1、几何体的外接球和内切球一、外接球1. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,23则此球的表面积 _2. 棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 3. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 ， ， ，则它的外接球表面积为 3 5 154. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2、 3、 6，这个 长方体的对角线长是 ；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 ,51，则它的体积为 5. 表面积为 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )433A. B. C. D. 23 13 23 2236. 三棱锥 PABC 中，PA 平
2、面 ABC 且 PA2，ABC 是边长为 的等边三角形，则该三3棱锥外接球的表面积为( )A. B443C8 D207. 若三棱锥 SABC 的所有的顶点都在球 O 的球面上，SA平面ABC，SAAB2，AC4， BAC ，则球 O 的表面积为 38. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是( )学 A. B. 43 83C2 D49. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的2表面积为 10. 已知 A，B ，C 是球 O 的球面上三点，AB2，AC2 ，ABC 60 ，且三棱锥3OABC 的体积为 ，则球 O 的表面积为 46311. 已知
3、圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B.34C. D.2 412. 已知三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱6的外接球的表面积为 12，则该三棱柱的体积为 13. 四面体 ABCD 中，若 ABCD ，AC BD ，AD BC 2，则四面体 ABCD 的2 3外接球的体积是 14. 正四棱锥 SABCD的底面边长与各侧棱长都为 2，点 S、 A、 B、 C、 D都在同一球面上，则该球的体积为 学 15. 已知表面积为 4 的球有一内接四棱锥，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 SA
4、平面 ABCD，则四棱锥 SABCD 的体积为 16. 已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B64C144 D25617. 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 6，则球的表面积和体积的比为 18. 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比二、内切球1. 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A. B. C. D.43 23 32 62. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A1 B133C
5、 13 D1933. 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积4. 若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则 .S1S25. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 1，则圆锥的体积为 6. 如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 V1V27. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为 r的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水
6、平面的高是多少？ 学 8. 设圆锥的底面半径为 2，高为 3，求：（1）内接正方体的棱长；（2）内切球的表面积学 参考答案几何体的外接球和内切球一、外接球1. 略2. 略3. 解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，则Error! 解得Error!外接球半径为 ，外接球表面积为 4 29.a2 b2 c22 32 (32)4. 略5. 如图所示，将正四面体补形成一个正方体设正四面体的棱长为 a.正四面体的表面积为 ，4 a2 ，解得 a ，正方体的棱长是 ，433 34 433 233 63又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是 R，2R ，R ，63 3 22球的体积为 3 ，
7、故选 A.43 ( 22) 236. 解析：选 C 由题意得，此三棱锥外接球即以ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的外接球，因为ABC 的外接圆半径 r 1，外接球球心到 ABC 的外接圆圆心的距32 323离 d1，所以外接球的半径 R ，所以三棱锥外接球的表面积 S4R 28.r2 d2 27. 解析：由题意，得三棱锥 SABC 是长方体的一部分(如图所示) ，所以球 O 是该长方体的外接球，其中 SAAB2，AC4，设球的半径为 R，则 2R 2 ，所以球 O 的表面积为 4R2 20.AC2 SA2 42 22 5答案：208. 解析：选 A 由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角
8、形，三棱锥的高为 1，其顶点在底面的射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点，由此可知此球的半径为 1，于是外接球的体积 V R3 .43 439. 解析：如图，正四棱锥 PABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1 上，设球的半径为 R，因为底面边长为 2 ，所以 AC4.在 RtAOO1 中，R 2(4R) 2 22，所以 R ，所以球的表252面积 S4R 2 25.答案：2510. 解析：AB2，AC 2 ，ABC60，在ABC 中，由正弦定理，得 32sin C，解得 sin C ，又 0C120，C 30，A90 ，23sin 60
9、12BC 4，A，B，C 是球 O 的球面上三点，ABC 外接圆的圆心为 BC 的中点，4 12故ABC 外接圆的半径为 2.设球心 O 到平面 ABC 的距离为 d，三棱锥 OABC 的体积为， 22 d ，d2 ，球 O 的半径 R 2 ，球 O463 1312 3 463 2 222 22 3的表面积为 4R248.答案：4811. 解析：选 B 设圆柱的底面半径为 r，则 r21 2 2 ，所以圆柱的体积 V 1(12) 34 34.3412. 解析：设球半径为 R，上，下底面中心设为 M，N，由题意，外接球心为 MN 的中点，设为 O，则 OAR，由 4R212，得 ROA ，又易得
10、 AM ，由勾股定理可知，3 2OM1 ，所以 MN2，即棱柱的高 h2，所以该三棱柱的体积为 ( )223 .34 6 3答案：3 313. 解析：作一个长方体，面对角线分别为 ， ，2，设长方体的三棱长分别为 x，y， ，2 3则Error! 则该长方体的体对角线为 ，则该长方体的外接球即为四面体x2 y2 z2322ABCD 的外接球，则外接球的半径为 R ，x2 y2 z22 324体积为 V 3 .43(324) 928答案： 92814. 【解析】OOH D CBAS15. 解析：由 S 球 4R 24 ，解得 R1，即 2R2.四棱锥 SABCD 的直观图如图所示，其所在的长方体
11、的外接球即四棱锥的外接球，所以 SA ，所以四棱锥4 2 2SABCD 的体积 V S 四边形 ABCDSA 1 .13 13 2 23答案：2316. 解析：选 C 如图，设球的半径为 R，AOB 90，S AOB R2.12V OABCV C AOB，而AOB 面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，V OABC最大，当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC 最大，为 R2R36， R 6，球 O 的表面积为 4R246 2144.131217. 略18. 【解析】解法一：作正方体对角面的截面，如图所示， 设半球的半径为 R，正方体的棱长为 a，那么
12、 CCa，OC .2a在 RtCCO 中，由勾股定理得 CC2OC 2OC 2，即 a2 2R 2，所以 R a.62从而 V 半球 R3 3 a3.又 V 正方体 a 3，26因此 V 半球 V 正方体 a3a 3 2.解法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径设原正方体棱长为 a，球的半径为 R，则根据长方体的对角线性质，得(2R) 2a 2a 2(2a)2，即 4R26a 2，所以 R a.从而 V 半球 R3 3 a3.又 V 正方体62262a 3，因此 V 半球 V 正
13、方体 a3a 3 2.626二、内切球1. 答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是 13 .43 432. 设正方体的棱长为 1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为 ，外接球的直径为正方12体的体对角线，外接球的半径为 ，32其体积比为 3 313 .43 (12) 43 ( 32) 33. 【解析】设正方体的棱长为 a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有 2r1a，r 1 ，所以 S14r a 2.2(2)球与正方
14、体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有 2r2 a，r 2 a，所以 S24 r 2 a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有 2r3 a，r 3 a，所以 S34r 3 a2.24. 解析：设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14 a2 a2，其内切球半径为34 3正四面体高的 ，即 r a a，因此内切球表面积为 S24r 2 ，14 14 63 612 a26则 .S1S2 3a26a2 63答案：635. 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面 ABC 及其内切圆O 1 和外接圆O 2，且两圆同圆心，即ABC 的内心与外心重合，易得 ABC 为正三角形，由题意知O 1 的半径为r1，即ABC 的边长为 2 ，圆锥的底面半径为 ，高为 3，故 V 333.3 313答案：36. 解析：设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为 R、高为 2R，所以 .V1V2 R22R43R3 32答案：327. 略8. 略
