历年概率论与数理统计试题分章整理.doc

1、历年概率论与数理统计试题分章整理第 1 章一、选择与填空11 级1、设 ， ，则 35。()0.5PA()=0.2B()PA1、设 为随机事件，则下列选项中一定正确的是 D 。,C(A) 若 ，则 为不可能事件(B) 若 与 相互独立，则 与 互不相容(C) 若 与 互不相容，则AB()1()PAB(D) 若 ，则()0PCA10 级1. 若 为两个随机事件，则下列选项中正确的是 C 。,(A) AB(B) B(C) (D) A1. 某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为 ，则此人第 4 次射)10(p击恰好是第 2 次命中目标的概率为 。22)1(3p2. 在 中随机取数 ，在

2、 中随机取数 ，则事件 的概率为 。0,1x1,y32xy8709 级1. 10 件产品中有 8 件正品，2 件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为 .16452. 在区间 中随机地取两个数，则事件两数之和大于 的概率为 .1,0 5417251. 设 为两个随机事件，若事件 的概率满足 ，且有等式AB,AB0(),0()PAB成立，则事件 C .()()P=,(A) 互斥 (B) 对立(C) 相互独立 (D) 不独立08 级1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为 B 。(A) 0(B) 103(C) 109(D) 811、在区间 之间随

3、机地投两点，则两点间距离小于 的概率为 。,L 2L3407级1、10 把钥匙中有 3 把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 。7152、在区间 之间随机地取两个数，则事件两数的最大值大于 发生的概率为 。1,0 39二、计算与应用11 级有两个盒子，第一个盒子装有 2 个红球 1 个黑球，第二个盒子装有 2 个红球 2 个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球。（1）求这个球是红球的概率；（2）重复上述过程 10 次，记 表示出现取出的球为红球的次数，求 。X2()EX解答：（1）令事件 A取得一个红球 ，事件 iB从第 i 个盒子中取得一个红球 ， 1,i，

4、于是 121()34PB， 12()PB，12()6， 12()A34PB， 0PB由全概率公式有 12121212()()()A12121212()()PBAPBA7.4 分（2）(0,)12XB735(0126EX75()012DX8)4D.4 分10 级1. 已知 为两个随机事件，且 ， ， ，求：BA, 21)(AP53)(B54)(AP（1） ；（2） ；（3） 。)(PB解答：（1） 2 分4()52 分127()()0ABPA（2） 2 分(PB（3）方法 1： 2 分()61)1()17PBA方法 2： 2 分()()PAB09 级1. 设 为两个随机事件，且有 ，计算：,A0

5、.4,.,()0.5PB（1） ； （2） ； （3） .()P()BA解答：（1） ； 1 分10.6PA（2） ，故 ； 2 分()().5()B()0.3（3） 1PBPBA. 3 分()317PBA08 级1、设 为两个事件， ， ， ，求：BA, 3.0)(4.0)(5.0)(BAP（1） ； （2） ； （3） .)(P解答： 1().7.5.2PAB()()() PABB0.1765407级2、设 为三个事件，且 ， ， ，CBA, 3CPBA0AB61CP，求：18P（1） ； （2） ； （3） 至少有一个发生的概率。()()P,解答：（1） ；12A（2） ；()()5()

6、 6CBCP（3） P 至少有一个发生, ()PAB。()()()APAC117036824第 2 章一、选择与填空11 级2、设随机变量 服从正态分布 ， 为其分布函数，则对任意实数 ，有X2(,)N(Fxa1 。()()Fa10 级3. 设随机变量 与 相互独立且服从同一分布： ，则概率Y 13kPXkY(0,)的值为 。PX9508 级2、设相互独立的两个随机变量 ， 的分布函数分别为 ， ，则 的分XY)(xFX)(yY),max(YXZ布函数是 C 。(A) )(,maxzFzFZ(B) ,mazzZ(C) )(YX(D) )(YX3、设随机变量 ， ，且 与 相互独立，则 A 。1

7、,4N0,1(A) 28(B) 21,6N(C) (,)(D) ()07 级1、已知随机变量 X 服从参数 ， 的二项分布， 为 X 的分布函数，则 D 2n13p()Fx(1.5)F。(A) 9(B) 49(C) 59(D) 89二、计算与应用11 级1、已知随机变量 的概率密度函数为X21,1()0, .xfx他求：（1） 的分布函数 ； （2）概率 。X)(FP解答：（1） ()()xxPftd当 x时， ()0ft .1 分当 时， 211(arcsin)2xxFtx .2 分当 1x时，()()xftddt.1 分综上，0,()(arcsin),12,xF（2）11()22PXXF1

