1、 2.3.2 圆的一般方程 学习目标：1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法(难点、易错点) 自 主 预 习探 新 知1圆的一般方程的定义(1)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEy F0 叫做圆的一般方程，其圆心为Error! ，半径为Error!.(2)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEy F0 表示点Error!.(3)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEy F0 不表示任何图形思考：若二元二次方程 Ax2BxyCy 2D
2、xEy F 0 表示圆，需满足什么条件？ 提示 应满足三个条件： AC 0；B0；D 2E 24AF0.2由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点 M(x0，y 0)和圆的方程 x2y 2Dx EyF 0(D2E 24F 0)则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点 M 在圆外 xError!y Error!Dx 0Ey 0F 0点 M 在圆上 xError!y Error!Dx 0Ey 0F 0点 M 在圆内 xError!y Error!Dx 0Ey 0F 0合 作 探 究攻 重 难圆的一般方程的辨析若方程 x2y 22mx2ym 25m0 表示圆，求：(1)实数 m 的取值范围；(2)圆
3、心坐标和半径. 解 (1)据题意知D2E 24F (2m)2(2) 24(m 25m)0，即 4m244m 220m 0，解得 mError!，故 m 的取值范围为Error!.(2)将方程 x2y 22mx 2ym 25m0 写成标准方程为(xm )2( y1)215m，故圆心坐标为(m,1) ，半径 r.规律方法 方程 x2y 2DxEyF 0 表示圆的两种判断方法1配方法.对 形如 x2y 2DxEyF 0 的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.2运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2E 24F 是否为正，确定它是否表示圆.提醒：在利用 D2E 24F
4、0 来判断二元二次方程是否表示圆时， 务必注意x2 及 y2 的系数.跟踪训练1方程 x2 y2ax2ayError!a 2a10 表示圆，则 a 的取值范围是( )Aa1 Ba1C 2aError! D2a0A 当 a24a 24Error! 0 时，表示圆的方程，化简得a10，解得 a1， 选 A.2已知 aR，方程 a2x2(a2) y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2， 4) 5 由二元二次方程表示圆的条件可得 a2a2，解得 a2 或1.当 a2 时，方程为 4x24y 24x8y 100，即 x2y 2x2yError! 0，配方得Error! (y1) 2Er
5、ror!0，不表示圆；当 a1 时，方程为 x2y 24x8y 50，配方得(x2) 2(y4) 225，则圆心坐标为( 2， 4)，半径是 5.求圆的一般方程已知ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B( 2,3)，C(4，5)，求ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径. 思路探究：设出圆的一般方程，用待定系数法求解解 设 ABC 的外接圆方程为x2y 2DxEy F 0，A，B，C 在圆上，Error!Error!ABC 的外接圆方程为 x2y 22x 2y230，即(x1) 2(y1) 225.圆心坐 标为(1，1) ，外接 圆半径为 5.规律方法 利用待定系数法求圆的方程的解题策略1
6、如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r.2如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.跟踪训练3已知一圆过 P(4，2) ，Q( 1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4，求圆的方程解 法一：(待定系数法)设圆的方程为 x2y 2DxEyF0，将 P，Q 的坐标分别代入上式，得Error!令 x0，得 y2EyF0， 由已知|y 1y 2|4，其中 y1，y2 是方程的两根(y1y 2)2(y 1y 2)24y 1y2E 24F48. 联立解得，Error
7、!或Error!故所求方程为 x2y 22x120 或 x2y 210x 8y 40.法二：(几何法)由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 xy 10.所求圆 的圆心 C 在直线 xy10 上，设其坐标为(a，a1)又圆 C 的半径长r|CP|. 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4，而圆心 C 到 y 轴的距离为|a|.r2a 2Error!，代入并将两端平方得 a26a50，解得 a11，a 25，r1， r2.故所求圆的方程为(x 1) 2y 213 或(x5) 2( y4) 237.求动点的轨迹方程探究问题1已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0) 的距离的 2
