1、23 圆的方程23.1 圆的标准方程学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点) 2.能根据所给条件求圆的标准方程(重点) 3.掌握点与 圆的位置关系(重点) 4.圆的标准方程的求解( 难点)自 主 预 习探 新 知1圆的标准方程(1)以 C(a，b )为圆心，r(r0) 为半径的圆的标准方程为(xa) 2(yb) 2r 2.(2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 x2y 2r 2.2点与圆的位置关系设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内d 与 r 的大小关系 dr dr dr思考：若点
2、 P(x0，y0)在圆 C：(xa) 2(yb) 2上，需要满足(x 0a) 2(y 0b) 2r 2，那么 P在圆 C内和圆 C外又满足怎样的关系？提示 若点 P在圆 C内，则有(x 0a) 2( y0b) 2r 2.若点 P在圆 C外，则有(x 0a) 2(y 0b) 2r 2.基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定( )(2)方程(xa )2(yb) 2 m2 一定表示圆( )(3)圆(x 2) 2(y3) 29 的圆心坐标是(2,3) ，半径是 9.( )解析 (1)正确确定圆的几何要素就是圆心和半径(2)错误当 m0 时，不表示 圆(
3、3)错误圆( x2) 2(y3) 29 的圆心为(2，3) ，半径为 3.答案 (1) (2) (3)2已知圆的方程是(x 2) 2(y3) 24，则点 P(3,2)( )A是圆心 B在圆上C在圆内 D在圆外C 圆 心 M(2,3)，半径 r2，| PM| r ，点 P在圆3 22 2 32 2内3点 P(m,5)与圆 x2y 216 的位置关系是( )【导学号：90662196】A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定A 圆 心为(0,0)，半径 r4，P到圆心的距离 d 4，m2 25所以 P在圆外合 作 探 究攻 重 难直接法求圆的标准方程(1)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)
4、 的圆的方程为( )Ax 2(y2) 21 Bx 2(y 2) 21C(x1) 2(y3) 21 Dx 2(y 3) 21(2)已知一圆的圆心为点(2 ，3) ，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则此圆的标准方程是( )【导学号：90662197】A(x2) 2(y3) 213 B(x2) 2 (y3) 213C(x2) 2(y3) 252 D(x2) 2(y3) 252思路探究 (1)设出圆心坐标，利用两点 间的距离公式求圆心坐标，再写出 圆的标准方程(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程解析 (1)设圆心坐标为(0， b)，则由题意知 1
5、，解得 b2.0 12 b 22故圆的方程为 x2(y 2) 21.(2)设此直径两端点分 别为(a,0) ，(0，b)，由于圆心坐标为(2，3)，所以a4，b6，所以圆的半径 r ，从而所求圆的方程是4 22 0 32 13(x 2)2(y3) 213.答案 (1)A (2)A规律方法 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程跟踪训练1以点 A( 5,4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )A(x5) 2(y4) 225B(x5) 2(y4) 216C(x5) 2(y4) 21
6、6D(x5) 2(y4) 225C 因 该圆与 x 轴相切，则圆的半径 r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x5) 2(y4) 216.待定系数法求圆的标准方程求圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程思路探究 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径解 法一： 设点 C 为圆心，点 C在直线：x2y 30 上，可设点 C的坐标为(2a3，a)又该圆经过 A，B两点， |CA| CB|. 2a 3 22 a 32，2a 3 22 a 52解得 a2.圆心坐标为 C(1，2)，半
7、径 r .10故所求圆的标准方程为(x1) 2(y2) 210.法二：设所求圆的标准方程为(x a)2(yb) 2r 2，由条件知Error!解得Error!故所求圆的标准方程为(x 1)2(y2) 210.法三：线段 AB的中点为(0，4)，k AB ， 3 52 2 12所以弦 AB的垂直平分线的斜率 k2，所以线段 AB的垂直平分线的方程为：y42x，即 y2x4.故圆心是直线 y2x 4 与直线 x2y30 的交点，由Error!得Error!即圆心为(1， 2)，圆的半径为r ， 1 22 2 32 10所以所求圆的标准方程为(x1) 2(y2) 210.规律方法1待定系数法求圆的标
