1、打印版圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 2 （大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆1F2a21|F的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 为椭圆上任意一点，则有 。M21|MFa椭圆的标准方程为： （ ） （焦点在 x 轴上）或 （ ） （焦点在 y21xyab02bxay0轴上） 。注：以上方程中 的大小 ，其中 ；, 22bac在 和 两个方程中都有 的条件，要分清焦点的位置，只要看 和 的21xyab21xab02xy分母的大小。例如椭圆 （ ， ， ）当 时表示焦点在 轴上的椭圆；当ymn0nmn时表示焦点在 轴上的椭圆。
2、mn（2）椭圆的性质范围：由标准方程 知 ， ，说明椭圆位于直线 ， 所围成的矩形里；21xyab|xa|ybxayb对称性：在曲线方程里，若以 代替 方程不变，所以若点 在曲线上时，点 也在曲线上，(,)y(,)x所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以 代替 ， 代替x y方程也不变，则曲线关于原点对称。y所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中y心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，xy令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交点。同理
3、令 得 ，即 ，0xyb1(0,)B2(,)by0xa1(,0)A是椭圆与 轴的两个交点。2(,)Aax所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做椭圆的长21A 2ab半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中， ， ，aRtOBF2|2|OFc，且 ，即 ；2|BFa222|OBF2cb离心率：椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率。 ， ，且 越接近 ， 就ea0c1e1越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时
4、be ba椭圆越接近于圆。当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 。ab0c 22xy打印版2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ ） 。12|PFa注意：式中是差的绝对值，在 条件下； 时为双曲线的一支；120|aF12|时为双曲线的另一支（含 的一支） ；当 时， 表示两条射21|PFa |a12|线；当 时， 不表示任何图形；两定点 叫做双曲线的焦点， 叫2|12|PF1, 12|F做焦距。椭圆和双曲线比较：椭 圆 双 曲 线定义 1212|(|)a1212|(|)PFaF方程2xyabxyb2xyabyxb焦点 (,0)Fc(0,
5、)Fc(,0)c(0,)c注意：如何用方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 的外侧。即12byax ax， 即双曲线在两条直线 的外侧。2axax对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点2是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。12bya顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 的方程里，对称轴是 轴，所12byax,xy以令 得 ，因此双曲线和 轴有两个交点 ，他们是双曲线 的顶点。0yxx)0,(,(2A12bax令 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点
6、。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 叫做2A,a 2B双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长。,b渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。12yax等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： ；ab2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。xy注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若
7、题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征 ，则等轴双曲线可以设为： ，当 时交点在ab )0(2y0轴，当 时焦点在 轴上。x0y注意 与 的区别：三个量 中 不同（互换） 相同，还有焦点所在的坐标1962216x,abc,c轴也变了。打印版3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 叫做抛物线的标准方程。02pxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ ,0） ，它
8、的准线方程是 ；2p2px（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： ， ， .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方pxy2y2pyx2程如下表：标准方程2(0)2(0)2(0)xpy2(0)xpy图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程 xxyy范围 对称性 轴 轴 轴 轴顶点 (0,)(0,)(0,)(0,)离心率 1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调 的几何意义：是焦点p到准线的距离。oFxyl oxyFl xoFl
