1、2.2 等差数列1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母 d 表示2等差中项由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的_3等差数列的通项公式以 为首项，d 为公差的等差数列 的通项公式为 _1 nana4等差数列与一次函数由等差数列的通项公式 _，可得 n1()nd当 时，等号右边是关于自变量 n 的一次整式，一次项系数是等差数列的 _，且当0d时数列 为递增数列，当 时数列 为递减数列；当 时， ，等差数列为na0dna0d1na常数列，
2、此时数列的图象是平行于 x 轴的直线（或 x 轴）上均匀分布的一群孤立的点从图象上看（如下图），表示数列 的各点，即点 ，均匀分布在一条直线上n(,)n知识参考答案：12 同一个 公差 2等差中项 3 4 公差1()and1()and重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题易错 对等差数列的定义理解不深刻、忽略等差数列问题中的隐含条件判断一个数列是否为等差数列判断一个数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法： 或 是等差数列；1()nad*N1(2,)nadn*Nna（2）定义变形法：验证是否满足 ；1n（3）等差中项法： 为等差
3、数列；122()nn*（4）通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列,apq)na（1）已知数列 的通项公式为 ，证明：数列 为等差数列；n3n（2）已知数列 的通项公式为 ，判断该数列是否为等差数列；na2,1a（3）若数列 满足 ，证明： 为等差数列；112()()nnna（4）若 成等差数列，证明： 成等差数列1,abc,bcab【答案】见解析【解析】（1）因为 ，所以 ，3n13()3nan所以 ，所以 为等差数列()na（2）当 时， ，即数列从第 3 项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，1=2na但 ，即 ，所以该数列不是等差数列132=0， 12a（3）由 ，将 n 替换
4、为 得 ，1()nn111()nnaa两式相减并整理得 ，=()()()n由 可得 ，2112nnaa由等差数列的定义可知， 为等差数列（4）因为 成等差数列，所以 ，即 ,abc=bac2()bac又 ，222()()a所以 成等差数列,bcab【名师点睛】（1）通项公式法不能作为证明方法；（2）若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；（3）要否定某数列是等差数列，说明其中连续三项不成等差数列即可求等差数列的通项公式求等差数列的通项公式的两种思路：（1）设出基本量 ， ，利用条件构建方程组，求出 ， ，即可写出等差数列 的通项公式；1ad1adna（2）已知等差数列中的两项 时，
5、则,(,)nman*N可不必求 而直接写出等差数列 的通项公式学！ 1()nmad()nmd， 1ana（1）在等差数列 中，若 + ， ，则 _；a16947n（2）在等差数列 中，若 ， ，则 _；n38323812（3）已知单调递减的等差数列 的前三项之和为 12，前三项之积为 48，则 _n na【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 5116n【解析】（1）因为 是等差数列，所以由 + ， 可得 ， 解得 ，na1a6947125937da185ad所以 8(1)53na（2）方法 1：设 的首项为 ，公差为 ，n1d则由 ，可得 ，即 ，3832478a17a由 整理可得 ，解得
6、，1a5)32（ （ 1d当 时， ， ；当 时， ， dnd156n方法 2：同方法 1 可得 ，所以 ，解得 ，8a3888()()32aa1d当 时， ；当 时， ()nnn方法 3：同方法 1 可得 ，所以 ， ，8316319所以 是方程 的两根，易得 或 31,a26390x31=a31由 得 ，所以 ；313=，1adn由 得 ，所以 313a，1316na（3）方法 1：根据题意可设等差数列 的前三项为 ，根据已知条件建立方程组求解1,2da即可，此处不再赘述方法 2：由于数列 为等差数列，因此可设前三项分别为 ，na ,由已知条件可得 ，即 ，解得 或 ，()()1248d2
7、31()48ad42ad因为数列 单调递减，所以 ，从而 naa()nan【名师点睛】对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于 n 的一次函数的形式，不必保留的形式 1()d等差数列性质的应用由等差数列的定义可得公差为 的等差数列 具有如下性质：dna（1）若 ，则 ,pqa0pqa（2）若 ，则 (,)mpq*Nmnqpnm特别地，若 2，则 2an；若 tr，则 mtpqra(,)mnpqt,r*N有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 1211.nniniaaa （3）下标成等差数列的项 2,kmk 组成以 md 为公差的等差数列（4）数列 (,ntt
