1、第一章 集合1 聚焦“集合”双基一、透析“集合”的基础知识(一)集合的含义1集合的含义是一个描述性的，我们可以理解为一些对象组成的总体就构成集合，其中构成集合的每一个对象称为集合的元素所以只要把对象看成整体就可以构成集合2集合的元素的三个特性(1)确定性：对于一个集合中每一个元素都可以判断该元素是不是集合中的元素如“2017年中国效益较好的大型企业”就不能构成集合，因为“2017 年中国效益较好的大型企业”中的对象是不确定的，效益较好和大型企业都没有明确的标准，无法判断一些企业是否属于这个范围(2)互异性：互异性是指集合中的元素必须是互不相同的如集合 x|x24 x402，而不能写成2，2(3
2、)无序性：对于一个集合中的元素无先后顺序，只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就是相等的(二)集合的表示1列举法：列举法是将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合用列举法表示集合时，首先要注意集合中元素的基本形式例如：集合1,2与(1,2)是两个完全不同的集合，1,2是由 1,2 这两个元素所构成的集合，(1,2)是以一个实数对(1,2)为元素构成的集合另外，用列举法表示由许多元素或无限个元素组成的集合时，要注意充分体现元素间的规律，在花括号内列举出部分元素，其余的元素用省略号表示例如：所有正整数构成的集合可记为1,2,3,4， n，2描述法：它是指用集合所含元素的共同特征
3、来表示集合的方法具体可这样表示：在花括号“ ”内先写上表示这个集合元素(代表元素)的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征它的一般表示形式为 x A|p(x)，竖线前的 x 就是代表元素对于描述法中的代表元素应注意以下两点：(1)应写清楚该集合中的代表元素如集合 x|2 x4不能写成2 x4，因为这样少了代表元素(2)竖线后边应对代表元素的取值有准确的表示，比如下面的表示方法是错误的：( x， y)|(1,0)，事实上，它应表示为( x， y)|x1， y0，或表示为(1,0)(三)集合间的基本关系1空集是不含任何元素的集合，它虽然不含任何元素，但这样的集
4、合是客观存在的由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合问题时，空集还是很活跃的，一不小心就会出错如满足 BA，就要分 B和 B进行研究2子集可以理解为集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，则 A 是 B 的子集比如任何一个整数都是有理数，也就是说整数集是有理数集的子集，可以表示为： Q.但不要理解为 A 是 B 中部分元素组成的集合，因为 A时， A 也是 B 的子集，还有 A B 时， A 也是B 的子集3真子集可以从两方面理解：一是集合 A 是集合 B 的子集，二是集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A.如 A1,2,3,4,5， B1,2,3,4,5,
5、6，由于 6 B，但 6A，且有 AB，则集合 A 是集合 B 的真子集4若两个集合互相包含，即 AB，且 AB，则称集合 A 与集合 B 相等，记作 A B.(四)集合的基本运算1并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作A B.符号表示： A B x|x A 或 x B相关结论： A A A， A A， A B B A.A B 中的元素就是把集合 A， B 中所有元素并在一起构成的集合，要注意集合间元素的互异性，对于既属于集合 A 又属于集合 B 的元素只能出现一次2交集：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B
6、 的交集，记作A B.符号表示： A B x|x A，且 x B相关结论： A A A， A， A B B A.A B 中的任何元素都是集合 A 和 B 的公共元素，当集合 A， B 没有公共元素时，不能说集合 A， B 没有交集，而是 A B.3补集：由全集 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，称为 A 在 U 中的补集，表示为UA，实际上 UA x|x U，且 xA补集的概念是在全集中定义的，是由属于全集 U 但不属于集合 A 的所有元素构成，集合 A 和它的补集 UA 都是集合 U 的子集，且 A( UA)， A( UA) U，全集不同，则补集也不同二、盘点解集合问题的基本方法(一)
7、列举法对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来例 1 设集合 M1,2,4,8， N x|x 是 2 的倍数，则 M N 等于( )A2,4 B1,2,4 C2,4,8 D1,2,8解析 因为 N x|x 是 2 的倍数，0,2,4,6,8，所以 M N2,4,8故选 C.答案 C评注 对于元素易于列举的集合，通常可以不用组合知识，而是直接列举(二)结构相似法对于用描述法给出的若干集合，判断它们的关系时，可以把它们各自的属性化为结构相似的表达式例 2 若集合 A x|x m ， m ， B x|x ， n ， C x|x ， p ，则16 n2 13 p2 16A， B， C
8、之间的关系是( )A A B C B A B CC A B C D B C A解析 集合 A 中， x ， m ；集合 B 中， x ， n ；集合 C 中， x6m6 16 3 n 16 16 ， p .不难判断 A B C.3p6 16答案 B(三)数轴法当集合中的元素与不等式相关时，可借助于数轴进行运算具有简明的直观效果例 3 设集合 A x|1 x a1， xR， B x|1 x5， xR，若 A B，则实数a 的取值范围是( )A0 a6 B a2 或 a4C a0 或 a6 D2 a4解析 由1 x a1，得 a1 x a1.如图，可知 a11 或 a15.所以 a0 或 a6.答
