1、第 2 课时 直线的两点式和一般式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法知识点一 直线方程的两点式思考 过点(1,3)和(1,5) 的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3) 的直线呢？答案 不能，因为 110，而 0 不能做分母过点(2,3)，(5,3) 的直线也不能用两点式表示梳理 直线方程的两点式名称 已知条件 示意图 方程 使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x 2，y1y 2y y1
2、y2 y1 x x1x2 x1斜率存在且不为 0知识点二 直线方程的截距式思考 已知两点 P1(a,0)，P 2(0，b)，其中 a0，b0，求通过这两点的直线方程答案 由直线方程的两点式，得 ，即 1.y 0b 0 x a0 a xa yb梳理 直线方程的截距式名称 已知条件 示意图 方程 使用范围截距式在 x，y 轴上的截距分别为 a，b，且a0，b0 1xa yb斜率存在且不为0，不过原点知识点三 直线的一般式方程思考 1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用 AxByC0(A，B不同时为 0)来表示吗？答案 能思考 2 关于 x，y 的二元一次方程 AxByC 0( A
3、，B 不同时为 0)一定表示直线吗？答案 一定梳理 直线的一般式方程形式 Ax ByC 0条件 A2B 20知识点四 直线方程五种形式的比较名称 已知条件 标准方程 适用范围点斜式 点 P1(x1，y 1)和斜率ky y1k(xx 1) 不垂直于 x 轴的直线斜截式斜率 k 和在 y 轴上的截距 by kxb 不垂直 x 轴的直线两点式点 P1(x1，y 1)和点P2(x2，y 2) y y1y2 y1 x x1x2 x1不垂直于 x，y 轴的直线截距式在 x 轴上的截距为a，在 y 轴上的截距为 b 1xa yb不垂直于 x，y 轴的直线，不过原点的直线一般式 两个独立的条件 AxByC0
4、A，B 不全为零1能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示 ( )2当 A，B 同时为零时，方程 AxByC 0 也可表示为一条直线( )3任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化( )类型一 直线的两点式方程例 1 在ABC 中，已知点 A(3,2)，B(5，4) ，C (0，2)(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程解 (1)BC 边过点 B(5，4)，C (0，2)，由两点式，得 ，y 4 2 4 x 50 5即 2x5y100，故 BC 边的方程是 2x5y100(0x5) (2)设 BC 的中点为 M(a，b)，则 a ，b 3，5 02 52
5、4 22所以 M .(52， 3)又 BC 边的中线过点 A(3,2)，所以 ，y 2 3 2 x 352 3即 10x11y80，所以 BC 边上的中线所在直线 的方程是 10x11y80.反思与感悟 当已知两点坐标，求 过这两点的直线方程时 ，首先要判断是否 满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程跟踪训练 1 已知ABC 三个顶点坐标 A(2，1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程解 A(2 ，1) ，B(2,2)，A、B 两点横坐标相同，直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x2.
6、A(2，1) ，C(4,1)，由直线方程的两点式，可得直线 AC 的方程为 ，y 1 1 1 x 42 4即 xy30.同理由直线方程的两点式，得直线 BC 的方程为 ，即 x2y60.y 21 2 x 24 2类型二 直线的截距式方程例 2 求过点 A(5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程解 方法一 (1)当直线 l 在坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y x，即 2x5y0；25(2)当直线 l 在坐标轴上的截距不为 0 时，可设方程为 1，即 xya.xa y a又l 过点 A(5,2)，52a，解得 a3.l 的方程为 xy30.综上所述，直线 l 的方程为 2x
7、5y0 或 xy30.方法二 由题意知，直线的斜率一定存在设直线的点斜式方程为 y2k(x5)，当 x0 时，y25k；当 y0 时， x5 .2k根据题意，得 25k .(5 2k)解得 k 或 1.25当 k 时，直线 方程 y2 (x5) ，25 25即 2x5y0；当 k1 时，直 线方程为 y21(x5) ，即 xy30.综上所述，直线 l 的方程为 2x5y0 或 xy30.引申探究 1若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在 x 轴上的截距是 y 轴上的截距的 2 倍” ，其他条件不变，如何求解？解 (1)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y x，
