1、圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。高考再现：2011 年（文 22）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + y2 = 1.如图所示，斜率为 k（ k0）且不过原点的直线 l 交
2、椭圆 C 于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线 x = -3 于点 D（-3， m）.（1）求 m2 + k2的最小值；（2）若 OG 2 = OD OE, 求证：直线 l 过定点； 试问点 B、G 能否关于 x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理 22）已知动直线 l 与椭圆 C： + = 1 相交于 P（ x1， y1），Q（ x2， y2）两个不同点，且OPQ 的面积 SOPQ = ，其中 O 为坐标原点（1）证明： + 和 + 均为定值； （2）设线段 PQ 的中点为 M，求 OM PQ的最大值；（3）椭
3、圆 C 上是否存在三点 D, E, G，使得 SODE = SODG = SOEG = ？若存在，判断 DEG 的形状；若不存在，请说明理由(2009 年山东卷)设 mR,在平面直角坐标系中,已知向量 a=(mx,y+1),向量 b=(x,y-1),ab,动点 M(x,y)的轨迹为 E. （1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OAOB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x2+y2=R2(1 ，轨迹不存在；常数 2a=0
4、,轨迹是 的中垂线。21F抛物线平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线（注： F 不在 l 上）当 F 在 l 上时是过 F 点且垂直于 l 的一条直线。定义中要重视“括号”内的限制条件(1)定点 ，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中，是椭圆的是( ) )0,3(,21FA B 421P621PFC D0F121（2）方程 表示的曲线是_22(6)()8xyxy二、圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： x12byaxy12bxa注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。双曲线：
5、焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时：x12byay12bxa注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。抛物线的标准方程：（1）已知方程 123kyx表示椭圆，则的k取值范围为_（2）已知方程 21xym表示双曲线，求 m 取值范围。（3）已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是( )12yx（4）抛物线 y2mx(m0)的焦准距 p 为 -，焦点坐标是 -，准线方程是 -三、椭圆与双曲线的性质分析图形 标准方程 焦点坐标 准线方程范围a、b、 c关系标准方程图形定义双曲线椭圆分类平面内与两个F 1， F2的距离之和等于常数（大于|F 1F2）的点的轨迹平面内与两个F 1， F2的
6、距离之差的绝对值等于常数（小于|F 1F2）的点的轨迹yx)0(12bayx )0(12，bayx2c2ca是长半轴长， b是短半轴长，c 是半焦距 a是实长半轴长， b是虚短半轴长，c是半焦距，xby，xaRya、b、c的意义渐近线对称性顶点 离心率 焦点坐标 椭圆 双曲线关于x轴和y轴对称，也关于原点对称关于x轴和y轴对称，也关于原点对称)0,(1aA)0,(2aAbBbB，aA)0,(1)0,(2aAaceace，cF)0,(1)0,(2cF，cF)0,(1)0,(2cF无 xaby分类抛物线几何性质：标准方程图 象范 围 x0 x0 y0 y0焦点坐标 F（ ，0）p2F（ ，0）p2
7、F（0， ）p2F（0， ）p2顶点坐标 O（0，0） O（0，0） O（0，0） O（0，0）离 心 率e1 e1 e1 e1对 称 轴x 轴 x 轴 y 轴 y 轴焦 半 径|PF| x0p2|PF|x 0p2|PF|y 0p2|PF|y 0p2准线方程 xp2xp2yp2yp2p 的几何意义抛物线的焦点到准线的距离，p 越大张口就越大通 径 过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径，其长为 2pxyO F xyOF xyOFxyOF（1）椭圆若椭圆 的离心率 ，则 的值是_152myx510em（2）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于 _3x（3）若该
8、抛物线上的点 到焦点的距离是 4，则点 的坐标为_MM（4）设双曲线 （a0,b0 ）中，离心率 e ,2,则两条渐近线夹角 的12byax 2取值范围是_(5)设 ，则抛物线 的焦点坐标为_R,024axy（6）双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程51492y_（7）设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过点O1F2 2e，则 C 的方程为_)10,4(P（8）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物线xy82y的焦点的距离等于_；（9）抛物线 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 轴的2
9、y距离为_四、点 和椭圆 （ ）的关系：0(,)Pxy12byax0ap 点在椭圆上。120bap 点在椭圆内。20yxp 点在椭圆外。120ba对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2).a.求弦长。公式：弦长 21lkx2211()4kxx其中 为直线的斜率， 是两交点坐
10、标k1(,),xyb.求弦所在的直线方程c.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点 A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q，且中点为 A，求 P、Q 所在的直线方程（点差法）(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_（2）直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_215ym（3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这12yx样的直线有_条.（4）过双曲线 1 外一点 的
11、直线与双曲线只有一个公共点的情况如2byax0(,)Pxy下：（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（6）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有_)4,2( xy82（7）过点(0,2) 与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为1692x_（8）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 A、B 两点，若 4，则满12yxl 足条件的直线 有_条l（9）对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，xy42 024xy),(0yM若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线 C 的位置关系是),(0xMl)(0_（1
