky线的交点，半径为 的圆内切于 ABC，则 k 的值 。)24(（2011 年芜湖市中考题）3.如图，在 中， ， ，圆心 在 AC 上， 与 相切于点 ，求ABCRt34BOBCD 的半径 为 。O（2011 年乌鲁木齐市中考题）4.如图，一圆内切四边形 ，且 ， ，则四边形的周长为 。D16A0C（杭州市中考题）第 2 题第 1 题 第 3 题第 5 题第 4 题 第 6 题5.已知：如图，以定线段 为 直径作半圆 ， 为半圆上任意一点（异于 ， ），过点 P 作ABOPAB半圆 的切线分别交过
6、， 两点的切线于 ， ， 、 相交于 点，连接 、ODCABNO下列 结论 ：四边形 是梯形； ； 为定值； 为NPNNP的平分 线其中一定成立的是（ ）DA B C D（武汉市中考题）6.如图， 中，内切 圆 和边 、 、 分别相切于点 、 、 ，则以下四个结COABEF论中，错误的结论是（ ）A.点 是 的外心 B.ODE )(21CFC. D.ABC2190 BDE907.如图，已知ABC=90 ，AB=BC直线 与以 BC 为直径的 相切于点 C点 F 是lO上异于 B、C 的动点，直线 BF 与 相交于点 E，过点 F 作 AF 的垂线交直线 BC 与点 DO（1）如果 BE=15，
7、CE=9，求 EF 的长；（2）证明：CDF BAF；CD=CE；（3）探求动点 F 在什么位置时，相 应的点 D 位于线段 BC 的延长线上，且使 ，CB3请说明你的理由（2011 年包头市中考题）第 7 题8.如图，在直角梯 中， ， ， 厘米， 厘米，ABCD/90B13AD16BC厘米， 为 的直径， 动点 沿 方向从点 开始向点 以 厘米/ 秒的速5CDOP度运动，动点 沿 方向从点 开始向点 以 2 厘米/ 秒的速度运动，点 、 分别从 、QPQA两点同时出发，当其中一点停止 时，另一点也随之停止运动（1）求 的直径；（2）求四边形 的面积 关于 、 运动时间 的函数关系式，并求当
8、四边 为PCDyPQt CD等腰梯形时，四边形 的面积；（3）是否存在某一时刻 ，使直线 与 相切？若存在，求出 的值；若不存在，请说明tOt理由（烟台市中考题）第 8 题A. B. C. D.能力拓展9.已知等腰 中， ， ，内切圆的半径为 ，则腰长为 ABC4BC1（江苏省竞赛题）10.如图，正方形 边长为 ，以正方形的一边 为直径在正方形 内作半DcmBCABCD圆，过 作半圆的切线，与半圆相切于 点，与 相交于 点， 则 的面积（ ）FDE（日本数学奥林匹克竞赛题）11.如图，在 中， ， 、 的平分线相交于点 ，又 于点 ,若ABC90ABPABE，则 = 3,2E12.在平面直角坐
9、标系中，以正方形 的边 为弦的 与 轴相切，若点 的坐标CDMx为 ，则圆心的坐标为 （ ）)8,0(MA B C D54)4,(),5()5,4(（2011 年滨州市中考题）13.已知 于 ， ，下列选项中的半径为 的是cABba, ba（ ）（2011 年日照市中考题）第 11 题第 10 题 第 12 题14.如图，在矩形 中，连接 ，如果 为 的内心，过 作 于 ，作ABCDOABCOADE于 ，则矩形 的面积与矩形的面积的比值为（ ）OFFEA. B. C. D.不能确定213243（学习报公开赛试题）15.如图 1， 两直角边的边长为 ABCRt2,1BCA（1）如图 2，O 与
10、的边 相切于点 ，与 边 相切于点 请你在图 2 中作出xy并标明O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2） 是这个 上和其内部的 动点，以 为圆心的 与 的两条边相Pt PABCRt切设 的面积为 ，你认为能否确定 的最大值？若能，请你求出 的最大值；若不能，SSS请你说明不能确定 的最大值的理由（2011 年宜昌市中考题）16.如图所示，已知 是 O 的直径， 是O 的切线， 平行于弦 ，过点 作ABABCAD于点 ，连接 ，与 交于点 问 与 是否相等？证明你的结论DECDEP（全国初中数学竞赛题）第 14 题第 16 题综合创新17.如图，点 在第一象限，且 ，过 两点作圆分),(nmM428342nmMO、别与 轴正半轴， 轴正半轴交于 两点， 在弧 上， 交 于 ，且xyBA、 CAB、 DCDO（1）求 点的坐标；（2）若 ，连 ，求 的值；60BOM（3）过 作 于 ,求 的值AHABD2118.如图，圆 是等边三角形 的内切圆，与 ， 两边分别切于 ， 两点，连接OABCABCDE，点 是劣弧 上的一个动点（不与 ， 重合），过点 作 于 ，DEPEDEPABM于 ， 于 ， 交 于 点.ACNKPL1 求证 NML22 （2011 年黄石二中理科实验班自主招生试题）
