1、力学部分主要公式：,（1). 牛顿第二定律,（2). 角动量定理,对于质点,角动量,对于刚体,角动量,(3). 保守力与势能关系,(4). 三种势能,重力势能,弹性势能,万有引力势能,(5). 保守力的特点,作功与路径无关,(6).振动的微分方程,圆频率:,(7). 阻尼振动,l. 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个,小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统,处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块,的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角,始终不变，试求,解：,画隔离体图，受力分析,列方程：,沿绳的方向加速度应该相等：,解得：,例2. 质量为M、半径为R的光滑半球
2、，其底面放在光滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下。已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成 角。系统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速度。,解：设半球面到图示虚线位置时，小滑块与竖直线夹角为,以地为参照系.,小滑块对地的速度为,半球面对地的速度为,小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为,小球速度：,水平方向动量守恒,系统机械能守恒：,解得：,例3：长为,质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直,墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为,一质量也为M的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时,梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与,地面之间的摩擦系数,解：系统力平衡力矩平衡,
3、求得：,例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个,小孔，孔与水面相距为,水从小孔,流出，求水从小孔流出时的速度。,解：在孔处取单位体积的小体元,体元左侧面积为单位面积，受力等于,该处的压强,此体元 运动单位距离就可以流出,按照牛顿第二定律：,速度：,右侧面积为单位面积，受力,此体元经受力,例5. 质量为,长为,的匀质棒可绕固定的支点在竖直,平面内运动. 若棒在与水平线成,角位置从静止开始,下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力.,解: 由转动定理,这里,得到角加速度,表达式可写成,两边积分,得到,轴反力的两个分量,和,列出质心运动方程:,法线方向,切线方向,或写成,当,时,得到
4、,例6.,一长为,的细麦杆可绕通过中心,的水平转轴,在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置,一质量与麦杆相同的甲虫以速度,垂直落到麦杆的,长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使,麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度,多大？,解：,以麦杆和甲虫为系统,碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为,于是有：,解得：,碰后，当甲虫距轴心为,时系统的转动惯量为,作用在系统上的重力矩为：,据转动定理：,应有：,即：,于是甲虫的速度为：,例7. 光滑水平面上有一半径为,的固定圆环,长为,的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着,圆环外侧运动,直
5、至细杆的B端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数,处处相同,试求,的取值范围.,解:,设初始时细杆的旋转,角速度为,转过,角后,角速度为,.由于摩擦力,并不作功,故细杆和圆环,构成的系统机械能守恒,应有:,这里,解得:,细杆质心C将沿着圆的渐开 线运动,切向加速度为,法向加速度为,列出细杆质心运动方程,不打滑的条件:,即,由于,所以,例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为,和,开始时第一个圆盘以,的角速度旋转，,第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，,求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度,解：,受力分析：,无竖直方向上的运动,以O1点为参考点，,计算系统的外力矩：,作用在系统上的外
6、力矩不为0，故系统的角动量不守恒。,只能用转动定律做此题。,对于盘1：,阻力矩,两边积分,对于盘2：,两边积分,于是有：,不打滑条件：,接触点处两盘的线速度相等,可解得：,例9: 质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m,的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为,问,为何值时,绳与滑轮之间无相对滑动.,解: 受力分析:,列方程:,滑轮:,不打滑的条件:,由以上四式解得:,绳中的张力分析,任取线元,此线元切向运动方程为：,此线元法向运动方程为：,利用近似：,忽略二阶无穷小量，得到：,两式相除得到：,两式相除得到：,解此方程得到：,当,时，,于是得到摩擦系数为：,例10 均匀圆柱体,从静
7、止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系,数为,当摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地向,下滚动, 求此,临界值.,解:,质心运动方程,转动定理,纯滚动条件:,解得:,例11. 一个质量为m 的卫星围绕着质量为M,半径为R,的大星体作半径为 2R的圆周运动.从远处飞来一个,质量为2m, 速度为,的小流星.恰好沿着,卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成,新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化,可以忽略不计, 新星的速度仍沿原来方向.,（1）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.,（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞,给出新星体能否与大星体,M碰撞的判断。,（
8、1）解:,轨道类型与新星,的机械能的正负有关.,如果动能大于势能,新星可以摆脱地球的,吸引,轨道成为非闭合的,如果动能小于于势能,新星不能摆脱地球的,吸引,轨道成为闭合的,即椭圆轨道.可以用新星的机械,能的正负来判断轨道的类型. 偏心率的定义为,为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度.,设碰后新星速度为,碰撞过程动量守恒.,碰前卫星的运动方程为,求得碰前卫星的运动速度:,碰撞过程动量守恒,求得碰后新星的运动速度:,此时的位置相当于在新星运动的近地点.,我们计算新星近地点的机械能,说明新星作椭圆轨道运动.,下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系,新星运动角动量守恒,得到,带入远地点的
9、机械能表达式,此能量应等于新星在近 地点的机械能,解得,经化简得到,偏心率,（2）解：反方向碰撞，设碰后新星体的速度为,碰前卫星的速度:,质量为m,碰前流星的速度:,质量为2m,碰撞过程动量守恒,求得碰后新星的运动速度:,此时的位置相当于在新星运动的远地点.,我们计算新星远地点的机械能,说明新星作椭圆轨道运动.,新星运动角动量守恒,得到,带入近地点的机械能表达式,此能量应等于新星在远 地点的机械能,解得,经化简得到,肯定与大星体相碰。,例12. 半径为R的圆环绕铅垂的直径轴以的角速度旋转,一细杆长为, 其两端约束在圆环上可作无摩擦,的滑动,细杆的位置用OC与铅垂线的夹角表示，C为,细杆的质心试
10、求细杆在圆环上的平衡位置，并分析,平衡的稳定性,解：以圆环为参考系，以细杆,质心位于轴上时作为重力势能,的0点，任意位置时重力势能为,在细杆上任取线元,所受的惯性力（离心力）为,此力作功与路径无关，可用势能减少,量描述设轴上的离心势能为，,处的离心势能,设为,，应有,离心势能为：,系杆总的有效势能,平衡条件：,稳定平衡条件：,非稳定平衡条件：,由,求出三个平衡位置：,为讨论平衡位置的稳定性，计算二阶导数,（）时,当,时，,取极小值，属稳定平衡,当,时，,取极大值，属不稳定平衡,（）时,取极大值，属不稳定平衡,（）当,时,因,，即,，或,所以当,时，,定属于稳定平衡,例13. 水平弹簧振子，弹簧
11、的劲度系数为,，振子的,质量为,，水平阻尼力的大小与振子的运动速度成,正比比例系数为,，求形成低阻尼振动的条件。,解：据牛顿第二定律，得到,或,设特解为,带入（1）式，得到,得到,两个特解,低阻尼（欠阻尼）情况，振子作衰减振荡运动，,e 指数的变量必须是复数。需满足条件,即：,a.低阻尼（欠阻尼）：,b.临界阻尼：,c.高阻尼（过阻尼）：,例14. 两弹性系数都是,的弹簧它们与质量为,两固定端之间的距离为,，等于两弹簧原长的和，,微微波动一下滑块，使其作微小的,振动运动，求振动圆频率。,解：,当位移为,时，滑块受力,滑块运动方程,由于,，对力作近似处理,利用,得到,滑块振动方程变为,振动圆频率为,
