1、2018/4/5,1,第四章解析函数的级数展开及其应用,解析函数的泰勒展开,罗朗级数、解析函数的罗朗展开,幂级数,复数项级数,引言,第四章总结与习题,2018/4/5,2,引 言,本章学习的复级数概念和复级数的性质与我们在微积分中的学习的实级数某些内容基本一致.因此学习本章的时候,我们可以回忆起实级数的内容和研究实级数的方法.,但是也要注意加以区分,尤其是罗朗级数,一定要指出展开的区域,否则没有任何意义！,2018/4/5,3,第一节复数项级数,复数项级数,例1,例2,本节小结,复数列和复数列的极限,教学要求,引言,exe,2018/4/5,4, 理解复数序列收敛的概念 .理解复数级数收敛的概
2、念.,教学要求,教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.,2018/4/5,5,引 言,本节的是对序列和级数概念的回忆与巩固,对本章下面的学习起着承前启后的作用,有必要的可以找回我们学习级数时内容,好好复习一下.,加以比较和思考,复级数与实级数的异同,考虑的方法和思考的思路几乎是一致.,2018/4/5,6,为一复常数.如果对任意的正数 ,使得当 时,有,复数列和复数列的极限,复数列收敛,设an为一复数列,成立,则称a为复数列an当 时的极限,并称复数列an收敛于
3、a.,存在正整数,记作,2018/4/5,7,设复数列 ,则复数列收敛于a 的充要条件为:,定理1,2018/4/5,8,复数项级数,级数,设an为一复数列,其中,称为复数项的无穷级数,简称为复级数或级数.,称为部分和. sn称为部分和数列.,我们看到,当虚部为零时,就是实级数.,2018/4/5,9,sn 收敛,则称无穷级数为收敛的级数,数s 称做级数的和.,若 不存在,则称级数发散.,若级数 对应的部分和数列,于常数s,即,收敛与发散,记作,2018/4/5,10,复数项级数 收敛于s 的充要条件为,定理2,参考证明,2018/4/5,11,复级数 收敛于s 的必要条件为,2.实级数的一些
4、性质可以推广到复级数上来.,1.由此定理知,复级数的收敛问题转化为实级数的收敛问题.,定理3,参考证明,2018/4/5,12,对复级数 ,若 收敛,则称级数绝对收敛,若 发散,而 收敛, 则称级数条件收敛.,绝对收敛、条件收敛,2018/4/5,13,定理4,绝对收敛的复级数必收敛.,成立.,且不等式,参考证明,2018/4/5,14,复级数收敛绝对的充要条件是,推论1,2018/4/5,15,考察级数 的敛散性.,调和级数(发),P级数(收),所以级数发散.,page64,提示:,2018/4/5,16,判别下列级数的收敛情况.,ref:(1)绝对收敛；(2)发散;（3）条件收敛.,pag
5、e64,2018/4/5,17,判别下列级数的收敛情况.,ref：(1)条件收敛,(2)绝对收敛,(3)发散.,2018/4/5,18,第二节幂级数,收敛半径和收敛圆,例2,例3,收敛半径的求法,幂级数的概念,教学要求,例1,本节小结,引言,思考,2018/4/5,19,了解幂级数收敛圆的概念.掌握简单的幂级数收敛半径的求法. 知道幂级数在收敛圆内一些基本性质.,教学要求,教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.,2018/4/5,20,引 言,在级数中,我们知道
6、幂级数是最简单最重要的一类级数.同样,在复级数中也有幂级数,它的形式和结构与我们知道的幂级数一样,只是变量x换成复数z即可.因此级数中的理论类似地可以搬过来直接用.,2018/4/5,21,幂级数的概念,幂级数,称形如,的级数为幂级数.,其一般项为幂函数,其中an , z0 为常数,z为复变数.,(4-2),2018/4/5,22,(1)取定一个z,(4-2)就变成一个复常数项级数.,(4-3),(2)若(4-3)表示的级数收敛,则称幂级数(4-2)在 z1处收敛. z1称为级数(4-2)的一个收敛点.,(3)若(4-3)表示的级数发散,则称幂级数(4-2)在 z1处发散. z1称为级数(4-
