1、大学物理竞赛辅导（热学部分）,一、气体动理论,(一）、新增要求： 分子热运动的平均自由程：,分子热运动的平均碰撞频率：,例：,1、一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运动的平均自由程仅决定于 A压强 B体积 C温度D分子的平均碰撞频率,12、在下列四种情况中，何种将一定能使理想气体分子的平均碰撞频率增大？（ ） A增大压强,提高温度； B增大压强,降低温度；C降低压强,提高温度；D降低压强，保持温度不变,1/2,2,3、如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原来的一半时，分子的碰撞频率为原值的（ ），分子的平均自由程程为原值的（ ）。,8、有一个边长为10cm的立方容器，内盛有标准状态下
2、的He气，则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的数量级为（ ） （a)1020s-1 （b)1026s-1 （c)1032s-1,析：单位时间内一个原子与一个器壁碰撞的次数：,单位时间内所有原子与一个器壁碰撞的次数：,（二）新增要求：热传导率,设x轴是气体温度变化最大的方向，该方向上气体温 度的空间变化率-温度梯度：,设S为垂直x轴的某指定平面的面积，则单位时间内从温度较高的一侧，通过这一平面，向温度较低一侧所传递的热量，与这平面所在处的温度梯度成正比，与面积成正比,k为热传导率或导热系数,29-4,如图所示，厚度为l，热导率分别为K1和K2的两块金属大平板，左 右并排紧靠在一起，左侧空气温度
3、恒为T1，右侧空气温度恒为 T3T1。若两侧空气压强相同，分子数密度分别记为n1和n3，则 n1:n3= 。设K1=2K2，在热传导已达稳定状态时，则两 块金属板接触面上的温度T2= 。,T1,T3,T2,解：,（1）若两侧空气压强相同，分子数密度分别记为n1和n3，则n1:n3=,T1,T3,T2,（2）设K1=2K2，在热传导已达稳定状态时，则两块金属板接触面上的温度T2= 。,0,x,解：在不同的x处取相同的截面S，则单位时间通过的热量Q相等,x,0,x,对于右侧的板，,0,x,两式联立，,25-16,在两端绝热封顶，半径R2=7.5cm的长容器筒内，同轴的固定着半径R1=5cm的长铀棒
4、，两者之间夹着一层空气。铀因裂变在单位时间、单位体积内产生的热量为Q=5.5103W/(m3s)，热传导率Ku=46W/(mK)，空气的传导率KA=46W/(mK)。设整个装置与周围环境间已处于热平衡状态，筒壁与环境温度同为T2=300K。 （1）计算单位时间、单位长度铀棒因裂变产生的热量Q；（2）计算铀棒外表面温度T1；（3）计算铀棒中央轴处温度T0；（4）计算筒内R1处空气密度1与R2处空气密度2间的比值,R1,T1,R2,T2,r,（1）计算单位时间、单位长度铀棒因裂变产生的热量Q：,（2）计算铀棒外表面温度T1,热平衡时，单位时间通过该单位长度空气柱面向外所传递的热量：,R1,T1,R
5、2,T2,r,R1,T1,R2,T2,r,(3)在铀棒内部取一单位长度同轴柱面，热平衡时，单位时间铀棒通过该面向外所传递的热量：,（4）计算筒内R1处空气密度1与R2处空气密度2间的比值,热平衡时压强同，P=nkT=常量,所以,（三）、麦克斯韦气体分子速率分布律,速率分布函数 ：,麦克斯韦速率分布律,此数学表达式适用于平衡态的任何气体,7 理想气体处于平衡态时，根据麦克斯韦速率分布函数,，可导得分子平,动动能在 到 + d 区间的概率为f()d =,其中,。 在根据这一分布式，可导得分子平动,动能的最可几值 p =,三种统计速率,（1）最概然速率：反映速率分布的基本特征 。,（2）平均速率：大