8、即 2x5y 0，符合题意25(2)当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0 时，可设方程为 1.x2a ya又 l 过点(5,2)， 1，52a 2a解得 a .92直线 l 的方程为 x2y90.2若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是 ”，其他条件不变，如何求解？92解 由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在设其方程为 1，xa ybError!可化为 ab9，由Error! 解得此方程组无解；由Error!解得Error! 或Error!l 的方程为 4x25y300 或 xy30.反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相
9、交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可(2)在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直跟踪训练 2 过点 A(3，1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 ( )A2 条 B3 条 C4 条 D无数多条答案 B解析 当截距都为零时满足题意要求，直 线为 y x，13当截距不为零时，设直线方程 为 1，xa ybError! Error!或Error!即直线方程为 1 或 1，x2 y2 x4 y 4满足条件的直线共有 3 条故 选 B.类型三 直线的一般式方程例 3 设直线 l 的方程为(m 2 2m3)x(2m 2m1) y62m0.(
10、1)若直线 l 在 x 轴上的截距为3，则 m_；(2)若直线 l 的斜率为 1，则 m_.答案 (1) (2) 253解析 (1)令 y0，则 x ，2m 6m2 2m 3 3，得 m 或 m3( 舍去)2m 6m2 2m 3 53m .53(2)由直线 l 化为斜截式方程，得 y x ，m2 2m 32m2 m 1 6 2m2m2 m 1则 1，m2 2m 32m2 m 1解得 m2 或 m1(舍去) m2.反思与感悟 (1)若方程 Ax ByC0 表示直线， 则需满足 A，B 不同时为 0.(2)令 x0 可得在 y 轴上的截距令 y0 可得在 x 轴上的截距若确定直线斜率存在，可将一般
11、式化为斜截式(3)解分式方程注意验根跟踪训练 3 直线 l 的方程为 (a1)xy2a0.(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 a 的值；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围解 (1)令 x0，则 ya2，令 y0，则 x .a 2a 1l 在两坐标轴上的截距相等，a2 ，a 2a 1解得 a2 或 a0.(2)由(1)知，在 x 轴上的截距为 ，a 2a 1在 y 轴上的截距为 a2，由题意得Error!解得 a1 或 a2.实数 a 的取值范围为a|a1 或 a2.1在直角坐标系中，直线 x y30 的倾斜角是( )3A30 B60C150 D120答案 C解析 因为直
12、线的斜率 k ，所以倾斜角为 150，故选 C.332经过点 A(2,5)，B(3,6)的直线在 x 轴上的截距为( )A2 B3C27 D27答案 D解析 由两点式得直线方程为 ，x 32 3 y 65 6即 x5y270，令 y0，得 x27.3已知 ab0，ab直线在 y 轴上的截距 0.cb由此可知，直线通过第一、三、四象限4已知点 A(3,2)，B(1,4)，则经过点 C(2,5)且经过线段 AB 的中点的直线方程为_答案 2xy10解析 AB 的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程，可得 ，y 35 3 x 12 1即 2xy10.5直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限，
13、若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程解 设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6a，所以直线 l 的方程为 1.xa y6 a又因为点(1,2)在直线 l 上，所以 1，1a 26 a解得 a2 或 3.当 a2 时，直线的方程为 2xy40，直 线经过第一、二、四象限；当 a3 时，直线的方程为 xy30，直 线经过第一、二、四象限综上所述，所求直线的方程为 2xy40 或 xy30. 1求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求 过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若 满足， 则考虑用两点式
14、求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程 时，必 须注意坐标的对应关系2截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方程的逆向应用3(1)直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式一般式化斜截式的步骤移项，ByAx C；当 B0 时，得 y x .AB CB(2)在一般式 AxByC0(A 2B 20) 中，若 A0，则 y ，它表示一
15、条与 y 轴垂直的直线；CB若 B0，则 x ，它表示一条与 x 轴垂直的直线.CA一、选择题1直线(2m 25m2)x (m 24) y5m 0 的倾斜角为 45，则 m 的值为( )A2 B2C3 D3答案 D解析 由已知，得 m240，且 1，解得 m3.2m2 5m 2m2 42在 x 轴和 y 轴上的截距分别为2,3 的直线方程是( )A. 1 B. 1x3 y 2 x2 y 3C. 1 D. 1x 2 y3 x 3 y2答案 C3已知直线 axby 10 在 y 轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线 xy 0 的3 3倾斜角的 2 倍，则 a，b 的值分别为( )A. ，1 B. ，
