1、11. 为精确值 的近似值； 为一元函数 的近似值；*x*xfyxfy1为二元函数 的近似值，请写出下面的公式： ：,yf,2*ex*rxe*1*yfx*1*r rxfyx*, ,2fyfyxyxy* * *, ,22rfefey 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。3、 分别用 2.718281，2.718282 作数 e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 （三位有效数字） ，则 。1.7 -213.7 0 4、 设 均具有 3 位有效数字，则 的相对误差限为 0.0055 。12.6,.54x 12x5、 设 均具有 3 位
2、有效数字，则 的误差限为 0.01 。6、 已知近似值 是由真值 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 0AxTx7、 递推公式 如果取 作计算,则计算到 时,误差为,0n-1y=2, 021.4y10y;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .81028、 精确值 ，则近似值 和 分别有 3 位和 459263*14.3*145.3*24 位有效数字。9、 若 ,则 x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为 1/2*10-5 。*.718xe10、 设 x*的相对误差为 2，求(x*) n的相对误差 0.02n11、近似值 *0.3关于真值 29.0有( 2 )位有效数字；12、计
3、算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；213、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式23346101yxx改写为,)64(310ty，为了减少舍入误差，应将表达式 1920改写为 92。14、改变函数 fxx()1 (x1)的形式，使计算结果较精确 xf1。15、设 ，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x=_2.3150_.16、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麽 x 具有的有效数字是 4 。二、单项选择题：1、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实
4、际值2、3.141580 是 的有( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 3、用 1+ x 近似表示 ex所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 4、用 1+ 近似表示 31x所产生的误差是( D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断5、-3247500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 86、( D )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.541017、取 12.计算 431()x，下列
5、方法中哪种最好？（ C ）(A) 863； (B) 2； (C) 2163)； (D) 463()。三、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(500.01)米,宽为(250.01)米,深为(200.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.解：设长方形水池的长为 L，宽为 W,深为 H，则该水池的面积为 V=LWH当 L=50,W=25,H=20 时，有 V=50*25*20=25000(米 3)此时，该近似值的绝对误差可估计为3 =VVLWHHL相对误差可估计为： rV而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足 0
6、.1,0.1,0.1LWH故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为 3 25*0.15*20.15*20.17.57rVHL2.已知测量某长方形场地的长 a=110 米,宽 b=80 米.若 *0.1 0.1ab米 ， 米试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为 s=ab当 a=110,b=80 时，有 s=110*80=8800(米 2)此时，该近似值的绝对误差可估计为 =bssab相对误差可估计为： rs而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足 0.1,.ab故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为 80*.1.19025rsas绝对误差限为 19.0；相对误差限为
7、 0.002159。3、设 x*的相对误差为 2，求(x*) n的相对误差4 1*(),(),)0.2()nnr rnfxfx解 ： 由 于 故故4、计算球体积要使相对误差为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差限是多少？解：令 ，根据一元函数相对误差估计公式，得 34VfR 231%R Rf从而得 10R5.正方形的边长大约为 100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过 1cm2 解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长 a 的误差不超过 0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过 1 平方厘米。6假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为
8、50.00m 和 100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。解： hrV2=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325)*(=2 =0.0002r第一章 插值法一、填空题：1.设 xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i(x)为相应的四次插值基函数，则(x 4+2).402iiil2.设 xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i(x)为相应的五次插值基函数，则=54301iiiii x 54321x3.已知 05,4321,)( fff则，4. 。2x31,f,3_,_则5.设 则 3, =056
9、.设 和节点 则 = 4.7.设 则 的二次牛0,16,24,fff0,1 6,012 7,fffx顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。8.如有下列表函数: ix0.2 0.3 0.4if0.04 0.09 0.16则一次差商 = 0.6 。0.2,4f9、2、 1)3(,2)(,1)(ff，则过这三点的二次插值多项式中 2x的系数为 -2 ，拉格朗日插值多项式为 ,或123Lxxx28x10、对 1)(3xf,差商 3,20f( 1 ), 4,320f( 0 )；11、已知 f(1)2， f(2)3， f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(
