1、中学数学研究 2010年第12期 几何体的内切与外接球问题 上海市松江二中 (201600) 卫福山 几何体与球有关的组合问题，一种是内切，一 种是外接作为这种特殊的位置关系在高考中也是 考查的难点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能 力和感性认识而感到模糊，这给分析问题和解决问 题带来困难解决这类题目时要认真分析图形，明确 切点和接点的位置及球心的位置，利用画截面图、等 体积法、构造几何体等方法常常可使这类问题迎刃 而解下面通过几个典型的例子具体说明 一、单球与几何体的内切、外接问题 1 棱锥的内切、外接球问题 我们知道，在平面内不共线的三点必定存在内 切与外接圆，推广到空间中，我们有这样的结
2、论：在 空间中不共面的四点必定存在内切球与外接球 (这里，内切即球与四点中任意三点组成的平面相 切，外接即四点均在球面上)由于四点不共面，两两 连线组成四面体，即三棱锥，此时只要从内切球与外 接球球心出发，将三棱锥分割成四个小三棱锥，再利 用体积法就可以求出内切球与外接球的半径 例1 棱长为n的正四面体的外接球和内切球 的半径分别是多少? 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面 图，通过点、线、面关系解之 解：画出如图1所示的正四面体及如图2所示的 截面图设点O是内切球的球 心，正四面体棱长为0由图 形的对称性知，点O也是外接 球的球心设内切球半径为， 外接球半径为R正四面体的 表面积s表
3、=4等。 = 4Xa iE四面体的体积 一 =字口2AE = 口 =, X。2 0,2一( , Y口3 表r= ，r= 3 。 3 。 图1 A 图2 在RtABEO中，BO =BE +EO ，即R = ( r2，得R= 脚棱长为。的正四面体的 外接球和内切球的半径分另IJ为 ， 又一仃 仃， =一27r3或 =7r3， 所求函数的表达式为Y=3sin(2x一2r3) 或Y=3sin(2x+zr3) 反思：振幅为3，最小正周期为仃，且过点Q(cr3， 0)的曲线有两条：y=3sin(2x一27r3)或Y=3sin(2x +r3)，它们关于 轴对称，但其中Y=3sin(2x一 27r3)不过点P
4、(rr12，3)故上述解法错误 杜绝此类错误的办法是求值时尽量不用零点 的坐标代人，而是用最高点或最低点的坐标代人这 是因为在长度为一个周期的闭区间内零点不唯一而 最高点或最低点唯一 正解：由题意有A=3周期T=4(r3一qr12) =7r 27ro=仃， ：2，这个函数的表达式为 Y=3sin(2x+ )， 图象过点P(rr12，3)，3sin(r6+)= =1，oor6+ =2kTr+7r2，(k 又一7r 7r =r3，所求函数的 表达式为Y=3sin(2x+ 3) 备注：若使用零点代人，则应先判断此零点是相 对于Y=sinx在O，27r上的第几个零点，如此题中 的点Q(rr3，0)应为
5、第二个零点，故将此点坐标代 人Y=3sin(2x+ )得3sin(r32+ )=0，进 一步应得7r32+ =2kcr+7r(kz)(而不是 zr32+ =kzr，kZ)， 又。一仃 仃， =仃3，。所求函数的 表达式为Y=3sin(2x+7r3) 在每一次解题后，自觉地对解题思路进行反思， 长期坚持，不仅能巩固知识，总结解题规律，避免解 题错误，还可以让学生从题海中解脱出来，减轻学习 负担，提高学习效率，培养批判性思维品质 2010年第12期 中学数学研究 29 例2设棱锥MABCD的底面是正方形，且MA= MD。MA J-AB，如果AAMD的面积为1，试求能够放 人这个棱锥的最大球的半径(