8、1arcsin()arcsin()3.3 分2、设连续型随机变量 的概率密度函数为 2,01()xf，其 他 .求随机变量 的概率密度函数。3YX解法 1：由于 所以 3()xhy， .1 分213,0()(),YX yfyfhy他6 分解法 2：3YFPXy当 0y时： ()0y 1 分当 1时：3323 330()yyY XPfxdx.5 分当 1y时： ()1YFy .1 分故 ()Yfy32, 01y其 他10 级2. 已知连续型随机变量 的概率密度函数 ，求：X()()xfCe（1）常数 C； （2） 的分布函数 ；（3）概率 。XFx13PX解答：（1） 1 分()1fxd1 分x

9、e（2）当 时，0()FxPXx12xxed当 时，x001 2xe故 的分布函数 4 分X1 ,2(), xeF（3） 2 分13()1P)(231e3. 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求随机变量 的概率密度函数 。0, 2XY)(yfY答： 2 分, ()20 Xxfx其 他方法 1： 的反函数为 ，故 yy2 分()(),0()0,XXYfff 4 分1, 0424, yy其 他方法 2： 2 分2()YFPX当 时：0y0y当 时：42 分2 01()()2yyY XXfxdx当 时：y()1YFy故 2 分()Yf, 044y其 他09 级2. 设有三个盒子，第一个盒装有 4

10、个红球，1 个黑球；第二个盒装有 3 个红球，2 个黑球；第三个盒装有 2 个红球，3 个黑球. 若任取一盒，从中任取 3 个球。（1）已知取出的 3 个球中有 2 个红球，计算此 3 个球是取自第一箱的概率；（2）以 表示所取到的红球数，求 的分布律；XX（3）若 ，求 的分布律.YsinY解答：（1）设 “取第 箱” ， “取出的 个球中有 个红球” ，则iBi(1,)iA3222123 343 31 5551()()iii CPAPA . 2 分11()()（2） ，35003XC，12123510P， ，2()A1126PXPX因此， 的分布律为X0313262 分（3） ， ，136

11、PYX10PYX，80215因此， 的分布律为 P6815302 分3. 设连续型随机变量 的分布函数为X20,()11,.XxFxab（1）求系数 的值及 的概率密度函数 ；,abf（2）若随机变量 ，求 的概率密度函数 .2Y()Yy解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数 是连续函数，因此：xF， ，即得 ，0lim()xF1li()xF0,1ab3 分2,0,Xf 其 他 .（2） （方法 1）对任意实数 ，随机变量 的分布函数为：yY2()PyXy当 时： ，0y()0YFy Y10P6853当 时： ，0y()YFyPXy()()XXFy当 时： ，120当 时： ()1Y于是，

12、. 3 分,yfy其 他(方法 2) ()(),01)0, .XXYff yf ，其 他3 分12,01,.yy，其 他 ,其 他 .08 级2、已知连续型随机变量 的分布函数为X，30, ()1, xFc求：（1）常数 c； （2） 的概率密度函数； （3）概率 。X12PX解答：（1）连续型随机变量的分布函数为连续函数，故 ；1c（2） ；3,01() xfxF其 他（3） 。1()28PXF3、设随机变量 服从标准正态分布 ，求随机变量 的概率密度函数 。)1,0(N2XY()Yfy解答： ， 的反函数为 和 ，因此21()exXfx2yxyy)(),0()0,XYfyfyf 2211e

13、e,0, 0yy 21e,0,y07 级2、已知连续型随机变量 的分布函数为X，, 1()arcsin,1,xFxb求（1）常数 和 ；（2） 的概率密度 ；（3）概率 。ab)(xf20PX解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数 是连续函数，将 和 代入 ，得到关于)(xF1)(xF和 的方程：ab，ba2)1(0ba210解得： ， ；21（2） 对 求导，得 的概率密度为)(xFX21,()0,xfx（3） = 。20PX()2F3、设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求 的概率密度 。,1XeY2()Yfy解答：（解法一）由题设知， 的概率密度为 。X1()0xfx其 他对任意实数

14、，随机变量 的分布函数为：yY2()XYFyPey当 时： ；2e2()0XYFPe当 时：4；11lnln2 22()l()l1yyXY Xyyfxdx当 时： ，4e()Ye故 240,1()ln,2,YyeFy于是，。241,()0YeyfyF其 他(解法二) 1(ln)l,()20,XYffyy1,l20其 他 24,ey其 他第 3 章一、选择与填空11 级3、设随机变量 与 相互独立， 在区间 上服从均匀分布， 服从参数为 2 的指数分布，XYX0, Y则概率 23e 。min(,)1PXY2、设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 、 分别为 、 的概XY()Xfx)Yf