6、量气体分子速率的算术平均值。 反映分子迁移、碰撞的基本特征。,（3）方均根速率：与分子的能量有关，用于讨论气体的压强和温度。,温度越高，速率大的分子数越多,2.讨论 ：,例：,5、处于平衡态的气体系统中,分子运动的速率分布律可图示为( );速度分布律可图示为( ).已知0C温度下氮气分子的方均根速率大约为493m/s，则该温度下氧气分子的方均根速率为（ ）；25C下氧分子的方均根速率为（ ），1摩尔氧气的定体热容量为（ ）,250C下氧分子的方均根速率为：482m/s,1摩尔氧气的定体热容量为: 5R/2,减小,17、已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图， 试在图上定性画出相同温度下氢气分子
7、的速率分布曲线,（四）能量按自由度均分定理气体处于温度为T的平衡态时，分子任何一个自由 度的平均动能都相等，均为,理想气体的内能：,所有分子动能与分子内原子间势能的总和,气体的内能：,所有分子相对质心参照系的动能与分子间相互作用势能的总和,例：,11、一个大气压下270C时空气分子的平均动能是 ：,10、在常温下，氦气的定压摩尔热容是 A B R C D 2R E,二、热力学理论,（一）可逆过程：无摩擦的准静态过程如果一个系统p进行后，存在另一个过程q，可以使原过程反方向进行，使系统和外界都恢复到原来的状态而不留下任何影响，那么原来的过程称为可逆过程。反之称为不可逆过程。,例：,一个系统经历的
8、过程是不可逆的，就是说，该系统不可能再回到原来的状态。,（二）准静态过程 无限缓慢进行的过程，有一系列依次接替的平衡态组成的过程，可以系统状态图上一条曲线表示-过程曲线,四个等值过程：,（三)热力学第一定律,适用于两平衡态间任意系统的任意过程,例：,12、一定的理想气体从体积V的初状态，变到体积为2V的末状态，则不论经历什么过程，系统必然对外做正功。,W=0,X,理想气体自由膨胀,29-5 单原子分子理想气体经历的三个准静态过程AB1，AB2，AB3如图所示，这三个过程的吸热量依次为Q1，Q2，Q3,其中最大者为 。这三个过程的摩尔热容量依次记为Cm1，Cm2，Cm3，其中最大者为 。,p,V
9、,p0,2p0,V0,2V0,A,B1,B2,B3,Q1,Q2,Q3,解：过程AB1吸热：,p,V,p0,2p0,V0,2V0,A,B1,B2,B3,Q1,Q2,Q3,过程AB2吸热：,过程AB3吸热：,Q2最大,Cm3最大,13、隔板C把绝热材料包裹的容器分为A、B两部分。如图所示，A室充以真实气体，B室为真空。现将C打开，A室气体充满整个容器，在此过程中，内能应（ ）,不变,绝热自由膨胀,14、用一不导热的活塞，把气室分成A、B两部分，内有理想气体。活塞和气室间无摩擦。开始时tA=270C，tB=370C，活塞最终达平衡状态。现将活塞固定，同时使A、B的温度各升高100C，然后撤去对活塞的
10、固定，活塞将向（ B）侧运动。（9）,初始条件:,末态:,活塞将向（ B）侧运动。,28-12如图所示，在内壁光滑固定直立的圆筒形气缸内，有一个质量可略的活塞A紧密地与汽缸壁接触，此活塞上有一个小孔，装有只能朝下打开的阀门K1。气缸的下部有一个固定的薄隔板C和一个固定在缸壁上厚度可忽略的卡环B，隔板C的中央有一个小孔装有只能朝下打开的阀门K2。隔板C和气缸底部的距离为L，卡环B到隔板C的距离为L/2，活塞A能够达到的最高位置在隔板C的上方4L处。开始时A在最高位置，气缸内A到C之间以及C下方的气体压强与外界大气压强相同，均为p0。假设阀门K1、 K2。打开和关闭时间均可略。,（1）在等温条件下
11、，使活塞A从最高位置缓慢朝下移动，直到最低位置B处，试求此时隔板C下方气体的压强P1。,(2)再将活塞A从B处朝上拉，拉到距C的高度h达到什么值时，方能使C上方气体的压强等于p0？,（3）令活塞A从B处移动到原最高位置，然后再次移动到B处，如此反复进行，试求隔板C下方气体压强所能达到的最大值？,（1）已知：初态pA= pC =p0,T=C; A,pA,K2,打开,末态：A,B,求：C下气体压强p1=？,解：研究系统： A活塞下气缸内的气体,P0,PA,PC,（2）已知：A在B处 PA=pC=10p0/3, l=3/2L,A,PA,PApC,K2关闭,P0,PA,PC,求：A拉到距离C的高度h=