8、 倍，你能求出点 M 的轨迹方程吗？提示 设 M(x，y)，则2，整理可得点 M 的轨迹方程为 x2y 216.2已知直角ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)， B(3,0)，请求出直角顶点 C 的轨迹方程提示 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知，| CD|Error! |AB|2，由 圆的定义知， 动点 C 的轨 迹是以 D(1,0)为圆心，以 2为半径长的圆( 由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)设 C(x，y)，则直角顶点 C 的轨迹方程为(x1) 2y 24(x3 且 x1)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和
9、B(2，2)，且圆心 C 在直线l：xy10 上(1)求圆 C 的方程；(2)线段 PQ 的端点 P 的坐标是(5,0)，端点 Q 在圆 C 上运动，求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程思路探究：(1)利用圆的有关几何性质，确定圆心坐标与半径可求得圆 C 的方程(2)点 M 随点 Q 运动而运 动，将 Q 点坐标用 P、M 两点坐 标表示，再将 Q 点坐标代入(1)中的 圆的方程，即得 M 点的轨迹方程解 (1)设点 D 为线段 AB 的中点，直线 m 为线 段 AB 的垂直平分线，则DError!.又 kAB3，所以 kmError!，所以直线 m 的方程为 x3y 30.由Error!得圆
10、心 C(3， 2)，则半径 r|CA|5，所以圆 C 的方程为(x 3) 2( y2) 225.(2)设点 M(x，y)，Q(x0，y0)因为点 P 的坐标为(5,0) ，所以Error!即Error!又点 Q(x0，y0)在圆 C：(x 3)2(y2) 225 上运动，所以(x 03) 2(y 02) 225，即(2x53) 2(2y2) 225.整理得(x1) 2(y1) 2Error!.即所求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为(x 1)2(y1) 2Error! .母题探究：1.若本例(2)中条件不变，增加条件“且动点 M 满足Error!2Error!，试求动点 M 的轨迹方程解 设
11、动点 M(x，y)，Q(x0，y0)，又 P(5,0)所以Error!(x x 0，yy 0)，Error!(5x，y)，又Error!2Error!，(x x 0，yy 0)2(5x，y)，Error!Error!代入圆 C 的方程可得：(3x 7)2(3 y2) 225，即Error!Error!Error!.所以动点 M 的轨迹方程为Error!Error! Error!.2将本例(2)条件改为“过点 P(5,0)的直线与圆 C 交于两点 E、F” ，求该EF 中点 M 的轨迹方程解 由题知 M 不与 PC 重合时，CMPM， 则 M 在以 PC 为直径的圆上，设M(x，y)，因为 P(
12、5,0)，C(3，2) ，所以 M 点的轨迹方程为Error!，当点 M 与 PC 重合时，M 点即 C 点(适合)，所以 M 点轨迹方程为( x1) 2(y1) 217Error!，其轨迹为圆 C 内的部分规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法1直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.2定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.3相关点法：若动点 Px，y随着圆上的另一动点 Qx1，y1运动而运动，且x1，y1 可用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已知圆 的方程，即得动点 P 的轨迹方程.当 堂 达 标
13、固 双 基1圆 x2y 24x6y0 的圆心坐标是( )A(2,3) B(2,3)C(2,3) D(2,3)D 圆 心坐 标为Error! ，即(2,3)，选 D.2已知方程 x2y 22x2k30 表示圆，则 k 的取值范围是( ) A( ，1) B(3，)C(，1)(3 ，) DError!A 方程可化为：(x1) 2y 22k2，只有 2k20，即 k1 时才能表示圆 选 A.3若方程 x2y 2DxEyF0 表示以(2，4)为圆心，4 为半径的圆，则 F _.4 依题 意，Error!2，Error!4， Error!4，解得 D4，E 8，F4.4设圆 x2 y24x2y110 的圆
14、心为 A，点 P 在圆上，则 PA 的中点M 的轨迹方程是_x2y 24x2y10 设 M(x，y)，A(2， 1)，则 P(2x2，2y 1)，将 P 代入圆方程，得(2 x2) 2(2 y 1)24(2x2)2(2y 1)110，即为x2y 24x2y10.5如图 412 所示，已知线段 AB 的中点 C 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x 1)2y 2 4 上运动，求线段 AB 的端点 B 的轨迹. 图 412解 设 B 点坐标是(x， y)，点 A 的坐标是(x 0，y0)，由于点 C 的坐标是(4,3) 且点 C 是 线段 AB 的中点，所以 4Error!， 3Error!，于是有 x08 x ，y06 y.因为点 A 在圆( x1) 2y 24 上运动，所以点 A 的坐标满足方程(x 1) 2y 24，即(x 01) 2yError!4，把代入，得(8 x 1) 2(6y) 24，整理，得(x9) 2( y6) 2 4.所以，点 B 的 轨迹是以(9,6)为圆心，半径 长为 2 的圆