15、yXY率密度，则在 条件下， 的条件概率密度 为 A 。y ()fxy(A) ()Xfx(B) Y(C) Y (D) ()Xfy10 级3. 设随机变量 与 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则 服从 B 0),min(YX。(A) 参数为 的指数分布(B) 参数为 的指数分布2(C) 参数为 的指数分布2(D) 上的均匀分布),(二、计算与应用11 级3、设二维随机变量 的联合分布律为(,)XYY X 10140110（1）求概率 ； YXP（2）求 与 的相关系数 ，并讨论 与 的相关性，独立性。XYY解答：（1）11,0,042PX.3 分（2） 0,()EXY，故 cov()Y。因

16、，故 与 不相关。 2 分由联合分布律显然 ijijPA，所以 与 不独立。 2 分1、设二维随机变量 的联合概率密度函数为(,),01(,)xyxf，其 他 .求：（1）常数 ； （2） 的边缘概率密度函数 ；(,)XY()Yf（3）在 的条件下， 的条件概率密度函数 ； yX)(yxfYX（4）条件概率 。213P解答：（1） (,)fxyd.1 分101xdAy8.2 分（2）124(),01()(,)0, yY xdyff 其 他.3 分（3）当 01y时，2,()1()=0XYYxfyfx其 他2 分（4）2233187yyxPdd2 分10 级1. 设二维随机变量 的联合概率密度函

17、数为(,)XY2,1(,)0 Axyf其 他求：（1）常数 ；A（2） 的边缘概率密度函数 ；(,)Y)(fY（3）在 的条件下， 的条件概率密度函数 ；yX)(yxfYX（4）条件概率 。210P解答：（1） 1 分(,)fxyd2 分211xdA4A（2） 3 分52217,01()(,)0, yY xdyfyfdx 其 他（3）当 时， 2 分0132,()()=0XYY xyffy其 他（4） 2 分3022121yyPxdxd09 级1. 设二维随机变量 的联合概率密度函数为),(YX0,e,(,)xyf其 它 .（1）求关于 的边缘密度函数 ； （2）试判断 与 是否相互独立？Xx

18、XY（3）计算 .1YP解答：（1） =()Xfx(,)fyd； 4 分0e0,.xe,0,.x（2）与（1）类似，易知 ，满足 ，因此 与 相互独()Yfye,0y(,)()XYfxyfyXY立； 4 分（3） = . 2 分1PXY1102xyd某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩 (百分制 )近似服从正态分布 ，并且分X),72(N数在 60 分至 84 分之间的考生人数占考生总数的 68.2%，试求考生的外语成绩在 96 分以上的概率.解答：根据题意有，=68.2%， 4 分12126084()()PX故 ，因此 ， 2 分12()0.8412. 2 分96()()3PX08 级1、设

19、二维随机变量 的联合概率密度函数为,XY21,1(,)0xyfxy其 他求：（1） （X，Y）的边缘概率密度函数 和条件概率密度 ；(Xf ()YXfyx（2）概率 ； P（3）随机变量 的概率密度函数 。2ZXY()Zfz1、解答：（1） = ，()Xfx(,)fyd21,10,xdyx其 他 21,10,x其 他当 时： ；x(,)()YXXffyx21,x其 他（2） ；(,)2yxPfd（3） ()ZFzzPYz当 时： ；00当 时： ；12 2 21()(,)Zxyzxyzfddz当 时： 。zFz因此， 。,01()Zf 其 他07 级0 1.0 2.0 3.0)(x0.500

20、0.841 0.977 0.9991、设二维随机变量 的联合概率密度函数为(,)XY,01(,)Axyfy其 它求（1）常数 ；A（2） （X，Y）的边缘概率密度函数 和条件概率密度函数 ； ()Yf ()XYfxy（3）概率 。1P1. 解答：（1） 由于 ，(,)1fxyd即 ，推得 。 0xdAy3A（2） = ，()Yf(,)fdx1,0,y其 他 23(),01,y其 他当 时： ；01y()()XYYffy210,xx其 他（3） = 。P12034ydx第 4 章一、选择与填空11 级3、将一枚质量均匀对称的硬币独立地重复掷 次，以 和 分别表示正面向上和反面向上的nXY次数，则

21、 和 的相关系数为 B 。XY(A) 1(B) 1(C) 0(D) 0.510 级2. 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且 ，则 的值为 X()12PX(1)DXA。(A) 2 (B) 3 (C) 14(D) 5409 级2. 设 和 为独立同分布的随机变量， 的分布律为 ， ，令随机XYX10PX34PX变量 ，则数学期望 D .max(,)Z()EZ(A) 14(B) 34(C) 16(D) 51608 级2、设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 。X2()PXEe3、设随机变量 和 的相关系数为 0.5， ， ，则Y0)(Y2)(YE6。2()E07 级2、下面四个随机变量的分