12、？pA=p0,解：研究系统： A活塞与C之间的气体,（3）已知：A在B处 PA=pC, l=3/2L,P0,PA,PC,求：C下气体压强的最高值pe？,解：研究系统： A活塞下气缸内的气体,B 原最高位置,P0,PA,PC,设A第N次从最高位置移动到B时，C下气体压强达到最高值pN=pe，当A第N+1次从最高位置移动到B时，C下气体压强pN+1=pe,初态：A位于最高位置，开始第第N+1次压缩,末态：A位于B,11.每边长76cm的密封均匀正方形导热细管按图1所示直立在水平地面上，稳定后，充满上方AB管内气体的压强PAB=76cmHg，两侧BC管和AD管内充满水银，此时下方DC管内也充满了该种
13、气体。不改变环境温度，将正方形细管按图2所示倒立放置，稳定后试求AB管内气体柱的长度lAB.,C,图1,图2,x,x,AB初态：,CD初态：,AB末态：,CD末态：,l0,lAB,x,x,对AB、CD应用等温过程方程：,l0,lAB,15、摩尔质量为、摩尔数为的单原子理想气体进行了一次x过程，在p-V图上过程曲线向下平移P0后，恰好与温度为T0的等温曲线重合，则x过程的过程方程（V-T关系式）为（ ），x 过程的比热c与压强的关系为c（ ）,x,x,A,B,解(1)设A态气体的状态方程是:,(2)比热,设在x过程中有一微小变化,微小过程的过程方程：,x,A,B,利用热力学第一定律,(2)比热,
14、17、图中MN为某理想气体的绝热过程曲线， ABC是任意过程，箭头表示过程进行的方向。ABC过程结束后气体的温度（增加、减小或不变）（ ）；气体所吸收的热量为（正、负或零）（ ）。,减小 负,解:(1)MN绝热过程Q=0 A经MN到达C,W0 内能降低,TCTA,(2)设一循环过程ABCNM:W0,QNM=0 QABC0,28、一绝热容器被一活塞分隔成两部分，其中分别充有一摩尔的氦气和氮气，设初始时He的压强为2atm，温度为400K，N2的压强为1atm，温度为300K。由于两则压力不等，活塞将在容器内滑动。假定活塞是导热的，摩擦可以互略不计，He和N2均可视为刚性分子理想气体，求最终达到平
15、衡时He的压强和温度（2）,T=337.5k;P=1.35atm,He,N2,He,N2,解:系统总内能不变;总体积不变,初态:,末态:p,T相同,内能不变,T=337.5k,体积不变,P=1.35atm,29、一气缸的初始体积为30.5l，内盛空气和少量水（水的体积可略），总压强为3atm.作等温膨胀时体积加倍，水恰好全部消失，此时压强为2atm。继续等温膨胀，使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理想气体。试求（1）气体的温度；（2）最后的压强；（3）水和空气的摩尔数。,T0=100k, p3=1atm, n1=n2=2mol,解:,初态,中间态,末态,(1)初态到中间态: 对空气应用等温过程
16、方程,(2)从中间态到末态,对混合气体应用等温过程方程,（3）将状态方程用于初态的空气：,水的摩尔数：,30、有n摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图中是P0,V0是已知量，ab是直线，求： （1）气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量。 （2）在该过程中温度最高值是什么？最低值是什么？并在P-V图上指出其位置。,W=Q=4 P0V0 (2P0,2V0)温度最高a或b温度最低,解：,n摩尔，P0,V0,（1）由图知,由图线下面积知,由热一律，气体在该过程中吸收的热量：,（2）由图知，ab过程方程：,a或b温度最低,31、2摩尔单原子理想气体从初态经历一热容量c2R（10.01T）的
17、准静态过程，到达温度为初态温度的2倍、体 积为初态体积的 倍的终态。试求内能增量E及系统对外所作的功A,解：热容量,（1）,由热一律,（2）,（1）从初态到末态积分,（2）从初态到末态内能增量,（3）从初态到末态吸收的热量,系统对外做功：,大学物理竞赛辅导（热学部分）,三、热一律与循环效率计算四、热二律与熵增原理五、实际气体,33、某单原子理想气体经历的一准静态过程中，压强p和温度T成反比例关系。（1）试求此过程中该气体的摩尔热容量C；（2）设此过程中某一状态的压强为p0，体积为V0，试求在体积从V0增到2V0的一般过程中气体对外做功量W。,解（1）依题意，过程方程可表述为：,（2）状态方程,
