1、21.4 函数的奇偶性学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题知识点一 函数奇偶性的定义思考 1 为什么不直接用图象关于 y 轴(原点) 对称来定义函数的奇偶性？思考 2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？梳理 奇、偶函数的概念偶函数 奇函数对于函数 f(x)的定义域 D 内任意一个 x，都有xD条件f(x)_ f(x)_定义结论 函数 f(x)叫做偶函数 函数 f(x)叫做奇函数知识点二 奇(偶)函数的定义域特征思考 如果一个函数 f(x)的定义域是(1,1 ，那么这个函数 f(x)还具有奇偶性吗？梳理 在奇函数和
2、偶函数的定义中，都要求 xD ，xD ，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于_对称知识点三 函数奇偶性的几何特征思考 下列函数图象中，关于 y 轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？梳理 奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_ 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以_为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以_ 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于_对称，则这个函数是偶函数类型一 判断函数
3、的奇偶性命 题 角 度 1 已 知 函 数 解 析 式 ，证 明 奇 偶 性例 1 (1)证明 f(x) 既非奇函数又非偶函数；x3 x2x 1(2)证明 f(x)(x 1)( x1)是偶函数；(3)证明 f(x) 既是奇函数又是偶函数1 x2 x2 1反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定属于定义域跟踪训练 1 (1)证明 f(x)( x2) 既非奇函数又非偶函数；2 x2 x(2)证明 f(x)x|x |是奇函数命 题 角 度 2 证 明 分 段 函 数 的 奇 偶 性例 2 判断函数 f(x)Erro
4、r!的奇偶性反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意 x，是否都有 f(x)f(x)(或f (x)，只不过对于不同的 x，f(x) 有不同的表达式，要逐段验证是否都有 f(x)f(x)(或f (x)跟踪训练 2 证明 f(x)Error!是奇函数命 题 角 度 3 证 明 抽 象 函 数 的 奇 偶 性例 3 f(x) ，g(x)是定义在 R 上的奇函数，试判断 yf (x)g(x) ，yf(x)g( x)，yfg(x)的奇偶性反思与感悟 利用基本的奇(偶) 函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，
5、主要是代入x，看总的结果跟踪训练 3 设函数 f(x)，g(x) 的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论中正确的是( )Af(x)g(x) 是偶函数B|f(x )|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f( x)g(x)|是奇函数类型二 奇偶性的应用命 题 角 度 1 奇 偶 函 数 图 象 的 对 称 性 的 应 用例 4 定义在 R 上的奇函数 f(x)在0，)上的图象如图所示(1)画出 f(x)的图象；(2)解不等式 xf(x)0.引申探究 把例 4 中的“奇函数”改为“偶函数” ，重做该题反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称
6、，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性跟踪训练 4 已知奇函数 f(x)的定义域为5,5，且在区间 0,5上的图象如图所示(1)画出在区间 5,0上的图象；(2)写出使 f(x)0 时，f(x) x1，求当 x0 时，f(x) 2xx 2.求 yf(x) 的解析式1下列函数为偶函数的是( )Af(x)x1Bf(x)x 2xCf(x)2 x2 xDf(x)2 x2 x2函数 f(x)x( 10，f(x )x 2，f( x)x 2，f(x )f(x )；若 x0，则x 0 即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0 的解集是( 2,0)(0,2)引申探究 解 (1)f (x)
7、的图象如图所示：(2)xf(x)0 的解集是 (，2)(0,2)跟踪训练 4 解 (1)如图，在0,5上的图象上选取 5 个关键点 O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点 O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当 x( 2,0)(2,5)时，f(x)0，f(x )(x)1x 1，又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(x )f(x )x1，f(x)x1.当 x0，因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x )2( x)(x) 22xx 2.因为 yf(x) 是 R 上的奇函数，所以 f(0)0.所以 f(x)Error!当堂训练1D 2.C 3.D 4.B 5.x1
