1、 第 1 页 共 5 页 1如图 442，OB 是机器上的曲柄，长是 r，绕点 O 转动，AB 是连杆，M 是 AB 上一点，MA a ，MBb(2rab)当点 A 在 Ox 上做往返运动，点B 绕着 O 做圆周运动时，求点 M 的轨迹方程图 442【解】 如题图，设点 M(x，y)，BAO，由点 B 作 BCOx，交 Ox 于点 C，由点 M 作 MDOx，交 Ox 于点 D，由点 M 作 MEBC，交 BC 于点 E，那么 yDMasin ，xODOC CDOCEM EMOB2 CB2 bcos ，r2 a b2sin2得到点 M(x，y)的坐标满足方程组Error!即为点 M 的轨迹方程
2、2动点 M 作匀速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向上的分速度分别为 9 m/s和 12 m/s，运动开始时，点 M 位于 A(1,1)，求点 M 的轨迹方程【解】 设 t s 后点 M 的坐标为(x，y )，则Error!所以点 M 的轨迹方程为Error!(t0) 3以椭圆 y 21 的长轴的左端点 A 与椭圆上任意一点连线的斜率 k 为x24第 2 页 共 5 页 参数，将椭圆方程化为参数方程【解】 椭圆 y 21 的长轴的左端点 A 的坐标为(2,0)x24设 P(x，y)为椭圆上任意一点(除点 A)，则点 P 的坐标满足Error!将 k 代入 y 21，消去 x，yx 2 x24
3、得( 4)y 2 y0.1k2 4k解得 y0，或 y .4k1 4k2由 y ，4k1 4k2解得 x ；21 4k21 4k2由 y0，解得 x2.由于(2,0)满足方程组 Error!所以椭圆 y21 的参数方程为x24Error!4ABC 是圆 x2y 21 的内接三角形，已知 A(1,0)，BAC60，求ABC 的重心的轨迹方程【解】 因为BAC 60，所以 BOC120.设 B(cos ，sin )(0 240)，则有 C(cos(120)，sin( 120)设重心坐标为 (x，y)，则第 3 页 共 5 页 Error!所以Error!即Error!消去 60，得(3x 1) 2
4、9y 21，0240，1 cos(60) ，120 ，1 cos 603 12即 0x .12ABC 的重心的轨迹方程为 (x )2y 2 (0x )13 19 12图 4435如图 443，过抛物线 y24x 上任一点 M 作 MQ 垂直于准线 l，垂足为 Q，连接 OM 和 QF(F 为焦点)相交于点 P，当 M 在抛物线上运动时，求点 P的轨迹方程【解】 设直线 OM 的方程为 ykx (k0) ，由Error!得Error!或Error!所以 M( ， )，4k2 4k则 Q( 1， )，于是直线 QF 的方程为4k第 4 页 共 5 页 y (x 1)，即 y (x1) 4k 1 1
5、 2k由Error!消去 k，得 2x2y 22x0.所以点 P 的轨迹方程为 2x2y 22x0(y0)图 4446如图 444 所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA2a，射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线交于 B 点，作 PQOA ，PBOA，试求点 P 的轨迹方程【解】 设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ ，由PQOA，PBOA，得xODOQcos OAcos 22acos 2，yABOA tan 2atan .所以 P 点轨迹的参数方程为Error!( ， )2 27已知点 P(x，y)是曲线 C：Error!上的任意一点，求 3xy 的取值范围【解】 设 P
6、(3cos ， 2 sin )，3则 3xy3(3cos )(2 sin )3113cos sin 112 sin( )，3 33第 5 页 共 5 页 3xy 的最大值为 112 ，最小值为 112 ，取值范围是3 3112 ，112 3 3教师备选8如图，已知曲线 4x2 9y236(x0，y0)，点 A 在曲线上移动，点C(6,4)，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，使 ABx 轴，ADy 轴，求矩形 ABCD的面积最小时点 A 的坐标【解】 椭圆方程为 1(x 0，y0)，x29 y24设 A(3cos ， 2sin )， (0， )，2则 B(6,2sin )，C(6,4) ，D(3cos ，4)，所以 SABCDABAD(63cos )(42sin )2412(sin cos )6sin cos .令 tsin cos ，则 t(1， ，sin cos ，2t2 12则 SABCD3( t2) 29.因为 t(1， ，所以当 t 时，2 2矩形面积最小，即 tsin cos sin( ) ，24 2此时， .4所以矩形 ABCD 的面积最小时点 A 坐标是( ， )322 2