18、（3）由热一律,(4)系统对外做的功,由过程方程,5-3-11（p140） 水平放置的绝热气缸内有一不导热的隔板，把气缸分成A，B两室，隔板可在气缸内无摩擦的平移，如图所示，每室中容有质量相同的同种单原子理想气体，它们的压强都是P0,体积都是V0,温度都是T0。今通过A室中的电热丝T对气体加热，传给气体的热量为Q，达到平衡时A室的体积恰为B室的两倍，试求A、B两室中气体的温度。,解：,初态：,末态：,（1）由状态方程,（2）对A，B组成的系统应用热一律,三、热一律与循环效率的计算,热机的循环效率,Q1是系统在整个循环过程中的总吸热。Q2是系统在整个循环过程中的总放热。,卡诺热机的循环效率,36
19、、某气体系统在pV图上的一条循环曲线如图所示，试求证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量(12),例,反证法： 设循环过程中摩尔热容量是常量C，则循环过程中吸收的热量：,循环后系统恢复原态，其内能增量：,但系统对外做功不为零，与热一律矛盾,5.单原子分子理想气体热循环过程如右图所示，其效率= 。工作于该循环过程所经历的最高温度热源与最低温度热源之间的可逆卡诺循环效率卡= ？,解: (1)系统对外作的功：W=S=P0V0,A,B,C,D,P,V,V0,2V0,P0,2P0,AB过程吸收的热量：,T1,T2,T0,A,B,C,D,P,V,V0,2V0,P0,2P0,T1,T2,T0,DA
20、 过程吸热：,循环过程吸热： Q1=QAB+QDA=13p0V0/2,该循环循环效率：,（2）可逆卡诺循环效率卡=,A,B,C,D,P,V,V0,2V0,P0,2P0,T1,T2,T0,8 一个平均输出功率为50MW的发电厂，热机循环的高温热源温度为T1=1000K,低温热源温度T2=300K，理论上热机的最高效率为,。如果该厂只能达到,这个效率的70%，为了产生50MW的电功率，每秒需要消耗,J的热量。,25-6,四个恒温热源之间关系为T1=T2=2T3=3T4，其中常数1。工作于其中两个任选热源之间的可逆卡诺热机的循环效率最大可取值max= ; 由这四个热源共同参与的某个可逆循环如图所示，
21、途中每一条实线或为T1、T2、T3、T4等温线，或为绝热线，中间两条实线与其间辅助虚线同属一条绝热线。此循环效率为=,T1,T2,T3,T4,25-6,T1,T2,T3,T4,卡诺循环的效率：,循环过程效率：,(等温线）,(等温线）,14-22设想某种双原子分子理想气体，在温度低于2T0时 等体摩尔热容量为 ，在温度高于2T0时，等体摩 尔热容量增至 。该气体所经历热循环过程如图所 示，试求循环效率.,A,B,C,D,(等温线）,(等温线）,A,B,C,D,解:首先判断吸热和放热过程: 吸热:AB,BC 放热:CD,AD,吸热,吸热,(等温线）,(等温线）,A,B,C,D,放热,放热,总吸热,
22、总放热,(等温线）,(等温线）,A,B,C,D,循环效率:,5-3-20 P-V坐标面上，单原子分子理想气体的两条等压线和两条等体线围成的矩形ABCD如图所示。状态B的温度是状态D的温度的4倍，状态A与状态C的温度相同，过A、C的等温线已在图中画出。将循环过程ABCA、ACDA的效率分别记为1和2 ，试求： 1和2的比值,解：,由状态方程：,循环ABCA:,效率：,循环ACDA:,效率：,37、1mol单原子理想气体从初态（a点）p032Pa压强，体积V08m3经pV图上的直线过程到达终态（b点）压强p11Pa，体积V164m3；再经绝热过程回到初态，如此构成一循环。求此循 环的效率（7）,5