9、案 C评注 不等式型集合的交集、并集通常可以借助数轴来解，解题时注意验证区间端点是否符合题意(四)Venn 图法借助 Venn 图的直观显示，常可使集合问题化难为易例 4 已知 A， B 均为集合 U1,3,5,7,9的子集，且 A B3，( UB) A9，则 A 等于( )A1,3 B3,7,9C3,5,9 D3,9解析 如图，因为 A B3，所以 3 A.又因为( UB) A9，所以 9 A.答案 D(五)取特殊值法对于以选择题出现的集合的交、并、补运算问题，根据选择题的特点(有且仅有一个正确)，对集合中的未知数或参数取特殊值进行解答是一种行之有效的方法例 5 设 M x|2 x2， N
10、x|x1，则 M N 等于( )A x|1 x2 B x|2 x1C x|1 x2 D x|2 x1答案 D2 集合的基本关系与运算一、子集集合问题的核心一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A.记作： AB 或 BA.当集合 A 不包含于集合B，或集合 B 不包含集合 A 时，则记作 AB 或 BA.例 1 设集合 A x|x23 x20， B x|(x a)(x21)0，当 a 为何值时， AB?分析 集合 A， B 都是用“描述法”表示的方程的解集，为了比较 A 和 B 的关系，先考
11、虑将A 和 B 进行化简解 易得集合 A1,2当 a1 或 a1 时， B1,1，此时 AB；当 a1 且 a1时， B1,1， a要使 AB，则 a2.故当 a2 时， AB.二、交集两集合间的“且运算”由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集，记为A B，即 A B x|x A，且 x B，其中关键词为“且” 例 2 设全集 U ，集合 A1,0,1,2， B x|x2 x0，则 A( UB)_.分析 先求出集合 B，再按集合相关运算法则求解解析 因为 B x|x2 x00,1，所以 A( UB)1,2答案 1,2三、并集两集合间的“或运算”由所
12、有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集，记为A B，即 A B x|x A 或 x B，其中关键词为“或” 例 3 若全集 UR，集合 A x|1 x2， B x|x y1， y A，求 A B.分析 欲求 A B，先对 B 进行化简解 因为 y A，即1 y2，且 x y1，所以 0 x3，即 B x|0 x3所以 A B x|1 x3四、补集全集对子集的“差运算”一般地，设 U 是一个集合， A 是 U 的一个子集，即 AU，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集 A 在全集 U 中的补集，记为 UA，即 UA x|x U 且 x
13、A，可以理解为全集对子集的差集例 4 设全集 U2,9， a22 a3，集合 A|2 a1|,2，且 UA5，求实数 a 的值解 因为 U2,9， a22 a3， UA5，所以 a22 a35.解得 a2 或 a4.若 a2，则 U2,9,5， A2,3，不合题意；若 a4，则 U2,9,5， A2,9，符合题意故 a4.五、等集一个集合的两种表示例 5 已知集合 M2， a， b与集合 N2 a,2， b2是同一个集合，求 a、 b.分析 此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的性质建立关系式解 两个集合为同一个集合，则这两个集合的元素完全相同且与元素的顺序无关，于是Error!或
14、 Error!解之，得Error!或Error! 或Error!又当 a0， b0 时，不满足互异性，应该舍去因此Error! 或Error!评注 解决集合相等的问题，易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.3 集合中的数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题集合中常用的方法是数轴法和 Venn 图法例 1 已知全集为 U， U a|aN 且 a9，且( UA) B1,9， A B2，(
15、 UA)( UB)4,6,8，试确定集合 A， B.分析 若能将题设条件中所给出的各个集合中的元素，都能在 Venn 图上表示出来，那么所要确定的集合 A， B 中的元素，将会从 Venn 图上一目了然地得出解 将已知条件中的集合U a|aN 且 a91,2,3,4,5,6,7,8,9，(UA) B1,9， A B2，(UA)( UB) 4,6,8，在 Venn 图上表示出来，如图所示由 Venn 图可以直观地得出A2,3,5,7，B1,2,9例 2 某学校艺术班有 100 名学生，其中学舞蹈的学生有 67 人，学唱歌的学生有 45 人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌，人数有 21 人，那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？解 设只学舞蹈的学生有 x 人，只学唱歌的学生有 y 人，既学舞蹈又学唱歌的学生有 人，Venn 图如图Error!解得Error!所以同时学舞蹈和唱歌的有 33 人例 3 已知集合 A x|x2 m1，解得 m2，此时有 BA；若 B，则 m12 m1，即 m2，由 BA，得Error! ，解得 2 m3.由得 m3.实数 m 的取值范围是 m|m3