8、是常数 )是公差为 td 的等差数列（5）若数列 nb为等差数列，则数列 ntab(,t是常数 )仍为等差数列（6）等差数列中依次 项之和仍组成等差数列，即数列 1212,kkaa 是以 2kd为公差的等差数列212,kka3,ka （1）在等差数列 中，若 471039a，则 35a_；n（2）在等差数列 中，若 35685，则 19_；n（3）已知 为等差数列，若 1040,2，则 60_a【答案】（1） 1；（2） ；（3） 【解析】（1）方法 1：设等差数列 的公差为 d，na则 4701()(6)aad11(9)38=9a，即 16=3ad，所以 351224方法 2：由等差数列的性
9、质可得 7107a，即 7，所以 353a7()3a（2）由题易知 5465()8，即 51a，所以 195234a（3）方法 1：设出首项 1及公差 d，则由题意列方程组即可求解，此处不再赘述方法 2：因为 为等差数列，所以 10234056,a也成等差数列，na设其公差为 d， 10为第一项，则 4为第四项，所以 403，即 26 7d，解得 ，所以 62a【名师点睛】一般地，运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用，但解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提利用一次函数的性质解等差数列问题等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及
10、等差数列中的项、过两点的直线斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线可快速求解等差数列 中， 619,a则过点 218(,)(,)MaN的直线斜率为_n【答案】 1【解析】由数列 是等差数列，可知 n是关于 n 的“一次函数”，n其图象是一条直线上的等间隔的点 (,)a，因此过点 ,的直线斜率即过点 (6,19),的直线的斜率，所以直线 MN 的斜率196k【名师点睛】由例 4 易知，我们可以利用一次函数的性质证明：若 ,pqa，则 0pqa证明过程如下：易知点 (,)na在同一条直线上，不妨设 pq，设 (,),AB，则直线 AB 的斜率1pqk如下图所示，易知 ，即点 C 的坐标为 (,0)
11、pq，故 0pqaO由递推关系构造等差数列求通项公式由题设中的递推关系式构造等差数列的常见形式如下：（1）转化为 21()(nnaa)常数，则 1na是等差数列；（2）转化为 1nnc常数，则nc（c 可以为 0）是等差数列；（3）转化为 a常数，则 a是等差数列；（4）转化为21n常数，则2n是等差数列已知数列 满足： 1a，112na，则数列 的通项公式 _ nana【答案】 2n【解析】由 1nna，两边同时除以 12n，得12na，即12na，由等差数列的定义可知数列2na是以1=为首项，1 为公差的等差数列，所以 2na，故n【名师点睛】当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等
12、差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含 na的关系式，进而求出 na已知数列 满足条件 ， ，则 _n111(2)nna10a【答案】 10【解析】由条件得 ，所以数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列，所以1na(2)1na，所以 ，则 1na1010已知 满足： 12a，1na，求证1na是等差数列并求 nan【答案】见解析【解析】由1 121nnnaa，可得 11nna，由等差数列的定义可得数列n是等差数列，且()2n，故1=na对等差数列的定义理解不深刻导致出错若数列 的通项公式为 1lg3nna，求证：数列 是等差数列na na【错解】因为 1lg3l，所以 l， 21lg3，
13、1lg3，所以 21lg3a， 2lg3a，则 2132a，故数列 是等差数列n【错因分析】由数列的通项公式求出的 2132仅能确保数列 的前三项成等差数列，不能保na证数列 是等差数列na【正解】因为 1lg3ln，所以 1()lg3na，所以 1()(g3)ln*N，所以数列 是等差数列na【名师点睛】数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列忽略等差数列问题中的隐含条件导致出错若等差数列 的首项 19a，从第 9 项起各项都比 1 大，则这
14、个等差数列的公差 d的取值范n围是A19dB863dC863D19【错解 1】由题意可得 91a，即81d，解得 ，故选 A【错解 2】由题意可得981a，即71d，解得8963d，故选 C【错因分析】应深刻理解“从第 9 项起各项都比 1 大”的含义，它不仅表明 91a，而且还隐含了81a这一条件，所以上述两个错解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件【正解】由题意可得981a，即817d，解得8963d，故选 D【名师点睛】解题时，应认真阅读题干，正确理解题目所给条件的准确含义，这是正确解题的前提1在等差数列 中， ， ，则na45917a14A11 B22C29 D122已知 ， ，则 的等差
