1、2.3.2 圆的一般方程自主学习学习目标1会用待定系数法求圆的一般方程2会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化3通过对含参数的二元二次方程的研究，探索二元二次方程表示圆的充要条件4通过本节学习，初步体会求动点轨迹的方法和方程的思想自学导引1方程 x2y 2DxEyF0配方得： 2 2 .(xD2) (y E2) D2 E2 4F4(1)当_时，方程表示一个点，该点的坐标为_；(2)当_时，方程不表示任何图形；(3)当_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为_，半径等于_，上述方程称为圆的一般方程2求圆的方程常用“待定系数法” ，用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意选择方程的形
2、式_或_；(2)根据条件列出关于_或_的方程组；(3)解出_或_代入标准方程或一般方程对点讲练知识点一 圆的一般方程的概念辨析例 1 判断方程 x2y 24mx2my20m200 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径点评 对形如 x2y 2DxEyF0 的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断 D2E 24F 是否为正，确定它是否表示圆变式训练 1 若方程 x2y 2xym0 表示圆，则实数 m 的取值范围为( )Am Dm12 12 12知识点二 圆的一般方程的求法例 2 求经过两点 A(4,2)、B(1,3)，且在两坐标轴上的四个截距
3、之和为 2 的圆的方程点评 用待定系数法求圆的方程的一般规律：(1)如果是根据已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列出方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a、b、r；(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.变式训练 2 求圆心在直线 2xy30 上，且过点(5,2)和点(3，2)的圆的方程知识点三 综合应用例 3 自 A(4,0)引圆 x2y 24 的割线 ABC，求弦 BC 中点 P 的轨迹方程点评 针对这个类型的题目，常用的方法有：(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法其中直接法是求曲线方程最
4、重要的方法，它可分五个步骤：建系，找出动点 M 满足的条件，用坐标表示此条件，化简，验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可变式训练 3 如图所示，经过圆 x2y 24 上任意一点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程1在应用圆的一般方程时应注意条件 D2E 24F0.2在求轨迹方程时要注意一些特殊点的取舍，即某些变量的取值范围3求圆的方程时，要根据题目已知条件的特点灵活选择圆的方程形式，否则会使运算过程繁琐. 【
5、答案解析】自学导引1(1)D 2E 24F0 (D2， E2)(2)D2E 24F0 (D2， E2) 12 D2 E2 4F2(1)标准式 一般式 (2)a、b、r D、E、F(3)a、b、r D、E、F对点讲练例 1 解 方法一 由方程 x2y 24mx2my20m200，可知 D4m，E2m，F20m20，D 2E 24F16m 24m 280m8020(m2) 2，因此，当 m2 时，它表示一个点；当 m2 时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为 |m2|.12D2 E2 4F 5方法二 原方程可化为(x2m) 2(ym) 25(m2) 2，因此，当 m2 时，它
6、表示一个点；当 m2 时，原方程表示圆的方程此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为 |m2|.5变式训练 1 A 由(1) 214m0，可得 m .12例 2 解 设圆的一般方程为 x2y 2DxEyF0，令 y0，得 x2DxF0，所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1x 2D；令 x0，得 y2EyF0，所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1y 2E；由题设，x 1x 2y 1y 2(DE)2，所以 DE2.又 A(4,2)、B(1,3)两点在圆上，所以 1644D2EF0，19D3EF0，由可得 D2，E0，F12，故所求圆的方程为 x2y 22x120.变式训练 2 解 设所求圆的方程为 x
7、2y 2DxEyF0，则圆心为 ，(D2， E2)圆心在直线 2xy30 上，2 30，(D2) ( E2)即 2DE60，又点(5,2)，(3，2)在圆上，5 22 25D2EF0，32(2) 23D2EF0，解组成的方程组得 D4，E2，F5.所求圆的方程为 x2y 24x2y50.例 3 解 方法一 (直接法)设 P(x，y)，连接 OP，则 OPBC，当 x0 时，k OPkAP1，即 1，yx yx 4即 x2y 24x0.当 x0 时，P 点坐标(0,0)是方程的解，BC 中点 P 的轨迹方程为 x2y 24x0 在已知圆内的部分方法二 (定义法)由方法一知 OPAP，取 OA 中
8、点 M，则 M(2,0)，|PM| |OA|2，由圆的定义知，12P 的轨迹方程是(x2) 2y 24 在已知圆内的部分方法三 (代入法)设 P(x，y)，B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则 x1x 22x，y 1y 22y，B，C 均在圆上，Error!得：x x y y 0.2 21 2 21由题意知 x1x 2，上式可变形为：(x 2x 1) (y2y 1)0.y2 y1x2 x1即 2x 2y0.yx 4整理得：x 2y 24x0(已知圆内的部分)变式训练 3 解 (代入法)设 M(x，y)，P(x 0，y 0)，则Error!又 P(x0，y 0)在圆 x2y 24 上，x y 4，20 20x 24y 24 即为所求轨迹方程高考*试题 #库