10、 0.15 )；12、设 46)(,)(,0)(fff ,则 )(1xl， )f的二次牛顿插值多项式为176)(2xxN。13、 )(,)(,0lln 是以整数点 nx,10 为节点的 Lagrange 插值基函数，则= 1 ， = j， ，当 2时)(3(204xlkk( 324x )。0nklx0nkjxl14、设一阶差商 ， 则二阶差商 15、通过四个互异节点的插值多项式 p(x),只要满足三阶均差为 0，则 p(x)是不超过二次的多项式616、若 4321()fx，则差商 248163,f 3 。二、单项选择题：1、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式
11、中 x2的系数为( A )。A 05 B 05 C 2 D -22、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) )!1()()nfxPfxRnn (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) )(!()()1)xffnnn 3、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x)-2 -1.75 -1 0.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ A ） 。（A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次
12、4、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ）ix 1.5 2.5 3.5()f-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。5、设 ()ilx是以 019(,)k 为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikl( C )(A) ； （B） ； （C） i； （D） 1。 6、由下列数据0 1 2 3 4()f1 2 4 3 -5确定的唯一插值多项式的次数为( A )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。三、问答题1.什么是 Lagrange 插值基函数?它们有什么特性？答：插值基函数 是满
13、足插值条件 的 n 次插值多项式，它可表示为 并有以下性质，72.给定插值点 可分别构造 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？答：给定插值点后构造的 Lagrange 多项式为 Newton 插值多项式为 它们形式不同但都满足条件 ,于是 它表明 n 次多项式 有 n+1 个零点，这与 n 次多项式只有 n 个零点矛盾，故即 与 是相同的。 是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。 3.Hermite 插值与 Lagrange 插值公
14、式的构造与余项表达式有何异同？答：Hermite 插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比 Lagrange 插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对 Lagrange 插值余项表达式为，而 Hermite 插值余项在有条件的点 看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有 m+1 个条件，则余项中前面因子为 后面相因子 改为即可得到 Hermite 插值余项。四、计算题1、设 ,求差商7351fx0012070182,2,2f ff 解： ，故76965f f0112012,8,7f根据差商的性质，得 70182,!, 0ffff 2、求满足下列条件的埃尔米特插值多
15、项式: :123iixy解：根据已知条件可求得82 20 12,511xxx代入埃尔米特三次插值多项式公式 00 30112222 =2351pxyxyxx3、如有下列表函数: ix0 1 2 3 4if3 6 11 18 27试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式.解：查分表如下： ixifif2if3if4if0 31 6 32 11 5 13 18 7 1 04 27 9 1 0 0N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0x14、给出 的 函数表如下：xln0.40 0.50 0.60 0.700.9162910.6931470.5
16、108260.356675试用线性插值和抛物插值求 的近似值。54.0ln5已知9x -1 1 2F（x）3 1 -1请依据上述数据求 f(x)的 2 次 Lagrange 插值多项式。01012012202021,(),(),()()()()()231()xffxfxxLfxx解 ： 记 则所 以 ()21(2)()3xxx6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f(1)=3,并写出插值余项。 解：根据 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式得出22231LxNx设待插值函数为：3202Hkx根据得参数 则 313, f
17、 1,.x插值余项为：7、 已知 ix1 3 4 5)(if2 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(xf的三次插值多项式 )(3xP，并求 )2(f的近似值（保留四位小数） 。答案： )5(43)1(6)51(4)3(2)3 xxL42331!fRfHx10)45(3)1(4)5(34)1(5xxx差商表为 ixiy一阶均差 二阶均差 三阶均差1 23 6 24 5 -1 -15 4 -1 0 41)(3)(41)3()1(2)(33 xxxxNP.2f8、已知 xsin区间0.4，0.8的函数表i0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iy0.38942 0.47943 0.56
18、464 0.64422 0.71736如用二次插值求 63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3)(|2xMR尽量小，即应使 |)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 7.0,65.最好，实际计算结果596274.0381.sin， 且 410532. )7.063891.)(09381.)(! 9、取节点 ,5.,2xx,求函数 xfe)(在区间0,1上的二次插值多项式 )(2xP,并估计误差。解： )15.0(.)10(.)( 5.002 eP)5.0(2)1(4)1(5.02.5.01 x
19、exexe11又 1|)(|max,)(,)( 1,03 fMexfexf x故截断误差 |)5.|!)(| 22 xPRx。10、已知 f (-1)=2， f (1)=3， f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式 (2L及 f (1，5)的近似值，取五位小数。解： )1(4)21(3)21(2)( xxxxL4313067.24)5.().(Lf11、(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 15的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783 -0.00009411361510+0.