7、2)的一个发散点.,(4)所有收敛点的集合D称为一个收敛域.,2018/4/5,23,(5)收敛域非空(z0在D上).,(6)在收敛域上,级数的和确定一个以z为变量的函数,(4-4),称s(z)为级数(4-2)的一个和函数.,(4-5),(7) 若z0=0,级数(4-2)简化为,2018/4/5,24,如果幂级数 收敛,则对于满足|z|z2|的z,级数必发散.,定理1,Abel定理,参考证明,2018/4/5,25,幂级数收敛情况:,(1)除了z=0处收敛,其它点处处发散.,(4-5),(2)对所有z,级数都收敛.,(3)存在R0,级数在|z|R 内发散.,收敛半径收敛圆,2018/4/5,2
8、6,(1)此R0,称为级数(4-5)的收敛半径,以R为半径, 以z0为中心的圆盘称为级数的收敛圆.,(2)幂级数(4-2) 的收敛圆是以z0为中心的圆盘.,(3)在圆周上,敛散性需要具体分析.,z0,C,2018/4/5,27,讨论下级数的收敛范围与和函数.,page87,参考解答,2018/4/5,28,若 的系数满足,1) 当 0 时,2) 当 =0 时,3) 当 =时, R=0.(有一个收敛点),或 ，则,(处处收敛),收敛半径的求法,定理2,参考证明,2018/4/5,29,若,3) 当 =时,R=0 (有一个收敛点),的系数满足,当两个定理都可以用的时候,一般定理3适合系数为幂的形式
9、,定理2适合缺项的情形.,定理3,2018/4/5,30,2) 乘法,别为R1和R2,则当|z|minR1,R2=R时,两级数可以进行下面的运算:,设级数 和 的收敛半径分,1)加(减)法,定理4,幂级数的运算与和函数的性质,2018/4/5,31,定理5,设幂级数 的收敛半径为R,则,(1)它的和函数 在收敛圆|z-z0|R内是解析函数.,(2) f(z)的导数可以通过对其幂函数逐项求导得到.即,(3)f(z)在收敛圆|z-z0|R内可以逐项积分,即,2018/4/5,32,page68,设幂级数,求它们的收敛半径,并讨论它们之间的关系.,参考解答,参考解答,2018/4/5,33,求幂级数
10、 的和函数.,2018/4/5,34,第三节解析函数的泰勒展开式,例2,解析函数在零点的性质,例3,解析函数的泰勒展开定理,教学要求,例1,三角函数与反三角函数,双曲函数与反双曲函数,例4,引言,exe,2018/4/5,35,了解泰勒(Taylor)定理掌握的麦克劳林(Maclaurin)展开式能利用已知函数将一些简单的解析函数 展开为幂级数,教学要求,教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.,2018/4/5,36,引 言,在微积分学中,存在高阶导数的函数常常
11、用多项式去逼近它,如泰勒多项式,迈克劳林多项式.对于解析函数,具有任意阶导数,因此我们可以用泰勒多项式去逼近解析函数.,2018/4/5,37,定理1,在圆盘D内收敛到f(z).,(4-10),(4-10)称为f (z) 在z0处的泰勒展开式,右端的级数称为泰勒级数.,解析函数的泰勒展开定理,2018/4/5,38,D,z0,R,C,任取,如图,C,参考证明,2018/4/5,39,1.泰勒定理告诉我们在解析区域内一点处的展开式为,2.泰勒系数为,3.可以根据泰勒定理直接将解析函数 展开为幂级数,2018/4/5,40,函数 f (z) 在z0处解析的充要条件是,f (z) 在z0处的邻域内有
12、泰勒展开式(4-10).,定理2,2018/4/5,41,将函数f(z)=ez在z=0处展开成泰勒级数.,page94,参考解答,参考解答,2018/4/5,42,求函数f(z)在指定点z=z0处泰勒级数的展开式.,page73,参考解答,参考解答,2018/4/5,43,设f(z)在解析区域D一点z0的值为零,则称z0为解析函数f(z)的零点.若,解析函数在零点的性质,2018/4/5,44,定理3,不恒为零的解析函数f(z)以z0为m级零点的充要条件为,参考解答,2018/4/5,45,考察函数f(z)=z-sinz在z=0的性质.,page73,参考解答,2018/4/5,46,若z0为
