1、x2,x2(2x2),=x22x2,=x22x11,=(x1)21,0, x22x2.,例1 求证:,2x2,与,你能比较,的大小吗?,不等式证明(1),比较法:,差值,步骤:,作差,变形,定号,关键!,(配方、,因式分解、,通分),证明:,.作差,.变形,.定号,问题:,x2,2x2,x2,例1 求证:,2x2,y=,y=,函数y=x2的图像 在函数y=2x2图像的上方.,几何意义:,例2 求证: a2b2abab 1,a2b2(abab 1),a2 b2 ab a b 1,2,2,2,2,2,2,=,( ),0,证明:,a2b2abab 1.,分组配方,变形为平方和结构.,证明:,=a2b
2、252aba24a,=(ab1)2(a2)2,0,(a2b25) (2aba24a),=(a2b22ab,(a24a4),1 ), a2b252aba24a.,练习,1. 求证: a2b252aba24a.,2.若x, y, zR, a, b, cR+,求证:,2(xy+yz+zx),2(xy+yz+zx),0,证明:,2(xy+yz+zx).,2xy2yz2zx,练习,例2 求证: a2b2abab 1,a2b2(abab 1),a2 b2 ab a b 1,2,2,2,2,2,2,=,( ),0,证明:,a2b2abab 1.,0,证明2:,a2b2abab 1.,1:,例2 求证: a2
3、b2abab 1,a2b2(abab 1),a2 b2 ab a b 1,2,2,2,2,2,2,=,( ),0,证明:,a2b2abab 1.,1:,例2 求证: a2b2abab 1,a2b22ab,a2122a,b2122b,2a22b222ab2a2b,a2b2abab 1,证明3:,a2b2(abab 1),=a2b2abab1,相加,0,证明2:,a2b2abab 1.,a2b2 2ab,重要不等式:,例2 求证: a2b2abab 1,a2b2(abab 1),证明,=a2b2abab1,=a2,(b1)a, (b2b1),=a2b2abab1, (b2b1),0,a2b2aba
4、b 1.,4:,(看着a的二次函数),f(a)=,主元思想,例2 求证: a2b2abab 1,a2b2(abab 1),证明,=a2b2abab1,=a2,(b1)a, (b2b1),=a2b2abab1,5:,=,4(b2b1),(b1)2,=3(b1)2,0., f(a)0,二次项系数是1,函数思想,(看着a的二次函数),f(a)=,a2b2abab 1.,主元思想,= ab2bc2ca2 a2bb2c c2a,例3 设abc, 求证: ab2bc2ca2 a2bb2c c2a.,ab2bc2ca2 (a2bb2c c2a),= ab(ba),bc(cb),ca(ac),不行 !,= a
5、b2bc2ca2 a2bb2c c2a,= b2(ac),c2(ba),a2(cb),不行 !,abc,ab0,bc0,ac0,分析:,主元思想,可把零乱的字母归类,然后对式子进行有序管理.,= ab2bc2ca2 a2bb2c c2a,例3 设abc, 求证: ab2bc2ca2 a2bb2c c2a.,abc,ab0,bc0,ac0,ab2bc2ca2 (a2bb2c c2a),= (c b)a2,(bc)(bc)a,= (c b),1 1,-b -c,= (c b) (ab) (a c),0,证明:,= ab2bc2ca2 a2bb2c c2a,(b2c2)a,bc(cb),a2, ab
6、2bc2ca2 a2bb2c c2a.,因式分解(或变形) 为积(或商)的形式, 且符号可定.,f(a)=,= (c b)a2,bc(cb),以 a 为主变元,(bc)a,bc,= ab2bc2ca2 a2bb2c c2a,例3 设abc, 求证: ab2bc2ca2 a2bb2c c2a.,abc,ab0,bc0,ac0,证明:,cb0,ab2bc2ca2 (a2bb2c c2a),f(a)=,二次项系数:,=,4bc(cb)2,(b2c2)2,=(bc)4,= (c b)a2,(b2c2)a,bc(cb),看着a的二次函数,0., f(a)0,即 ab2bc2ca2 a2bb2c c2a.
7、,以 a 为主变元,学生完成,b,c, ab,?,并非一定要求整个函数图像都在x轴的下方,3. 设a, b, c0, 2,证明: 4ab2c2abc2ab2bc2ca.,a,f(a)=,=(bc)2,=(b2)2(c2)2,4ab2c2abc2ab2bc2ca.,练习,(4ab2c2abc)(2ab2bc2ca),0,0,f(a)0,证明:,f(a),a,a,a,a,=(4bc2b2c),b2c22bc,以 a 为主变元:,f(0)=,f(2)=,b2c22bc,b2c24b4c8,小结,(差值)比较法,函数,平方和,式子的积商,(关键!),方法,配方,因式分解,通分,结果,作差,变形,定号,
8、步骤:,主元思想,函数思想,思想:,本节课到此结束, 请同学们课后再做好复习与作业。谢谢!,再见!,Homework: 见后,3. 已知a, b, m都是正数, 并且a b, 求证:,4.已知a, b都是正数, 并且a b, 求证:a5 + b5 a2b3 + a3b2,2. 求证: x2 + 3 3x,6.己知函数f(x)=x2axb, 非负实数p, q满足pq=1, 证明: pf(x)qf(y)f(pxqy).,5.已知a, b, c为正实数, 且a+b+c=1.求证: a2+b2+c2,1.已知1N D M与N大小不确定,作业,证明:,5.已知a, b, c为正实数, 且a+b+c=1.求证: a2+b2+c2,(3a2+3b2+3c21),a2+b2+c2,3a2+3b2+3c2,=,a2b2c22ab2ac2bc,(a+b+c)2,=,=,(ab)2+(bc)2+(ca)2,3a2+3b2+3c2,=,0,a2+b2+c2,解答:,小结,(差值)比较法,综合法,分析法,一题多解,多题一解,二次函数,平方和,式子的积商,关键!,举三反一是为了举一反三,直接法,间接法,方法,配方,因式分解,通分,结果,作差,变形,定号,