20、0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275552583xf0163.29615083645!2fR12、(10 分)已知下列函数表：x0 1 2 3()f1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算 15(.)f的近似值。解：（1）1231230230130120123()()()()()()xxxxL48（2）均差表：13297682433 12()()()Nxxx3155)f13、 已知 y=f（x）的数据如下 x 0 2 3 f（x
21、） 1 3 2 求二次插值多项式 及 f（2.5）解： 14、设 （1）试求 在 上的三次 Hermite 插值多项式 H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式 解 （1） （2） 13第四章 数值积分一、填空题1、求 ，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为 2.333 2dx。2 n 次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果 n 为偶数，则有 n+1 次代数精度。3 梯形公式具有 1 次代数精度，Simpson 公式有 3 次代数精度。4.插值型求积公式 的求积系数之和 b-a 。0nbkaAfxf5、 计算积分 15.d,取 4 位有
22、效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。6、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求 51d)(xf( 12 )。7、 设 f (1)=1， f(2)=2， f (3)=0，用三点式求 )(f( 2.5 )。8、若用复化梯形公式计算 10dxe，要求误差不超过 60，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。9、数值积分公式12819()()()fff 的代数精度为 2 。10、已知 3.,.,0.)( f ，则用辛普生（辛卜生）公式计
23、算求得31_)(dxf,用三点式求得 )1(f 。答案：2.367，0.2510、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，有 11、 对于 n+1 个节点的插值求积公式 至少具有 n 次代数精度. 二、单项选择题：1、等距二点求导公式 f(x1) ( A )。1401101001 )()D()(C)()B()(A xffxffxffxff 2、在牛顿-柯特斯求积公式： baniiifadf0)()中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（A） 8n， （B） 7n， （C） 1， （D） 6，三、问答题
24、1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？答：一个求积公式 如果当 为任意 m 次多项式时，求积公式精确成立，而当 为次数大于 m 次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有 m 次代数精确度。根据定义只要令 代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的 m+1 个方程的方程组，这里 m+1 为待定参数个数，解此方程组则为所求。四、计算题1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1) 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。令 代入公式两端并使其相等，得解此方程组得 ，于是有再令 ，
25、得故求积公式具有 3 次代数精确度。（2）15（3） 解：令 代入公式精确成立，得解得 ，得求积公式对 故求积公式具有 2 次代数精确度。2.求积公式 ，已知其余项表达式为1 0100()()()fxdAffBf，试确定系数 ，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给(),Rfk0,出代数精度的次数及求积公式余项。162010 2010312210361 23360 1140(),(),()()()(),fABfxxAAfBxBfxdfffdx解 ： 本 题 虽 然 用 到 了 的 值 ， 仍 用 代 数 精 度 定 义 确 定 参 数。 令 分 别 代 入 求 积 公 式 ， 令 公 式 两
26、 端 相等 ， 则 得 求 得 则 有再 令 此 时 ， 而 上 式 13,右 端 两 端 不 相 等 ， 故它 的 代 数 精 度 为 次 。7.31 2113 60 2 1311 143 72072()() ()(0)(),(0,1)(),6,()(),(0)ffxdffkffxxxdRff 为 求 余 项 可 将 代 入 求 积 公 式当 ，代 入 上 式 得 即所 以 余 项3、根据下面给出的函数 的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式sinx计算 10sinxIdxk 0.000 0.125 0.250 0.375 0.500f(xk)1 0.997397840.9896158
27、40.976726750.95885108xk 0.625 0.750 0.875 1.000f(xk)0.936155630.908851680.877192570.84147098解 用复合梯形公式,这里 n=8, ,10.258h10sin.125(0)(.)(.).3767(0.85)19468xdffff ff用复合辛甫生公式: 这里 n=4, .可得10254h10sin.25(0)(.)(37)6xdfff17(0.625)(.87)2(0.5)1.943fff4、求 A、 B 使求积公式 1 )21()()( ffBffAdxf的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求21