23、2%,解：,（1）求吸热放热的转折点C,设直线的过程方程：,直线上任一点：,对某一微小过程：,代入热一律：,若该过程在C点附近：,由a，b两点坐标,（2）效率,28-5单原子分子理想气体所经循环过程ABCA和ACDA如图所示，对应的效率ABCA= ， ACDA= 。,（1）ABCA,判断吸热、放热,AB、BC吸热；CA放热,（2）ACDA,判断吸热、放热,AC(热一律)吸热；CD、DA放热,系统对外界做功： W=0.5p0V0,38、等容热容量为常量的某理想气体的两个循环过程曲线如图所示,图中的两条斜直线均过pV坐标面的原点O,其余各直线或与p轴平行或与V轴平行。试证：这两个循环过程的效率相等
24、.(11),解（1） 计算ABCA循环效率,判断吸热、放热,AB:吸热；BC:放热； CA：放热,吸热：,循环过程系统对外做功：,ABCA效率：,ABCA和GEFG循环CV相同,所以这两个循环过程的效率相等,32、某理想气体经历的正循环过程 ABCDA和正循环过程AEFGA如图所示，有关特征态的状态参量在图中已经给出，各自效率分别记为1和2， 试证： 2 ： 1 =4：3（15）,解：设理想气体的摩尔数为n,态A温度T0, （1）根据状态方程：,（2）ABCDA循环效率,ABCDA循环效率：,（3）AEFGA循环效率,AEFGA循环效率,所以,四热力学第二定律,克劳修斯表述：,开耳文表述：,不
25、可能把热量从低温物体传到高温物体，而不产生任何影响,不可能制成一种循环工作的热机，只从单一热源吸热全部变为有用功而不产生任何影响,例,22、从单一热源吸收热量并将其完全用来对外做功，是不违反热力学第二定律的，例如 过程就是这种情况（2）,等温,24、假设循环由等温过程和绝热过程组成（如图），可以认为（ ）(4)（a）此循环过程违反热力学第一定律（b）此循环过程违反热力学第二定律（c）此循环过程既违反热力学第一定律，又违反热力学第二定律,C熵增原理,在孤立系中进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行，它是不可逆的。平衡态相当于熵的最大状态,（2）孤立系可逆过程熵不变,（1）孤立系不可逆过程熵增加,
26、(3)熵S是系统的状态函数,玻耳兹曼关系式,玻尔兹曼常数,（4）熵的计算：任意系统在一微小可逆过程中的熵增：,在一可逆过程中熵增：,27、1kg冰在00C、1atm下溶解为水的过程中的熵增量为（ ）。（已知冰的熔解热为333kJ/kg）(8),解:冰在00C等温膨胀,设想冰与00C的恒温热源接触而进行可逆的吸热过程,41、设有一刚性绝热容器，其中一半充有摩尔理想气体，另一半为真空。现将隔板抽去，使气体自由膨胀到整个容器中。试求该气体熵的变化。（不能直接用理想气体上的公式计算）（1）,解:,设想从初态到末态经历一等温的可逆过程,熵变:,29-12 1mol单原子分子理想气体，从初态（p0，V0）
27、经过一个准静态压缩过程，到达终态（8p0，1/4V0）。 （1）假设全过程的每一个无穷小过程中，气体对外做功dW与吸热dQ之比dW/dQ均为常量 ，试求 （2）计算此气体的熵增量S,（1）假设全过程的每一个无穷小过程中，气体对外 做功dW与吸热dQ之比dW/dQ均为常量 ，试求,解：,另,1/4V0,V0,p0,8p0,A,B,令,1/4V0,V0,p0,8p0,A,B,（2）计算此气体的熵增量S,C,构造可逆过程AC B,（等压、等容过程方程）,五、实际气体：,模型：有引力的刚性球模型,1mol考虑分子体积：,考虑分子引力：,b=10-6 m3,范德瓦耳斯方程,21、真实气体在气缸内等温膨胀
28、，推动活塞作功，活塞移动距离为L。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不考虑时为（ ）；若仅考虑分子分子之间存在作用力去计算功，比不考虑时为（ ）； （a）大 (b)小 （c）一样大（4）,仅考虑分子占有体积a=0,仅考虑分子间作用力b=0,大，小,解:范德瓦尔斯方程:,1mol范氏气体在T1温度下等温膨胀,b体积修正;a压强修正,(1)仅考虑分子引力去计算功,0,减小,(2)仅考虑分子占有体积,增大,35、一摩尔氮气（设氮气服从范德瓦尔斯方程）作等温膨胀，体积由V1变到V2，试求氮气对外界作的功（b）内能的改变;(c)吸收的热量。（6）,解:由范德瓦耳斯方程,(1)氮气对外做的功:,(2)内能增量,内能增量:,(3)氮气吸收的热量,