22、布中，期望最大，方差最小的是 B 。(A) 服从正态分布X1(5,)2N(B) 服从均匀分布Y(5,7)U(C) 服从参数为 指数分布Z6(D) 服从参数为 3 的泊松分布T3、若二维随机变量 的相关系数 ，则以下结论正确的是 B 。),(Y0XY(A) 与 相互独立 (B) )()XDY(C) 与 互不相容X(D) 3、设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 = 。P1e二、计算与应用10 级将 2 封信随机地投入 2 个邮筒，设随机变量 分别表示投入第 1 个和第 2 个邮筒的信YX,的数目，试求：（1） 的联合分布； （2） 的数学期望 及方差 ；),(YX ()E()DX（3） 的

23、相关系数 ； （4）判断 是否不相关. 是否相互独立。,解答：（1）Y X 0 1 20 0 0 411 0 202 410 04 分（2）X 与 Y 同分布，且 X 的分布为：X 0 1 2P 4因此 ， ， 2 分1)(E23()1()2D（3）方法 1： ， ， ，YEY 1cov(,)()()2XYEXY故 2 分),cov(DX方法 2：由于 ，即 ， 与 存在线性关系，因此 。22X12 分（4）相关，不独立 2 分09 级4. 设随机变量 与 的相关系数 ， ，令 ， ，XY1/4()1DXYUXYVaY且 与 不相关，求常数 .UVa方法 1） cov(,)c(,)XY()1o

24、vDa5)(14D由于 与 不相关，因此 ， 4 分Vc,0UV于是 . 2 分1a(方法 2) ()()EUXYa2 211()()1()4EXaEXYaE2()( EUVY Y则 5cov,)()()UV由于 与 不相关，因此 ， 4 分cov,0于是 . 2 分1a08 级2、设随机变量 和 的分布律为1X20 1p44并且 。21P（1）求 ， 的数学期望以及方差；X（2）求 的联合分布律；12(,)（3）求 ， 的协方差；（4）判断 ， 是否不相关，是否独立。12解答：（1） ； 21210,4EXDX（2）X2 X1 -1 0 10 401 0 210（3） ；2121cov(,)

25、()XEXE（4）由 知 故 不相关；12,又( )联合分布律中不满足 ，所以 不独立。2, ijijp 12,X设某企业生产线上产品的合格率为 ，不合格品中只有 的产品可进行再加工，且再0.9634加工的合格率为 ，其余均为废品。已知每件合格品可获利 元，每件废品亏损 元，为0.8 8020保证该企业每天平均利润不低于 万元，问该企业每天至少应生产多少产品？2解答：每件产品的合格率为 ，不合格率为 0.016，设随机变量 表示3.9604.8094 X生产每件产品的利润，则 的分布律为：X每件产品的平均利润即 ，有 ，因此企业每()80.94(20).1678.4E205.1.天至少应生产

26、256 件产品。07 级2、设二维随机变量（ ）的概率分布为,XYX Y 0 1 iPXx2X0 1p80 -20p0.984 0.016-1 0.640 0.04jPYy0.8 1（1）请将上表空格处填全；（2）求 ， 的数学期望以及方差 、 、 、 ；XEXYD（3）求 ， 的协方差 以及相关系数 ，并判断 是否不相关，是否独立；cov(,)X,Y（4）记 ，求 的概率分布，并求 。ZYZPZ2. 解答：（1）X Y 0 1 ix-1 0.16 0.64 0.80 0.04 0.16 0.2jPy0.2 0.8 1（2） ， ；.8,.E0.16,0.16DXY（3） ，cov()()4(

27、8)XYE，故 不相关，,又( )联合分布律中满足 ，所以 也相互独立；, ijijp,X（4） = 。PXZ0.2Y07 级已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3件合格品. 从甲箱中任取 2 件产品放入乙箱后，求：(1) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率；(2) 乙箱中次品件数的数学期望。解答：（1）设 A0，A 1，A 2 为从甲箱中取到了 0，1，2 个次品；设 B 为从乙箱中任取一件次品，则；20()()|iiiPP133322266605CC（2）设 X 表示乙箱中次品件数，则 X 可能取 0，1，2，； ；236151326135P故 X 分布率为因此： 。32015E三、证明10 级1. 设随机变量 与 的相关系数为 ，且满足 ，令 ， ，证明：XY()DXYUXYV与 不相关。UV证明： 2 分cov(,)c(,)(0Z -1 0 1P 0.16 0.68 0.16X 0 1 2P 5即 ，故 与 不相关 2 分0UVV08 级证明在一次试验中，事件 发生的次数 的方差 。AX41)(D证明：在一次试验中，事件 发生的次数 为 1 或 0，设 的概率为 ， 的概率为Xp0X，则 的方差1pX。2()()Dpp