1、1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征知识点一 圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征(1)定义Error!分别看作以 所在的直线为旋转轴，将矩 形 的 一 边直 角 三 角 形 的 一 直 角 边直 角 梯 形 中 垂 直 于 底 边 的 腰 矩 形直 角 三 角 形直 角 梯 形 分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体这类几何体叫旋转体(2)相关概念高：在轴上的这条边(或它的长度 )底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：绕轴旋转的边(3)图形表示知识
2、点二 球1定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球2相关概念(1)球心：形成球的半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上一点的 线段(2)球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段(3)球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆(4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆(5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离3球形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分知识点三 旋转体1定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生
3、的曲面所围成的几何体2轴：这条直线叫做旋转体的轴知识点四 组合体思考 组合体是由简单几何体堆砌(或叠加) 而成的吗？答案 不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等梳理 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体1圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 ( )2夹在圆柱的两个平行截面间 的几何体是一圆柱 ( )3半圆绕其直径所在直线旋转 一周形成球 ( )类型一 旋转体的结构特征例 1 下列命题正确的是_(填序号)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的
4、高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面答案 解析 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；它们的底面为圆面；正确反思与感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成明确旋转轴是哪条直线(2)简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母 线、高等体 现简单 旋转体结构特征的关键量在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想跟踪训练 1 下列命题：圆柱的轴截面是过母线的
5、截面中最大的一个；用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；球的半径是球面上任意一点与球心的连线段其中正确的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 C解析 错误，截面可能是一个三角形； 错误， 圆台的任意两条母 线的延长线必相交于一点；正确故选 C.类型二 简单组合体的结构特征例 2 如图所示，已知 AB 是直角梯形 ABCD 与底边垂直的一腰分别以 AB，CD，AD 为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征解 (1)以 AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示(2)以 CD 边为轴 旋转所得旋转 体为一组合体：上部为圆锥 ，下部为圆台
6、，再挖去一个小圆锥如图(2)所示(3)以 AD 边为轴 旋转得到一个 组合体，它是一个 圆柱上部挖去一个圆锥如图(3) 所示反思与感悟 (1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成(2)必要时作模型，培养动手能力跟踪训练 2 如图(1)、(2) 所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解 图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图、图.其中图是由一个圆柱 O1O2 和两个圆台 O2O3，O3O4组成的；图是由一个圆锥 O5O4，一个圆柱 O3O4 及一个圆台 O1O3 中挖去圆锥 O2O1组成的类型三 旋转体中
7、的有关计算命题角度 1 有关圆柱、圆锥、圆台的计算例 3 一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4 cm2 和 25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD(如图所示)由已知可得 O1A2 cm ，OB5 cm.又由题意知，腰长为 12 cm，所以高 AM 122 5 223 (cm)15(2)如图所示，延长 BA，OO1，CD 交于点 S，设截得此圆台的圆锥的母线长为 l，则由SAO 1SBO，可得 ，解得 l20 cm.l 12l 25即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.反思与感悟 用平行于底面的平面去
8、截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性 质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面 )的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程 组而得解跟踪训练 3 如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱3的底面半径解 设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，则由三角形相似，得 ，R rR 342 22即 1 ，解得 r1.r2 12即圆柱的底面半径为 1.命题角度 2 球的截面的有关计算例 4 在球内有相距 9 cm 的两个平行截面面积分别为 49 cm2 和 400 cm2，求此球的半径解 若两截面位于球心的同侧，如 图(1
9、)所示的是经过球心 O 的大圆截面，C，C 1 分别是两平行截面的圆心，设球的半径 为 R cm，截面 圆的半径分别为 r cm，r1 cm.由 r 49，得 r17(r 17 舍去)，21由 r2400 ，得 r20(r20 舍去)在 Rt OB1C1 中，OC 1 ，R2 r21 R2 49在 Rt OBC 中，OC .R2 r2 R2 400由题意可知 OC1OC9，即 9，R2 49 R2 400解此方程，取正值得 R25.若球心在两截面之间，如图 (2)所示，OC 1 ，OC .R2 49 R2 400由题意可知 OC1OC9，即 9.R2 49 R2 400整理，得 15，此方程无
10、解，这说明第二种情况不存在R2 400综上所述，此球的半径为 25 cm.引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为 5，两个平行截面的周长分别为 6 和 8”，则两平行截面间的距离是_答案 1 或 7解析 画出球的截面图，如图 所示两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：两个平行截面在球心的两侧，两个平行截面在球心的同侧对于，m 4，n 3，52 32 52 42两平行截面间的距离是 mn 7；对于，两平行截面间的距离是 mn1.反思与感悟 设球的截面圆上一点 A，球心为 O，截面圆心为 O1，则AO 1O 是以 O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用 该直角三角形或者用
11、 过球心和截面圆心的轴截面求解跟踪训练 4 设地球半径为 R，在北纬 45圈上有 A、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于R.求 A，B 两地间的球面距离24解 如图所示，A，B 是北纬 45圈上的两点， AO为它的半径，O 为地球的球心，OO AO ，OOBO.OAO OBO45，AOBO OA cos 45 R.22设AOB 的度数 为 ，则 AO R R，90.180 180 22 24AB R.AO 2 BO 2 (22R)2 ( 22R)2在AOB 中，AOBOABR， 则AOB 为正三角形，AOB60.A，B 两地间 的球面距离为 R.60R180 31下列几何体是台体的是( )考点
