1、3.2.2 函数模型的应用举例时间：45 分钟 分值：100 分 一、选择题(每小题 6 分，共计 36 分)1一等腰三角形的周长为 20，底边 y 是关于腰长 x 的函数，则它的解析式为( )Ay 20 2x(x10) By202x( x0，202x0，xy， 2x202 x，x5，5x 10.答案：D2某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆，存车费为：电动自行车 0.3 元/辆，普通自行车 0.2 元/辆若该天普通自行车存了 x辆，存车费总收入为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为( )Ay 0.2x(0x4 000)B y 0.5x(0x4 000)C y 0.1x1 2
2、00(0x4 000)Dy 0.1x1 200(0x4 000)解析：由题意得 y0.3(4 000x )0.2x0.1x1 200.答案：C3某厂日产手套的总成本 y(元) 与日产量 x(双)之间的关系为y5x40 000.而手套出厂价格为每双 10 元，要使该厂不亏本至少日产手套( )A2 000 双 B4 000 双C 6 000 双 D8 000 双解析：由 5x40 00010x，得 x8 000，即日产手套至少 8 000 双才不亏本答案：D4一个人以 6 米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 米时，交通灯由红变绿，汽车以 1 米/秒 2的加速度匀加速开走，那么( )
3、A此人可在 7 秒内追上汽车B此人可在 10 秒内追上汽车C此人追不上汽车，其间距最少为 5 米D此人追不上汽车，其间距最少为 7 米解析：设汽车经过 t 秒行驶的路程为 s 米，则 s t2，车与人的间距12d(s25) 6t t26t25 (t6) 27.12 12当 t6 时，d 取得最小值 7.答案：D5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) x22x 20(万元) 一万件12售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A18 万件 B20 万件C 16 万件 D8 万件解析：利润 L(x)20x
4、C (x) (x18) 2142，当 x18 时，L( x)12有最大值答案：A6春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍，且荷叶 20 天可以完全长满池塘水面当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A10 天 B15 天C 19 天 D2 天解析：荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关系式为 y2 x.当 x20 时，长满水面，所以生长 19 天时，布满水面一半答案：C二、填空题(每小题 8 分，共计 24 分)7某人从 A 地出发，开汽车以 60 m/h 的速度，经 2 h 到达 B 地，在 B 地停留 1 h，则汽车离开 A 地的距离 y(
5、单位： m)是时间 t(单位：h)的函数，该函数的解析式是_解析：当 0t2 时，y60t；当 2t3 时，y120.答案：yError!8某个病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为ye t(其中 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数) ，则 _，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为_个解析：当 t0.5 时，y2，2 . 2ln2.ye 2tln2.当 t5 时，ye 10ln22 101 024.答案：2ln2 1 0249为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(
6、小时) 之间的函数关系式为 yError!据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室学习那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室解析：由题意可得 y0.25 ，14即得Error! 或Error!得 0t ，或 t0.6.因为前 0.1 个小时药物浓度是逐渐增大的，故至140少需要经过 0.6 小时后才可回教室答案：0.6三、解答题(共计 40 分)10(10 分) 在固定压力差( 压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为 3 cm 的管道中，速率为 400
7、 cm3/s，求该气体通过半径为 r cm 的管道时，其速率 R 的表达式；(3)已知 (2)中的气体通过的管道半径为 5 cm，计算该气体的速率解：(1) 由题意，得 R r4( 是大于 0 的常数) (2)由 r3 cm，R400 cm3/s，得 34400 ， ，40081速率 R 的表达式为 R r4.40081(3)R r4，40081当 r5 cm 时，R 543 086(cm3/s)4008111(15 分) 某地预计明年从年初开始的前 x 个月内，某种商品的需求总量 f(x)(万件)与月份 x 的近似关系为 f(x) x(x1)(352x)1150(xN，且 x12)(1)写出
8、明年第 x 个月的需求量 g(x)(万件) 与月份 x 的函数关系式(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解析：首先把 g(x)表示出来，再利用函数解决最值问题解：(1) 由题意知：g(x) f(x)f( x1) x(x1)(352x) (x1)x 352(x1)1150 1150 x(x1)(352x)(x1)(37 2x)1150 x(726x) x(12x )1150 125g(x ) x(12x)( xN 且 x12)125(2)g(x) (12x) (x212x3636)x25 125 (x 6)236 (x6) 2 ，125 125 3625当 x6 时， g(x)有最大值
9、.3625即第六个月需求量最大，为 万件3625点评：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题能力提升12(15 分) 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以 30 天计)每件的销售价格 P(x)(百元)与时间 x(天)的函数关系近似满足 P(x)1 ( 为正常数) ，日销售量 Q(x)(件)与时间 x(天) 的部分数据如下kx表所示：x(天) 10 20 25 30Q(x)(件) 110 12
10、0 125 120已知第 10 天的日销售收入为 121 百元(1)求 的值(2)给出以下四种函数模型：Q( x)axb，Q( x)a|x25|b，Q(x)ab x，Q(x )alog bx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量 Q(x)(件)与时间 x(天)的变化关系，并求出该函数的解析式(3)求该服装的日销售收入 f(x)(1x30，x N )(百元)的最小值解：(1) 依题意知第 10 天的日销售收入为 P(10)Q(10)(1 )k10110121，解得 1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选Q(x)a| x 25|b.从表中任意取两组值代入可求得 Q(x)125|x 25|(1 x30，x N )(3)由(2)知 Q(x)125|x 25|Error!，f(x)P (x)Q(x)Error! .当 1x25 时，y x 在1,10上是减函数，在 10,25)上是增函数，100x所以当 x 10 时，f(x )取得最小值，f(x) min 121；当 25x30 时，y x 为减函数，所以当 x30 时，f(x) 取得最150x小值，f(x) min124.综上所述，当 x10 时， f(x)取得最小值，f(x) min121.从而，该服装的日销售收入的最小值为 121 百元