15、中项为132a132b,abA B 2C D33已知等差数列 的公差为 ，则 （ c为常数且 0）是123,na ,d123,ncaa,A公差为 的等差数列 B公差为 d的等差数列dC非等差数列 D以上都不对4在等差数列 中，已知 ， ， ，则na13254a3naA48 B49C50 D515已知某等差数列的相邻四项分别为 a+1，a+3，b，a+b，那么 a，b 的值依次为A2，7 B1，6C0，5 D无法确定6已知 是等差数列，且 ， ，则na1475a25839a369aA24 B27C30 D337已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为A5
16、 B4C3 D28在等差数列 中，若 ， ，则数列 的通项公式为na74192anaA B12n 1nC D无法确定na9在等差数列 中，已知 ， ， ，且 ，则 _nmnaAmn,Nmnma10在等差数列 中， ，则 _372468aa11在数列 中， ， ，则 是这个数列的第_项na11()nn*712已知等差数列的第 10 项为 23，第 25 项为22，则此数列的通项公式为 _na13已知数列 的通项公式为 215lg3nna，试判断该数列是否为等差数列na14已知数列 中， ，数列 满足 na113,2(,)5nna*Nnb1()na*N（1）求证：数列 是等差数列；b（2）求数列
17、中的最大项和最小项n15若等差数列 满足递推关系 ，则na1na5aA B92 94C D14 1316等差数列 中，已知 ， ，公差 ，则 的最大值为na160na*dN()nA5 B6C7 D817已知数列 是等差数列，若 ，则na1917a315aA B 4C D21 )(7n18在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的数的个数为A34 B35C36 D3719已知等差数列 的首项 251a，第 10 项是第一个比 1 大的项，则公差 的取值范围是n dA875dB325dC32D8720 九章算术是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五
18、里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问需几日相逢.A9 B8C16 D1221在等差数列 中，若 3457,6aa，则 的通项公式为_n n22在等差数列 中， pq， （ pq） ，则 pq的值为_23已知数列 是等差数列，若 ， 且 ，n4710456123147aa 13ka则 _k24已知数列 ，其中 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 是公差3021,a 1021,a 2010,a为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ） d302, 2d0d（1）若 ，求公差 ；402ad（2）试写出 关于 的关系式，并求 的
19、取值范围3 30a25已知数列 的各项为正数，其前 项和 满足 ，设 nannS21()na0()nnbaN（1）求证：数列 是等差数列，并求 的通项公式；（2）设数列 的前 项和为 ，求 的最大值；nbnT（3）设数列 的通项公式为 ，问：是否存在正整数 t，使得 成ncnact12,mc(3,)N等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由26 （2016 浙江）如图，点列A n，B n分别在某锐角的两边上，且 12nnA，2,n*N， 122,n*N(PQ表示点 P 与 Q 不重合 )若ndBS为 n 的面积，则A nS是等差数列 B2nS是等差数列C d是等差数列 D
20、 d是等差数列27 （2018 北京理）设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为na13a256na_28 （2017 江苏）对于给定的正整数 ，若数列 满足：kn111nknnkka 对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列” 2nka()na()P（1）证明：等差数列 是“ 数列” ；a(3P（2）若数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列” ，证明： 是等差数列n2)(3)na1 【答案】C【解析】设等差数列 的公差为 ，因为 ，nad9451752a所以 故选 C14951729,ad2 【答案】A【解析】因为 ， ， ，所以 的等差中项 故选 A32132b,ab32abA3 【答案