13、解析函数f(z)的零点. 且存在,2018/4/5,47,设f(z)在z0处解析,且z0为解析函数f(z)的零点.,page74,一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的！,定理4,参考证明,2018/4/5,48,推论1,设f(z),g(z)在z0处解析,且f(z0)=g(z0)=0,但是,洛必达法则,参考证明,2018/4/5,49,推论2,设f1(z) ,f2(z)在区域D解析,若存在点集,且,则在区域D中有,f1(z) =f2(z).,解析函数的唯一性,参考证明,2018/4/5,50,第四节罗朗级数、解析函数的 罗朗展开式,引言,教学要求,罗朗级数,解析函数的罗朗展开,例2,例1,思考2
14、,思考1,2018/4/5,51,了解罗朗(Laurent)定理.掌握将简单的函数在其孤立奇点附 近展开为罗朗级数的间接方法 .,教学要求,教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.,2018/4/5,52,引 言,在以z0为中心的圆盘内解析的函数f(z)一定可以展开为幂级数 .本节探讨解析区域是圆环 的时候,函数的展开形式罗朗展开式.,2018/4/5,53,称形如,的级数为罗朗(Laurent)级数.,(4-13),罗朗级数,解析部分,罗朗级数,其中z0,an
15、为常数.,2018/4/5,54,(4-14),(4-15),使得(4-14),(4-15)同时收敛的点z1称为为罗朗(Laurent)级数的(4-13)一个收敛点.,收敛点、发散点,只要有一个部分不收敛的点就称为发散点.,2018/4/5,55,1.(4-14)的收敛圆为|z-z0|r；,3.Laurent级数的收敛取决于r,R的大小了，,4.在圆上得具体分析.,即在两个级数的公共部分收敛.(如下页图示),2018/4/5,56,(I)当 rR时,由图(a)知,无公共交点,故没有收敛点；,z,(a),2018/4/5,57,当 rR时,如图(b)知,公共部分为,(II) 如图(b),为阴影圆
16、环,故在圆环内收敛；,z,r,R,(b),公共区域,2018/4/5,58,(III) r=R时,由图(c)知,这时公共部分为圆周,可能 收敛也可能发散.,2018/4/5,59,罗朗 级数(4-13) 在其收敛圆环内的和函数解析,可以逐项求导和逐项积分.,定理1,2018/4/5,60,page77,讨论级数 的收敛集,并求和,函数,其中|a|b| ,a,b为复常数.,参考解答,2018/4/5,61,设f(z)在圆环内解析,那么,其中,C是圆环内的任意一条正向简单闭曲线(如下图),(4-16),(4-17),定理2,罗朗展开定理,2018/4/5,62,C,r,R,2018/4/5,63,
17、(1)在定理2中,(4-16)称为函数f(z)在以z0为中心的圆环r|z-z0|R内的罗朗展开式,右端称为f(z)在圆环内的罗朗级数.,(2)在定理2中,(4-17)称为展开系数,与泰勒级数中的系数不同的是,不能用 代替.(不解析),(4-16),(4-17),2018/4/5,64,(3)直接求系数(4-17)比较困难,常利用已知的函数的展开来求罗朗级数(常用到代换).,(4) 罗朗级数在一个确定的圆环内是唯一的,给定不同的圆环,罗朗级数一般不同.,(4-17),(5) 讲罗朗级数一定要指出圆环,否则无意义.,2018/4/5,65,page78,求函数 在下列指定圆环内的,罗朗级数.,(1) 0|z|1;,(2) 1|z|2;,参考解答,2018/4/5,66,(4) 0|z-1|1;,(3) 1|z-1| ;,(5) 2|z| .,2018/4/5,67,求函数 在1|z|2内的罗朗展开式.,参考解答,参考解答,