16、13 3C ，1 D ，13 3答案 D解析 原方程化为 1， 1， b1.x1ay1b 1b又axby10 的斜率 k a，且 xy 0 的倾斜角为 60，ktan 120，ab 3 3a ，故选 D.34直线 ax3my2a0(m0)过点(1 ，1)，则直线的斜率 k 等于( )A3 B3C. D13 13答案 D解析 由点(1，1)在直线上，可得 a3m 2a0( m0) ，解得 ma，故直线方程为ax3ay2a0(a0)，即 x 3y20，其斜率 k .135已知ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为 AB 中点，N 为 AC 中点，则中位线 M
17、N 所在直线方程为( )A2xy80 B2xy80C2x y120 D2xy120答案 A解析 由中点坐标公式可得 M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线 MN 的方程为 ，y 42 4 x 23 2即 2xy80.6下列命题正确的是( )A过任意两点 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)的直线方程可以写成 y y1y2 y1 x x1x2 x1B直线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则直线斜率为1C若直线的斜率为 1，则直线在 x 轴和 y 轴上的截距之和为 0D若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为 1答案 C解析 当 x1x 2 或 y1y 2时，直线方程
18、不能写成 ，故 A 错误；当直线过原点时，y y1y2 y1 x x1x2 x1在 x 轴和 y 轴上的截距相等，但斜率不一定为 1，故 B 错误 ；设直线在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 yxb.令 y0，得直线在 x 轴上的截距为 xb，于是 b(b) 0，故 C 正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线 的斜率为1，故 D 错误7利用斜二测画法，作出直线 AB 的直观图如图所示，若 OAO B1，则直线AB 在直角坐标系中的方程为( )Axy1 Bxy1Cx 1 Dx 1y2 y2答案 D解析 由斜二测画法可知在直角坐标系中， A(1,0)，B(0，2)，由截距式方
19、程可得直线方程为x 1.y28直线 l1：ax yb0，l 2：bx ya0(a0，b0，ab) 在同一坐标系中的图形大致是( )答案 C解析 将 l1 与 l2 的方程化为斜截式，得yaxb，ybxa，根据斜率和截距的符号可得 C 正确二、填空题9已知直线 1 与坐标轴围成的图形面积为 6，则 a 的值为_xa y6答案 2解析 由 1 知，S |a|66，xa y6 12所以 a2.10若直线(2t3)xy60 不经过第一象限，则 t 的取值范围为_答案 32， )解析 直线方程(2t3)xy60 可化为 y(32t )x6.由题意知，需满足它在 y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则
20、Error!得 t .3211过点(2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为 _答案 3x2y0 或 xy50解析 当直线过原点时，设 方程为 ykx，k ，直 线方程为 y x；32 32当直线不过原点时，设 1，xa y a将点(2,3) 代入，得 a 5，直线方程为 xy 50.所求直线方程为 3x2y 0 或 xy50.三、解答题12求斜率与直线 4x3y 0 相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线在 x 轴上的截距解 设直线方程是 4x3y d0，分别令 x0 和 y0，得直线在两坐标轴上的截距分别是 ， ，6 ，d12.d3 d4 12 | d3| | d4|
21、d224直线在 x 轴上截距为 3 或3.13已知ABC 的顶点 A(5，2)，B(7,3)且边 AC 的中点 M 在 y 轴上，边 BC 的中点 N 在x 轴上(1)求顶点 C 的坐标；(2)求直线 MN 的方程解 (1)设 M(0，m)，N(n,0)，则Error! Error!所以 xC05 5，y C033，所以点 C 的坐标为(5，3)(2)因为 2my Cy A3(2) 5，故 m .因为 2nx Cx B572，故 n1.52所以直线 MN 的方程为 1，x1 y 52即 5x2y50.四、探究与拓展14若直线(2m 2m3)x (m 2m)y(4m1)0 在 x 轴上的截距等于
22、 1，则 m 的值为( )A2 B 或 212C2 或 D以上都错12答案 B解析 由题意知，2m 2m30.令 y0，得直线在 x 轴上的截距为 x 1，解4m 12m2 m 3得 m2 或 m .故选 B.1215已知直线 l：5ax 5ya30.(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围(1)证明 将直线 l 的方程整理，得y a ，35 (x 15)l 的斜率为 a，且过定点 A ，而点 A 在第一象限，故不论 a 为何值， l 恒过第一象(15，35) (15，35)限(2)解 如图，直线 OA 的斜率为 k 3.35 015 0要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截距不大于零，即当 x0 时，y 0，a 35a3.即 a 的取值范围为3，)
