1、3.3.2 利用导数研究函数的极值(1)一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤.三、教学过程：（一）函数的极值与导数的关系1、观察下图中的曲线a 点的函数值 f(a)比它临近点的函数值都大b 点的函数值 f(b)比它临近点的函数值都小2、观察函数 f(x)2x 36x 27 的图象，思考：函数 yf(x )在点 x0，x 2 处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在 x0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f(0) 是函数的一个极大值
2、；（2）函数在 x2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则 f(2)是函数的一个极小值函数 y2 x36x 27 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)函数 y2 x36x 27 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点 : ( 2， f (2) )3、极值的概念：一般地，设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x) f(x0)我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值f (x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)f(x 0)我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作
3、 y 极小值f (x0)极大值与极小值统称为极值4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况上图中，曲线在极值点处切线的斜率为 0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正函数的极值点 xi 是区间a, b内部的点，区间的端点不能成为极值点函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值函数在a , b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大（小）值的方法是：如果在 x0 附近的左
4、侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么，f(x 0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么，f(x 0)是极小值；思考：导数为 0 的点是否一定是极值点？导数为 0 的点不一定是极值点如函数 f(x)x 3，x0 点处的导数是 0，但它不是极值点例 1 求函数解：y x 24(x 2)( x2)令 y0 ，解得 x12 ，x 22 当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表因此，当 x 2 时， y 极大值 ，当 x2 时，y 极小值 求可导函数 f (x)的极值的步骤： 求导函数 f (x)； 求方程 f (x)0 的根； 检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值例 2求函数 的极值例 3 求函数 y(x 21) 31 的极值解：定义域为 R，y6x (x21)2.由 y0 可得x11，x 20，x 31当 x 变化时，y ，y 的变化情况如下表：当 x0 时，y 有极小值，并且 y 极小值 0例 4 的极值例 5 的极值思考：导数值为 0 的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为 0 吗？练习：求函数 的极值