12、0）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的xy42F长分别是 、 ，则 _pq1（11）求椭圆 上的点到直线 的最短距离28472yx 01623yx（12）直线 与双曲线 交于 、 两点。1a2yxAB当 为何值时， 、 分别在双曲线的两支上？AB当 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？1、求弦长问题：（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若 x1+x2=6，那么 |AB|等于_（2）过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐x2标原点，则 ABC 重
13、心的横坐标为 _2、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 21369xy（2）已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段21(0)xyabAB 的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为 _（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线1342yx对称xy4特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有0关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！03、直线恒过定点问题：（1）A、B 是抛物线 y22px（p0）上的两点，且 OAOB（O 为坐标原点）求证：直线 AB 经过一个定点；（2
14、）抛物线 y22px（p0）上有两个动点 A、B 及一定点 M（p， p），F 为焦点；2若|AF|、|MF| 、|BF| 成等差数列，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点。4、焦点三角形问题：（1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆532e1F21于 A、B 两点，则 的周长为 _2ABF（2）设 P 是等轴双曲线 右支上一点， F1、F 2 是左右焦点，若)0(2ayx，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 01F（3）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e ，F 1、F 2 是它的左右焦点，若过 F1 的6直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且 是 与 等差中项，则
15、2A2B_AB（4）已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， 求该双曲线的标准方程。6021PF321FPS5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：若抛物线的方程为 y22px（p0），过抛物线的焦点 F（ ，0）的直线交抛物线与p2A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）两点，则(1) y1y2p 2；x 1x2 ；p24(2)| AB|x 1 x2p；通径=2P(3) ；1|AF| 1|BF| 2p(4) 过 A、B 两点作准线的垂线，垂足分别为 A/、B /，F 抛物线的焦点，则 A /FB/90 0；例 3 图xy BOA MFxy ABO
16、 MP(5) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。(6) 设 A， B 是抛物线 y2 2px 上的两点，O 为原点， 则 OAOB 的充要条件是直线 AB恒过定点(2p， 0)证明：(1)当直线过焦点且垂直于 x 轴时，A （ ，p）、B （ ，p），因此 y1y2p 2 成p2 p2立； 当直线过焦点且不与 x 轴垂直时，显然直线的斜率 k0，直线 AB 的方程为：yk（x ）；由此的 x ；把 x 代入 y22px 消去 x 得：p2 yk p2 yk p2ky22pykp 20，y 1y2p 2A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）两点都在抛物线 y22px（p0）上，y 122px
17、 1，y 222px 2；两式相乘得(y 1y2)22px 12px2p 44p 2x1x2；从而 x1x2p24(2)过 A、B 两点作准线 x 的垂线，垂足分别为 A/、B /，p2则|AB|AF|BF|AA /|BB /|x 1 x 2 x 1x 2 pp2 p2(3)A（x 1， y1）、B （x 2， y2）1|AF| 1|BF| x1 x2 pp2(x1 x2 p) 2p(4)过 A、B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为 A/、B /， 由于点 A、B 是抛物线上的点，F 是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|AA /|，|BF|BB /|B /BF180 02B /FB，
18、A /AF180 02A /FA由AA /BB / B /BFA /AF180 0即：180 02B /FB180 02A /FA180 0B /FBA /FA90 0（5） N 为线段 AB 的中点，过 A、B、N 分别作准线的垂线， 垂足分别为 A/、B /、N /，N 为线段 AB 的中点，则|NN /|AA/| |BB/|2 |AF| |BF|2 |AB|2以 AB 为直径的圆与准线相切。（6）设 A， B 是抛物线 y22px 上的两点，O 为原点， 则 OAOB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p ，0)六你了解下列结论吗？xyOAA/B/BF题图xyOAA/B/ BF题图NN
19、/(1)与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为_1692yx )32,(2) 中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程是-七、圆锥曲线中的最值问题（1）如图所示，若 A（3， 2），F 为抛物线 y22x 的焦点，求|PF|PA| 的最小值，以及取得最小值时点 P 的坐标。变式：若 A（3，5）呢？（2）.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 上移动，求 AB2x中点 到 轴距离的最小值，并求此时 AB 中点 M 的坐标。My（3）若 ，且 ，则 的最大值是 _，Rx, 62yxyx的最小值是 2（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点
20、的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_八动点轨迹方程问题：1、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例 1点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ，求点的轨M(0,2)F8y1:2迹方程式，并说明轨迹是什么图形变式：已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程3x2、待定系数法：已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。例 2、 已知椭圆的焦点坐标为 和 ，且经过点 ，求椭圆的标准方程。22210010nxyymxyabx共 渐
