1、NOIP 普 及 组 初 赛 历 年 试 题 及 答 案 求 解 题 篇问 题 求 解 ： 每 次 共 2 题 ， 每 空 5 分 ， 共 计 10 分 。 每 题 全 部 答 对 得 5 分 ， 没 有部 分 分 。 注 ： 答 案 在 文 末在 NOIP初 赛 问 题 求 解 中 ， 经 常 会 遇 到 排 列 组 合 问 题 。 这 一 类 问 题 不 仅 内 容 抽 象 ，解 法 灵 活 ， 而 且 解 题 过 程 极 易 出 现 “重 复 ”和 “遗 漏 ”的 错 误 ， 这 些 错 误 甚 至 不 容 易检 查 出 来 ， 所 以 解 题 时 要 注 意 不 断 积 累 经 验 ，
2、 总 结 解 题 规 律 。解 答 排 列 组 合 问 题 ， 首 先 必 须 认 真 审 题 ， 明 确 是 属 于 排 列 问 题 还 是 组 合 问 题 ， 或者 属 于 排 列 与 组 合 的 混 合 问 题 ， 其 次 要 抓 住 问 题 的 本 质 特 征 ， 灵 活 运 用 基 本 原 理和 公 式 进 行 分 析 解 答 。 同 时 还 要 注 意 讲 究 一 些 策 略 和 技 巧 ， 比 如 采 用 分 类 、 分 步 、捆 绑 等 方 法 ， 也 可 以 借 助 表 格 、 方 程 等 工 具 ， 使 一 些 看 似 复 杂 的 问 题 迎 刃 而 解 。NOIP2011
3、-1. 每 份 考 卷 都 有 一 个 8 位 二 进 制 序 列 号 。 当 且 仅 当 一 个 序 列 号 含 有偶 数 个 1时 ， 它 才 是 有 效 的 。 例 如 ， 0000000、 01010011 都 是 有 效 的 序 列 号 ，而 11111110不 是 。 那 么 ， 有 效 的 序 列 号 共 有 _个 。NOIP2011-2. 定 义 字 符 串 的 基 本 操 作 为 : 删 除 一 个 字 符 、 插 入 一 个 字 符 和 将 一 个字 符 修 改 成 另 外 一 个 字 符 这 三 种 操 作 。 将 字 符 串 A 变 成 字 符 串 B的 最 少 操 作
4、 步数 ， 称 为 字 符 串 A 到 字 符 串 B的 编 辑 距 离 。 字 符 串 “ABCDEFG”到 字 符 串“BADECG”的 编 辑 距 离 为 _。NOIP2012-1. 如 果 平 面 上 任 取 n 个 整 点 (横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) ， 其 中 一 定 存 在 两个 点 ， 它 们 连 线 的 中 点 也 是 整 点 ， 那 么 n至 少 是 _。NOIP2012-2. 在 NOI 期 间 ， 主 办 单 位 为 了 欢 迎 来 自 全 国 各 地 的 选 手 ， 举 行 了 盛大 的 晚 宴 。 在 第 十 八 桌 ， 有 5名 大 陆 选 手 和 5
5、名 港 澳 选 手 共 同 进 膳 。 为 了 增 进交 流 ， 他 们 决 定 相 隔 就 坐 ， 即 每 个 大 陆 选 手 左 右 相 邻 的 都 是 港 澳 选 手 、 每 个 港 澳选 手 左 右 相 邻 的 都 是 大 陆 选 手 。 那 么 ， 这 一 桌 共 有 _种 不 同 的 就 坐 方 案 。 注意 ： 如 果 在 两 个 方 案 中 ， 每 个 选 手 左 边 相 邻 的 选 手 均 相 同 ， 则 视 为 同 一 个 方 案 。NOIP2013-1. 7 个 同 学 围 坐 一 圈 ， 要 选 2 个 不 相 邻 的 作 为 代 表 ， 有 _种 不同 的 选 法 。
6、NOIP2013-2. 某 系 统 自 称 使 用 了 一 种 防 窃 听 的 方 式 验 证 用 户 密 码 。 密 码 是 n 个数 s1,s2,.,sn， 均 为 0 或 1。 该 系 统 每 次 随 机 生 成 n 个 数 a1,a2,.,an，均 为 0 或 1， 请 用 户 回 答 (s1a1+s2a2+.+snan)除 以 2 的 余 数 。 如 果 多 次 的回 答 总 是 正 确 ， 即 认 为 掌 握 密 码 。 该 系 统 认 为 ， 即 使 问 答 的 过 程 被 泄 露 ， 也 无 助于 破 解 密 码 因 为 用 户 并 没 有 直 接 发 送 密 码 。 然 而