12、 圆台的结构特征题点 圆台的概念的应用答案 D解析 台体包括棱台和圆台两种， A 的错误在于四条侧棱没有交于一点，B 的错误在于截面与圆锥底面不平行C 是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知 D 正确2下列选项中的三角形绕直线 l 旋转一周，能得到如下图中的几何体的是( )答案 B解析 由题意知，所得几何体是 组合体，上、下各一圆锥，显然 B 正确3下面几何体的截面一定是圆面的是( )A圆台 B球 C圆柱 D棱柱答案 B解析 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是 圆面的几何体只有球4若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的母线长为_3考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算
13、答案 2解析 如图所示，设等边三角形 ABC 为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC 的边长，且 SABC AB2， AB2，AB2.故圆锥的母线长为 2.34 3 345湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为 24 cm，深为 8 cm 的空穴，则球的半径为_ cm.答案 13解析 设球的半径为 R cm，由题意知，截面圆的半径 r 12 cm，球心距 d(R8)cm，由 R2r 2d 2，得 R2144(R8) 2，即 20816R0，解得 R13 cm.1圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示2处理台体问题常采用还台为锥 的补体思想3处理组合体问题常采用分割思想4重视
14、圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1下列几何体中不是旋转体的是( )答案 D2下列说法正确的是( )A到定点的距离等于定长的点的集合是球B球面上不同的三点可能在同一条直线上C用一个平面截球，其截面是一个圆D球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面考点 球的结构特征题点 球的概念的应用答案 D解析 对于 A，球是球体的简称，球体的外表面我 们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故 A 错；对于 B，球面上不同的三点一定不共线，故 B 错；对于 C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个 圆，故 C
15、错，故选 D.3一个圆柱的母线长为 5，底面半径为 2，则圆柱的轴截面的面积为( )A10 B20 C40 D15答案 B4一个圆锥的母线长为 20 cm，母线与轴的夹角为 30，则圆锥的高为 ( )A10 cm B20 cm C20 cm D10 cm3 3答案 A解析 如图所示，在 RtABO 中， AB20 cm，A30 ，所以 AOABcos 3020 1032(cm)35如果圆台两底面的半径分别是 7 和 1，则与两底面平行且等距离的截面面积是 ( )A24 B16 C8 D4答案 B解析 截面圆的半径为 4，7 12面积为 r216.6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不
16、正确的是( )A该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B该几何体有 12 条棱、6 个顶点C该几何体有 8 个面，并且各面均为三角形D该几何体有 9 个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案 D解析 其中 ABCD 不是面，该几何体有 8 个面7用一张长为 8，宽为 4 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A2 B2C. 或 D. 或2 4 2 4答案 C解析 如图所示，设底面半径 为 r，若矩形的 长 8 为卷成圆 柱底面的周长，则 2r8，所以r ；同理，若矩形的宽 4 为卷成圆柱的底面周长， 则 2r4，所以 r ，故 选 C.4 28.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴
17、旋转一周，形成的几何体形状为( )A一个球体B一个球体中间挖去一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析 圆面绕着直径所在的轴，旋 转而形成球，矩形 绕着轴 旋转而形成圆柱. 故选 B. 二、填空题9正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是_答案 两个圆锥解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故 绕对 角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥10若母线长是 4 的圆锥的轴截面的面积是 8，则该圆锥的高是_答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的高 h ，42 r2由题意可知 2rhr 8，12 42 r2r 28，h2 .211若一个圆锥的侧面展开
18、图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的高为_考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 3解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，因为 4l 2，所以母线长为l2，又半圆的弧长为 2，圆锥的底面的周长为 2r2 ，所以底面圆半径为 r1，所以该圆锥的高为 h .l2 r2 22 12 3三、解答题12A，B ，C 是球面上三点，已知弦( 连接球面上两点的线段)AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm，平面 ABC 与球心的距离恰好为球半径 R 的一半，求球的半径解 如图所示，因为 AB2BC 2AC 2，所以ABC 是直角三角形所以ABC 的外接圆圆心 O1 是 AC
19、 的中点过 A，B，C 三点的平面截球 O 得圆 O1 的半径为r15 cm.在 Rt OO1C 中，R 2 2r 2.(R2)所以 R2 15 2，所以 R2300，R24所以 R10 (cm)3即球的半径为 10 cm.313圆台侧面的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30，一个底面的半径是另一个底面半径的2 倍求两底面的半径与两底面面积之和解 设圆台上底面半径为 r，则下底面半径为 2r，圆台上底面面 积为 S1，下底面面积为 S2，两底面面积之和为 S.如图所示，ASO30，在 Rt SOA 中， sin 30，rSASA2r.在 RtSOA 中， sin 30， SA4r.2rSA又
20、 SASA AA ，即 4r2r2a，ra.SS 1S 2r 2(2r )25r 25a 2.圆台上底面半径为 a，下底面半径 为 2a，两底面面 积之和 为 5a2.四、探究与拓展14一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析 由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选 B.15圆台的上、下底面半径分别为 5 cm,10 cm，母线长 AB20 cm，从圆台母线 AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点 A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离考点 圆台的结构特征题点 与圆台有关的运算解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中 AM 的长度，设 OBl，则 l2 5，(l20)210，解得 ，l20 cm.2OA40 cm， OM30 cm.AM 50 cm.OA2 OM2即绳子最短长度为 50 cm.(2)作 OQAM 于点 Q，交弧 BB于点 P，则 PQ 为所求的最短距离OAOM AMOQ，OQ24 cm.故 PQOQ OP 24204(cm)，即在 绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为 4 cm.