28、I(保留四位小数 )。答案： 2,1)(xf是精确成立，即32BA得 98,BA求积公式为)21()1()(1 ffffdxf 当 3)(xf时，公式显然精确成立；当 4)(xf时，左= 5，右= 3。所以代数精度为 3。6928.0147 21/98313121 dtdxt5、 n=3,用复合梯形公式求 xde1的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：7342.1e)(230de3210 Txxffe)(,)(， 1时， |(|xf05.2.08312|e| TRx至少有两位有效数字。6、 （15 分）用 n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算 dxe10时，试用余项估计其误
29、差。用 8的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：32.768112)(12 0efhabfRT18)(2)()8(71kbfxfafhT 367894.0)41682.04735.0536.88916 24.07、 （10 分）已知数值积分公式为：)(0)(0)( 20 hffhfhdxfh ，试确定积分公式中的参数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解： 1f显然精确成立；x)(时，10220hdh；2xf时， 123302 hh；3)(时，012423hhdx；4xf时， 64055340h；所以，其代数精确度为 3。8、(10 分)用复化
30、 Simpson 公式计算积分10sindxI的近似值，要求误差限为 510.。.946158214061fffS 0.9468332 fffff 5-122 093.5SSI.2SI或利用余项： !97!sin8642xxxf!492751)4(f51)4(f4)4( 0.580180nfnabR， 2n， 2SI199、 （9 分）数值求积公式 30 )2(1)(fdxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为 )(xf在基点 1、2 处的插值多项式为)2(1)(21)( fxfxp30 )(fdp。其代数精度为 1。10、(10 分)取 5 个等距节点 ，分别用复化梯
31、形公式和复化辛普生公式计算积分2201x的近似值（保留 4 位小数）。解：5 个点对应的函数值 21()fxxi 0 0.5 1 1.5 2f(xi) 1 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111-（2 分）(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：45206730181.(.).T087(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：212306()S953.11、(6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：12010 fAfdxf取 f(x)=1,x，令公式准确成立，得：10A， 3100， 61Af(x)=x2时，公式左右=1/
32、4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=212、 证明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 证明：当 =1 时，20公式左边： 公式右边： 左边=右边当 =x 时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 左边=右边当 时左边： 右边：故 具有三次代数精度 13、 试确定常数 A，B，C 和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？ 解 ，该数值求积公式具有 5 次代数精确度，第五章 常微分方程一、填空题1、求解一阶常微分方程初值问题 y= f
33、 (x,y)， y(x0)=y0的改进的欧拉公式为 21 ),(),(201101nnn yxfyxfhy。2、解初值问题 0,()fyx的改进欧拉法 ),(),(201101nnn yxfyxfhy是 2 阶方法。3、解初始值问题 近似解的梯形公式是 4、解常微分方程初值问题 的梯形格式是二阶方法 二、计算题1.用改进欧拉方法计算初值问题 ，取步长 h=0.1 计算到 y5。100)(yxd2xy解：改进的欧拉公式 ),(),(211 nnn yxfyxfh代入 有且 ,),(2yxyxf )4,321.0n(.)1.9y-2.(1.905. yxhxnnn n1 h nx 03 4 5y.
34、52. 用梯形法解初值问题 取步长 h=0.1,计算到 x=0.5，并与准确解 相比较22解：用梯形法求解公式，得解得精确解为3用改进的 Euler 法解初值问题 ；取步长 h=0.1 计算 ，并与精 ,01yxx 0.5y确解 相比较。(计算结果保留到小数点后 4 位)12xye解：改进的尤拉公式为： 1 11 ,2nnnnnyhfxyy代入 和 ，有,fxynxh12 22 nnnnhyyhh代入数据，计算结果如下：n 0 1 2 3 4 5xn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5yn 1 1.11001.24211.39851.58181.7949y(xn）1 1.11031.2
35、4281.39971.58361.79744.设初值问题 ，20,yxya) 由 Euler 方法、取步长 h=0.1 写出表示上述初值问题数值解的公式；b) 由改进 Euler 方法、取步长 h=0.1 写出上述初值问题数值解的公式。解：a）根据 Euler 公式： 1,nnyhfxy232110nnnyhfxy3 分.b）根据改进 Euler 公式： 5 分11 1,2nnn nyhfxy 21 1122200 =0 006115 nnnnnnnnhyxyxyhxyhyyx 5.设初值问题 ，y(0)xa) 写出由 Euler 方法、取步长 h=0.1 解上述初值问题数值解的公式；b) 写