6、1990年高中数学联 赛第1试最后一题) 解：AB上 D，A 上 MA，AB上平面MAD，由此， 面 D上面AC记E是AD 的中点，从而ME_L AD MEA 上平面AC，ME上EF设球0 是与平面MAD、平面AC、平面 图3 MBC都相切的球如图3所示，得截面图AMEF及内 切圆0，不妨设0平面MEF，于是0是AMEF的内 心设球0的半径为r，则r=西 ，设AD =EF=a，S =1 EM= MF= + r： =s 一= 一1 。+ +。2+( ) 2 +2 当且仅当a= ，即 = 时，等号成立 当AD=ME= 时，满足条件的球最大半 径为 一1 评注：从例1、2可以看出正确画出直观图有助
7、于我们了解空间中点、线之间的位置关系，从而有助 于计算 2 棱柱的内切与外接球问题： (1)正方体的内切球：球与正方体的每个面都 相切，切点为每个面的中心， 显然球心为正方体的中心如 图4所示，设正方体的棱长为 a，球半径为R如图3，截面图 为正方形EFGH的内切圆，尺 ：旦 2 (2)与正方体各棱相切 的球(棱切球)：球与正方体 的各棱相切，切点为各棱的中 点，如图5，作截面图，圆0为 正方形EFGH的外接圆，易得 R： 图5 (3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在 球面上，如图6所示以对角面A 。作截面图得圆0 为矩形AAIC1c的外接圆，易得R：A。o= (4)正棱柱的外接球：其 球
8、心定在上下底面中心连线 的中点处，由球心、底面中心 及底面一顶点构成的直角三 角形便可得球半径 例3 在球面上有四个 点P、A、B、C如果PA、PB、PC 两两互相垂直，且PA=PB： 图6 PC=a，那么这个球的表面积是一 解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接 正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就 是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过 一 球心0，对角线cD= 口，从而球的半径为 口， 二 S球=47r( 0) =37r口 ，即表面积为3rra 二 例4 已知三棱柱ABC B C 的六个顶点在 球0 上，又知球0：与此正三棱柱的5个面都相切， 求球0 与球0 的
9、体积之比与表面积之比 分析：欲求两球的体积之比与表面积之比，关键 是求两个球的半径之比先画出过球心的截面图，再 来探求半径之间的关系 解：画出如图7所示的直观图及如图8所示的截 面图由题意得两球心0。、0 是重合的，过正三棱柱 的一条侧棱AA-和它们的球 心作截面，设正三棱柱底面边 长为口，则 z=4百3口，正三棱 柱的高为 ：2R ： q-a，在 RtAAlD10中有 2：(譬。) + 2z： (譬n)。+(譬口) = 。2 Rl= Cl =5：1 i = R ，：。 R ， 图8 = ： ， ： = 】 ： 2 中学数学研究 2010年第12期 =55：1 二、多球与几何体的相切问题 解决
10、多球相切有关问题，基本分三类：抓住 多球的堆垒放置规律；抓住各球心位置，转化为 多面体问题；适当选择截面，转化为平面几何问 题 例5(05年全国高考II理)将半径都为1的4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正 四面体的高的最小值为( ) A下3-+2 4-B2+ c4+半 D 解法一(利用 点线关系)：由题 意，四个半径为1的 小球的球心0 ，0 ， 0 ，0 ，恰好构成一A 个棱长为2的正四 面体，并且各面与正 四面体的容器P ABC的各对应面的 尸 图9 C 距离都为1如图9所不，显然HO=1设，?分别为 AB，0：0，的中点，在棱长为2的正四面体0 一 02D30 中， ： ，