21、】B【解析】因为 1ncacd，所以 是公差为 cd的等差数列，故选 B123,ncc,4 【答案】C【解析】设等差数列 的公差为 因为 ， ，所以 ，nad13a254a23则 ，解得 ，故选 C123()507 【答案】C【解析】设等差数列的公差为 设 ， ，d135791aa2468103aa两式相减得 ，所以 ，故选 C51d8 【答案】A【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，nad1()nad因为 所以7194,2a1164,82(),ad解得 ，所以 的通项公式为 故选 A1,dn 12na9 【答案】 2AB【解析】因为 与 的等差中项是 ，所以 mnama2B10 【答案】74
22、【解析】由等差数列的性质可知 ，所以284637a2468374aa12 【答案】 35n【解析】因为 ， ，102a52所以 104,3,()35ndan2513 【答案】数列 是等差数列n【解析】因为2112321235lgllg()lg35nnnnna ，且 为常数，由等差数列的定义，可知数列 是等差数列lg3a14 【答案】 （1）证明见解析；（2）最小项为 且 ，最大项为 且 34a3【思路分析】 （1）因为 ， ，即可得到 ；（2）由（1）12nna()1nba*N+1nb知 ，则 ，设 ，利用函数的单调性，即可得到结72nb127nnab21()7fx论【解析】 （1）因为 ，
23、，1(2,)nna*N()1nba*N所以+1 ,nnnnnnba又 ，所以数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列152anb52（2）由（1）知 ，则 7nb7nna设 ，则 在区间 和 上为减函数2()fx()fx(,)2(,)所以当 时， 取得最小值为 1，当 时， 取得最大值为 33nna4nna故数列 中的最小项为 且 ，最大项为 且 3 415 【答案】B【解析】令 ，得 ；令 ，得 ，4n54a5n65a两式相加，得 ，所以 ，故选 B54652959416 【答案】C【解析】由 ，得 ，1()nad6+(1)=0+1ndn因为 ，所以当 时，n 取最大值 7故选 C*dN17
24、 【答案】B【解析】 ， ， 故选 B1917a9a315924a19 【答案】D【解析】根据题意得 ，解这个不等式组可得83752d，故选 D1091258ad20 【答案】A【解析】由题意可知，良马每日行程 构成数列 ， ，驽马每日行程 构成数列nan103,anb， ，假设第 天相逢，由题意知nb197,2d，解得 ，故选 A3102524n9n21 【答案】 5na【解析】设等差数列 的公差为 d，由题意有 11254,06add，解得 12,5ad，n所以 的通项公式为235nana22 【答案】 0【解析】因为公差,1qpqp所以 01qapqd23 【答案】 18【解析】由条件可
25、得 ，79 9231,7,()3kaadd所以 213(9),8k25 【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3）见解析25【解析】 （1）当 时， ， n211)(aS1当 时， ，2221()()nnna即 ， ，110nn221nnaa ， ，22()(a1 ，则 是等差数列， 1nn2n（2） ， ，02b19b ， 是等差数列，1nn ，2()10nnT当 时， 52max55（3）由（1）知 1nct要使 成等差数列，必须 ，2,m21mc即 ，整理得 ，31tt43t因为 m，t 为正整数，所以 t 只能取 2，3，5当 时， ；27当 时， ；3t5当 时， 5t4m故存在正
26、整数 t，使得 成等差数列12,mc26 【答案】A【解析】 nS表示点 nA到对面直线的距离（设为 nh）乘以 1nB长度的一半，即 12nnShB，由题目中条件可知 1B的长度为定值，那么需要知道 的关系式由于 1,n和两个垂足构成了直角梯形，那么 1sinnA，其中 为两条线的夹角，即为定值，则 11(sin)2ShAB，把 n 换成 n+1 可得 111(sin)2nShAB，作差后： 111(si)nnn，为定值，所以 nS是等差数列故选 A27 【答案】 63a【解析】因为 ， ，所以 ，解得 ，所以12536a346dd36(1)nan28 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【
27、思路分析】 （1）利用等差数列性质得 ，即得nknaa2nnnaa3212+，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得 ，na36 14，再将条件集中消元： ，nna12n36nn3211()n，即得 ，最后验证起始项也满足即可n2341() naa12（2）数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列” ，na(2)P(3)P因此，当 时， ，3nnnnaa2124当 时， 436由知， ，nn32141()n，aa将代入，得 ，其中 ，nn14所以 是等差数列，设其公差为 345, d在中，取 ，则 ，所以 ，23564aa23ad在中，取 ，则 ，所以 ，n1431所以数列 是等差数列The End 下 节 见