21、近 线 的 双 曲 线 系 ：渐 近 线 方 程 为 ： 即的 双 曲 线 方 程 可 设 为 ：时 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ；时 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ；与 双 曲 线 有 相 同 的 渐 近 线 的双 曲 线 方 程 可 设 为 ：例 8 图xyPFOLANPN变式：抛物线的顶点在原点，以 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线，被抛物x 0135线截得的弦长为 8，试求抛物线的方程。3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例 3、求与圆 及
22、 都外切的动圆圆心的轨迹方程1)3(2yx9)3(2yx解：设动圆的半径为 r，则由动圆与定圆都外切得，MF,21又因为 ，2)1(3r由双曲线的定义可知，点 M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为： 182yx)(x变式：（1）、一动圆与圆 外切，同时与圆 内2650xy26910切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线（2 、 已知 的底边 BC 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使ABC，求点 A 的轨迹CBsin1isn分析：首先建立坐标系，由于点 A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解
23、：以底边 BC 为 轴，底边 BC 的中点为原点建立 坐标系，这时xxoy，由 得)0,6(,CBsin21isn,即 所以，点 A 的轨迹是以 为焦点，221acb6|A)0,6(,CB=6 的双曲线的左支其方程为： )3(1279xyx（3） 动点到点(3，0)的距离比它到直线 x2 的距离大 1，则动点的轨迹是( )A椭圆 B双曲线 C双曲线的一支 D抛物线解析：由题意可知，动点到点(3，0) 的距离等于它到直线 x3 的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线答案：D4、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点 的坐标 来表示，再代入Py,到其他动点要满足的条件或轨迹方程中
24、，整理即得到动点 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例 4：点 A 位于双曲线 上， 是它的两个焦点，求)0,(12bayx21,F的重心 G 的轨迹方程 21F分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件 解：设 的重心 G 的坐标为 ，则点 A 的坐标为21FA),(yx)3,(yx因为点 A 位于双曲线 上，从而有0,12bax，即)0()3(22ybax )0(1)3(22yx所以， 的重心 G 的轨迹方程为 21FA )()(22ybax变式：如图，从双曲线 上一点 引直线1:2yxCQ的垂线，垂足为 ，求线段 的中点 的轨
25、迹方程.2:yxl NP解：设 ，则 . 在直线 上，),(),(1yx，QP)2,(11yxNl 又 得 即 .2211yxlP,101x联解得 .又点 在双曲线 上， ，231xyC1)23()23(y化简整理得： ，此即动点 的轨迹方程.01yP5、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标 间建立起联yx,系，然后再从所求式子中消去参数，得到 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.x,例 5 过抛物线 （ ）的顶点 作两条互相垂直的弦 、 ，求弦py20OOAB的中点 的轨迹方程.ABM解：设 ，直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .直线 OA 的),(xOA)(
26、kBk1方程为 ky，由 解得 ，即 ，同理可得 .pyk2kpyx2)2,(kpA)2,(pyQO xNP由中点坐标公式，得 ，消去 ，得 ，此即点 的轨迹方pkyx2 )2(2pxyM程.6、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例 6 如右图，垂直于 轴的直线交双曲线 于x12byax、 两点， 为双曲线的左、右顶点，求直线 与MN21,AMA1的交点 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.A2P解：设 及 ，又 ，可得),(yx),(),(11yxN)0,(,(21a直线 的方程为 ；直线 的方程为 .1
27、1aA2 )(1axy得 . 又 ，代入)(2212xay,21byx)(2121b得 ，化简得 ，此即点 的轨迹方程. 当 时，点)(22by2Pa的轨迹是以原点为圆心、 为半径的圆；当 时，点 的轨迹是椭圆.Paba练习：(1)与 轴相切且和半圆 内切的动圆圆心的轨迹方程是 y24(02)xyx(2)线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0） ，端点 A、B 到 x 轴距离之积为)0(2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 (3)由动点 P 向圆 作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=60 0，则动点21yP 的轨迹方程为（4）点 M
28、与点 F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是05xl：_ (5) 一动圆与两圆M： 和N： 都外切，则动圆圆心12yx 0282xyxA1 A2OyNMP的轨迹为(6)动点 P 是抛物线 上任一点，定点为 ,点 M 分 所成的比为12xy)10(A PA2，则 M 的轨迹方程为_（7）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2 a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点 ，使 ，求点 的轨迹。|NP（8）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是_),(1yxP12y),(11yxQ（9）过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点42lM 的轨迹方程是_（10）已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1（c ，0）、)0(12bayxF2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，.2|1aQF点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 0|,2TP（1）设 为点 P 的横坐标，证明 ；x xac|1（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F 1MF2 的面积 S= 若存在，.2b求F 1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.