11、日 ： ， ：半，且 sin 日= 作01M上Pv，贝4 01M：1，由于_01PM： ，01M 0lM TOl 。P01 三sinTO1tI-3 P0：P0l+O1日十HO：3+ +1：4 + 故选C 解法二(利用相似关系)：由题意，四个半径为1 的小球的球心0，0：，0，0 ，恰好构成一个棱长为2 的正四面体，并且各面与正四面体的容器PABC 的各对应面的距离都为1如图10所示，正四面体 0 一0：0 0 与正四面体PABC有共同的外接球 球心D的相似正四面体，其相似比为：i= = 赫P= =(寻 1 26 ， 至：主 ：三 +3 1 2 4 3 故PQ +OQ=( 3学)+3+( 1学
12、+1)：2下g+4故选c 解法三(利用 相似关系)：由题 意，四个半径为1的 小球的球心0 ，0 ， 0，0 ，恰好构成一A 个棱长为2的正四 面体，并且各面与正 四面体的容器尸一 ABC的各对应面的 图l0 C 距离都为1如图10所不，正四面体0 一 2 3D4与 PABC有共同的外接球球心0的相似正四面体， 从而有 = 00 ,=3，5HQ=1，所以0。P：3 由于01 ： ， 所以PQ：DP+OQ：01何+HQ+01P： +1+3： +4故选C 解法四(利用等体积法)：如图10，从0 点出发 将三棱锥PABC分成四个小三棱锥0 一PAB，0 一PBC，01一PAC，01一ABC 于是有：
13、 一A盯=vol一 + 1一朋c+VoIPAC+ 1枷c 设正四面体的高为h，四个球的球心连线组成 的正四面体D。一020，0 的高D。日： ，于是D。D ： ：1，从而： 5 。 =5 蹦 -+ s 。 + 2010年第12期 中学数学研究 31 (半+1) 则 ： +4，故选C 评注：本题是一道典型的多球与几何体相切的 问题四种解法也具有代表性，但正确理解空间中 点、线、面、体关系，增强直观认识是解题的基础 例6 将3个半径为1的球和1个半径为 一1 的球叠为两层放在桌面上，上层只放1个较小的球， 4个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的 距离是( ) A学 B c 。 图11 解：如
14、图11，将球心0。，0：，0 ，0 连结起来构 成侧棱长为 ，底面边长为2的正三棱锥 一 0 0 03设底面正三角形0 020，的中心为0，则 010： ，故正三棱椎0 一Ol 0 0 的高 ： =( 一(学 ， 显然平面0。0：0，到桌面的距离为1，所以上层 小球的最高点A到桌面的距离为1+ +( 一1) ：3_-+一46故选A 例7 4个半径为1的中球上层1个、下层3个两 两相切叠放在起 (1)有1个空心大球能把4个中球装在里边，求 大球的半径至少多少； (2)在它们围成的空隙内有1个小球与这4个 中球都外切，求小球的半径 解：(1)连结4个中球的球心得到棱长为2的正 四面体(直观图略)，
15、它的外接球的半径长 ，因此 大球的半径至少为 +1 (2)该小球的半径是最小大球的半径减去一个 中球的直径长2，鼢 _1 例8 在棱长为1的正方体内有两个球相外切 且又分别与正方体内切 (1)求两球的半径之和；(2)球的半径为多少 时，两球体积之和最小 图12 解：如图l2所示，画出截面图(对角面)，球心 0。，02在AC上，过0l，0：分别作AD，BC的垂线交于 E，F设两个球0。，0 的半径分别为r，R，则由AB= 1，AC= 得AO = ，CO：= r+ + (r +R)： 43 3一3 即R+r= = +1 (2)设两球体积之和为 ，则 ：了4仃(R +r )：了4仃(r+R)(R 一Rr+r ) = 仃 一 十( 于是当R= 时， 有最小值，故当R：r = 时，体积之和有最小值 评注：例6、7、8是比较复杂的多球与几何体相 切的问题，其难点之处还是空间中的点、线、面、体之 间的相对位置关系，若能够画出直观图(如例8)常 使问题变得简单，但是在直观图很难画出的情况下， 空间想象能力的作用就尤为重要了 由此可见，几何体的内切与外接球问题并不可 怕，只要我们能够搞清楚球与几何体的相对位置关 系，通过画直观图或截面图，并恰当使用一些方法， 常常可以找到问题的突破口