36、出由改进 Euler 方法、取步长 h=0.1 解上述初值问题数值解的公式。解：a）根据 Euler 公式：1,nnyhfxy0.()0.9.1nnyxb）根据改进 Euler 公式：1 1,2nnn nhfyyx 11222 = =0.95.0.5nnnnnnnnnhyxyhxyhyxxy6、用欧拉方法求 xty0de)(2在点 0.,51.,处的近似值。24解： xty0de)(2等价于)( x)记2e,yxf,取 5.0h, 0.2,5.1,0.,5., 4321 xx.则由欧拉公式 0),(1yyfnn, 3,可得 8940.)0.1(5.0).( 21y,6)2(,734)5.1(
37、4yy7、取步长 .h，用预估- 校正法解常微分方程初值问题1)0(2yx)10(x答案：解： )32()32(.0(11)( nnn yxyxy即 04.78.5.0n 0 1 2 3 4 5x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ny1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.02798、(10 分) 求参数 ,ab，使得计算初值问题 0(,)dyfxcd的二步数值方法1 1(,)()nnnyhafxyfy 的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。解：2341 ()!nnhxyxOh1()()nnnyxayb24()!nnhy32()()nnhyyxxh25所以当
38、12ab，即312,ab时， 局部截断误差为34311()()()nnnhyxyxOh局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。9、 （15 分）取步长 1.0h，求解初值问题 用改进的欧拉法求 )1.0(y的值；10 y解：改进的欧拉法： 95),(),(290(11)0(1 nnnn yyxfyxfhy所以 )1.0(y；10、（10 分）对于一阶微分方程初值问题 ，取步长 02.h，用 Euler 预报校01 yx正法求 2(.)y的近似值。解：Euler 预报校正法01 01 14826028() ().()nnnnnxyxyxy 208y11、（10 分）用二步法 1 1(,)(,)n
39、nnhyfyf 求解一阶常微分方程初值问题 0(,)fxy，问：如何选择参数 ,的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为 11 12()(,)(,)nnnnnhTxyfxyfxy 34 12)()()! nnhy Oyx 232()()( )!nnnnnxhyxyyhyh 2 4114()()()!nnnxyxyxOh 因此有02326局部截断误差主项为3512()nhyx，该方法是 2 阶的。 12、(10 分)取步长 02.h，求解初值问题83002()()dyx，用欧拉预报校正法求02(.y的近似值。解：（1）欧拉预报-校正法
40、： 1831640012058().().(.).nnnnyyyy2(.).13、(8 分)已知常微分方程的初值问题：21(2.1,yxydx用改进的 Euler 方法计算 (.)的近似值，取步长 2.0h。5.0,01yxfk， 0.523891,012 kyxfk74.538921h第六章 方程求根一、填空题1、已知方程 附近有一个根，构造如下两个迭代公式：1.5x08.x23在 3k1kkk().(2)-0.8x 则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。2、设 可微，求方程 的根的牛顿迭代格式为 fxxf 1kkkxfx。3、 ,要是迭代法 局部收敛到 ，
41、25xax1kkxx*5x则 的取值范围是 a104、迭代法的收敛条件是（1） （2） 。 1axbMAXL275.写出立方根 的牛顿迭代公式313121kkxx6用二分法求解方程 在1，2的近似根，准确到 10-3，要达到此精度至3()0f少迭代 9 次。7、设 )(xf可微,求方程 )(xf的牛顿迭代格式是 )(11nnxfx；8、用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间( a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为 12nab。9 用二分法求方程 01)3在区间0,1 内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 10、若用二分法求方
42、程 xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。11、如果用二分法求方程 043在区间 2,1内的根精确到三位小数，需对分 10 次。12、求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 1.513、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法具有局部平方收敛 14、 迭代过程 （k=1,2,）收敛的充要条件是 1 二、单项选择题：1、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是( B )。(A) y=(x)与 x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C) y=x 与 x 轴的
43、交点的横坐标 (D) y=x 与 y=(x)的交点2、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足( A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。 0)()D(0)()C0)()B(0)()A( 0000 xfxfxff3、为求方程 x3x21=0 在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A) 1:,112 kkxx迭 代 公 式(B)212:, kk迭 代 公 式28(C)3/12123 )(:,1kkxx迭 代 公 式(D):, 2123kk迭 代 公 式4、计算 的 Newton 迭代格式为 ( B )(A) 12kx；(B)132kx；(C) 12kx；(D) 13kx。 5、用二分法求方程 340在区间 ,内的实根，要求误差限为302，则对分次数至少为( A ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。6、已知方程 325x在 2x附近有根，下列迭代格式中在 0x不