8、准方程的一般步骤设方程(xa) 2( yb) 2r 2)列方程组(由已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组)解方程组( 解方程组，求出 a、b、r)得方程 (将 a、b、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)2充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单跟踪训练2求圆心在 x 轴上，且过点 A(5,2)和 B(3，2)的圆的标准方程解 法一：设圆 的方程为(x a)2(yb) 2r 2(r0)则Error!解得 Error!所以所求圆的方程为(x 4)2y 25.法二：因为圆过 A(5,2)，B(3，2)两点，所以圆心一定在线段 AB的中垂线上AB中垂线的方程为 y (x4)，12令 y0，得 x
9、4.即圆心坐标为 C(4,0)，所以 r|CA| .5 42 2 02 5所以所求圆的方程为(x 4)2y 25.与圆有关的最值问题探究问题1若 P(x，y)为圆 C(x1) 2y 2 上任意一点，请求出 P(x，y)到原点的距离的最14大值和最小值提示 原点到 圆心 C( 1,0)的距离 d1，圆的半径 为 ，故 圆上的点到坐标原点12的最大距离为 1 ，最小距离为 1 .12 32 12 122若 P(x，y)是圆 C(x3) 2y 24 上任意一点，请求出 P(x，y)到直线xy10 的距离的最大 值和最小值提示 P(x，y)是圆 C上的任意一点，而圆 C的半径为 2，圆心 C(3,0)
10、，圆心 C到直线 xy10 的距离 d 2 ，所以点 P到直线 xy10 的|3 0 1|12 12 2距离的最大值为 2 2，最小值为 2 2.2 2已知实数 x，y 满足方程 (x2) 2y 23.求 的最大值和最小值.yx【导学号：90662198】思路探究 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相yx切求得解 原方程表示以点 (2,0)为圆心，以 为半径的圆， 设 k，即 ykx，3yx当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k取最大值和最小值，此时 ，|2k 0|k2 1 3解得 k .3故 的最大值为 ，最小 值为 .yx 3 3母题探究：1.在本例条件下，求 yx 的最
11、大值和最小值解 设 yxb，即 yxb，当 yxb 与圆相切时，纵截距 b取得最大值和最小值，此时 ，|2 0 b|2 3即 b2 .6故 yx 的最大值为2 ，6最小值为2 .62在本例条件下，求 x2 y2 的最大值和最小值解 x2y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为 2，故(x 2y 2)max(2 )274 ，3 3(x2 y2)min(2 )27 4 .3 3规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如 u 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y)和(a，b)的动直线斜率
12、的y bx a最值问题(2)形如 laxby 形式的最值问题，可转化为动直线 y x 截距的最值问ab lb题(3)形如(xa )2(yb) 2 形式的最值问题，可转化为动点(x ，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题当 堂 达 标固 双 基1点 P(m,5)与圆 x2y 224 的位置关系是( )A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定A m22524， 点 P在圆外2圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2) 的圆的方程是( )【导学号：90662199】Ax 2(y2) 21 Bx 2(y 2) 21C(x1) 2(y3) 21 Dx 2(y 3) 21A 设圆 心为(0 ，b)，
13、则圆 的方程为 x2(yb) 21，又点(1,2)在圆上，所以1(2 b)2 1，b2，故方程为 x2 (y2) 21.3经过圆 C：(x 1) 2(y2) 24 的圆心且斜率为 1 的直线方程为_解析 圆 C的圆心为( 1,2)，又所求直 线的斜率为 1，故由点斜式得y2x1，即 xy 3 0.答案 xy304若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_解析 由题 意知圆 C的圆心为(0,1)，半径为 1，所以圆 C的标准方程为x2(y 1)21.答案 x 2(y1) 215已知圆 N 的标准方程为(x5) 2( y6) 2a 2(a0).【导学号：90662200】(1)若点 M(6,9)在圆上，求半径 a；(2)若点 P(3,3)与 Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求 a 的范围解 (1)点 M(6,9)在圆上，(6 5)2(96) 2a 2，即 a210，又 a0，a .10(2)| PN| ，3 52 3 62 13|QN| 3，5 52 3 62|PN|QN|，故点 P在圆外，点 Q在圆内，3a .13