7、， 事 与 愿 违 。 例 如 ， 当 n=4时 ， 有 人 窃 听 了 以 下 5 次 问 答 : 就 破 解 出 了 密 码 s1=_， s2=_，s3=_， s4=_。NOIP2014-1. 把 M 个 同 样 的 球 放 到 N 个 同 样 的 袋 子 里 ， 允 许 有 的 袋 子 空 着 不放 ， 问 共 有 多 少 种 不 同 的 放 置 方 法 ?(用 K 表 示 )。 例 如 ： M=7， N=3 时 ， K=8;在 这 里 认 为 (5,1,1)和 (1,5,1)是 同 一 种 放 置 方 法 。 问 :M=8， N=5 时 ， K=_。NOIP2014-2. 如 图 所
8、示 ， 图 中 每 条 边 上 的 数 字 表 示 该 边 的 长 度 ， 则 从 A 到 E 的最 短 距 离 是 _。NOIP2015-1. 重 新 排 列 1234 使 得 每 一 个 数 字 都 不 在 原 来 的 位 置 上 ， 一 共 有_种 排 法 。NOIP2015-2. 一 棵 结 点 数 为 2015 的 二 叉 树 最 多 有 _个 叶 子 结 点 。NOIP2016-1. 从 一 个 44 的 棋 盘 (不 可 旋 转 )中 选 取 不 在 同 一 行 也 不 在 同 一 列 上的 两 个 方 格 ， 共 有 _种 方 法 。NOIP2016-2. 约 定 二 叉 树
9、的 根 节 点 高 度 为 1。 一 棵 结 点 数 为 2016 的 二 叉 树 最 少有 _个 叶 子 结 点 ;一 棵 结 点 数 为 2016 的 二 叉 树 最 小 的 高 度 值 是 _。NOIP2011-1. 组 合 计 数 问 题 。C(n,m)=n!/(n-m)!*m!C(8,0)+C(8,2)+C(8,4)+C(8,6)+C(8,8)=128NOIP2011-2.编 辑 距 离 问 题 。先 创 建 一 个 89（ BADECG长 度 为 6， ABCDEFG长 度 为 7， 各 加 2） 的 表 如 下 ：1、 在 第 一 行 第 一 列 分 别 填 上 两 个 字 符
10、串2、 在 第 二 行 第 二 列 分 别 填 上 序 列 号3、 从 第 三 行 第 三 列 这 一 格 开 始 计 算 填 充 。 行 列 字 符 相 等 ， 则 填 左 上 角 的 数 字 ；行 列 字 符 不 等 ， 在 “左 上 角 数 字 +1、 左 方 数 字 +1、 上 方 数 字 +1”中 取 最 小 值 填 充4、 取 最 右 下 角 的 值 ， 得 编 辑 距 离 为 3。NOIP2012-1. 鸽 巢 原 理 问 题 。同 一 直 线 上 三 个 点 的 坐 标 ： (x1,y1)、 (x2,y2)和 中 点 （ (x1+x2)/2,(y1+y2)/2） 。如 果 三
11、个 点 都 是 整 数 ， 必 须 而 且 只 须 x1 与 x2， y1 与 y2 的 奇 偶 性 相 同 。平 面 上 的 整 点 只 有 四 类 ： (奇 数 ,奇 数 )， (偶 数 ,偶 数 )， (奇 数 ,偶 数 )， (偶 数 ,奇 数 )，根 据 鸽 巢 原 理 ， 在 平 面 上 任 取 五 个 整 点 ， 那 么 至 少 有 两 个 整 点 属 于 一 类 ， 它 们 连线 的 中 点 就 必 是 整 点 。 所 以 n至 少 是 5。NOIP2012-2. 圆 桌 排 列 问 题 。以 3人 为 例 ， 直 线 排 列 方 案 ： A(3,3)=3!=6， 分 别 是
12、： 123,132,213,231,312,321，如 果 是 圆 桌 排 列 ， 则 ： 123,231,312是 重 复 方 案 ， 132,213,321是 重 复 方 案 ， 实际 有 效 方 案 为 ： 3!/3=2。本 题 中 ， 大 陆 选 手 先 排 列 ， 则 有 A(5,5)=5!； 港 澳 选 手 再 排 列 ， 共 有 5!*5!； 再 排除 圆 桌 重 复 排 列 ， 则 有 ： 5!*5!/5=2880NOIP2013-1. 乘 法 原 理 问 题 。先 选 1个 同 学 出 来 ， 7 种 选 法 ； 再 选 第 2 个 同 学 出 来 ， 4种 选 法 。 所
13、以 ， 共 有742=14 种 选 法 。 注 意 ： 去 除 重 复 部 分 （ 如 第 1次 选 a， 第 2 次 选 b与 第 1 次选 b， 第 2 次 选 a 一 样 ）NOIP2013-2. 方 程 求 解 问 题 。求 解 得 出 S1=0， S2=1， S3=1， S4=1。NOIP2014-1. 排 列 组 合 问 题 。设 K=f(m,n)为 m 个 球 ， n 个 袋 子 的 放 法 数 目 ， 可 以 分 成 两 类 ： 含 有 0 的 方 案 数 ，不 含 有 0的 方 案 数 。当 m=0， 或 n=1 时 ， f(m,n)=1； 当 mn时 ， 则 有 ：1、 含
14、 有 0 的 方 案 数 ， 即 有 至 少 一 个 袋 子 空 着 ， 即 相 当 于 f(m,n)=f(m,n-1)2、 不 含 有 0的 方 案 数 ， 即 全 部 袋 子 都 有 球 ， 那 么 先 从 m 个 球 中 抽 取 出 n 个 出 来 ，各 个 袋 子 分 一 个 ， 考 虑 剩 下 的 m-n个 球 放 到 n个 袋 子 里 的 放 法 ，即 f(m,n)=f(m-n,n).而 总 的 放 法 数 目 等 于 两 者 的 和 ， 即 f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)所 以 ： f(8,5)=f(8,4)+f(3,5)=18NOIP2014-2. 最 短 路
15、 径 问 题 。我 们 可 以 用 倒 推 的 方 法 ， 求 A 到 E的 最 短 距 离 。 用 k 来 表 示 阶 段 。k=4， 有 d4(F,E)来 表 示 F 到 E 的 距 离 。 f4(F)=6k=3， 用 d3(C,E)、 d3(C,F)、 d3(D,F)、 d3(D,E)来 表 示 有 四 条 路 。f3(C)=mind3(C,E),d3(C,F)=min8,1+6=7f3(D)=mind3(D,F),d3(D,E)=min2+6,4=4k=2， 有 f2(B)=mind2(B,C),d2(B,D)=min1+7,7+4=8；f2(G)=mind2(G,C),d2(G,D)
16、=min2+7,4+4=8k=1， 有 f1(A)=mind1(A,B),d1(A,G),d1(A,F)=min3+8,4+8,6+6=11NOIP2015-1. 错 位 排 列 问 题 。Dn=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+)， D4=24(1/2-1/6+1/24)=9NOIP2015-2. 完 全 二 叉 树 问 题 。二 叉 树 的 叶 子 结 点 （ N0） = 度 为 2的 结 点 数 （ N2） +1。 二 叉 树 叶 子 节 点 最 多 ，即 度 为 2的 结 点 数 最 多 ， 这 就 是 完 全 二 叉 树 ， 2015 个 结 点 的 完 全 二 叉 树 。20
17、15=N0+N1+N2， 当 完 全 二 叉 树 度 为 1的 结 点 数 N1=0 时 ， N0=1008。NOIP2016-1. 乘 法 原 理 问 题 。第 一 个 方 格 的 选 取 方 法 ： 4*4=16； 由 于 要 求 不 同 行 不 同 列 ， 则 第 二 个 方 格 的 选取 方 法 ： 3*3=9根 据 乘 法 原 理 ， 且 两 个 方 格 无 前 后 排 序 ， 去 除 重 复 ， 则 有 16*9/2=72NOIP2016-2. 完 全 二 叉 树 问 题 。当 度 为 2的 结 点 数 (N2)=0 时 ， 叶 子 结 点 最 少 。 则 叶 子 结 点 (N0)=度 为 2 的 结 点 数(N2)+1=1；当 为 完 全 二 叉 树 时 ， 二 叉 树 的 高 度 值 最 小 。 设 二 叉 树 得 高 度 值 为 i， 则 共 i 层 的完 全 二 叉 树 最 多 有 2i-1个 节 点 。 则 有 ： 2016=11， 即 最 小 高度 值 为 11。
