1、数学物理方程,西北工业大学 2012年10月,许和勇,第三章 调和方程,物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象,3-1 方程的建立及其定解条件,调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为,这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即,这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。,(1.1),(1.2),(1.2),(1.1),(1.2),1.方程的导出,数学史上导致调和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力
2、。根据万有引力定律，位于(x0，y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力,其大小等于GM/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中r为两点之间的距离。写为向量形式，即为,除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。,F(x,y,z)称为引力场函数,显然引力场函数是位势函数的梯度,对于以密度(x,y,z)分布在区域上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为,(1.3),通过直接计算可以验证，(x,y,z)在外满足调和方程,还可以进一步验证，若(x,y,z)满足Holder条件，则(x,y,z)在内满足泊松方程,其中E为电场
3、强度矢量，而n为上的单位外法线向量。,divE = 4,另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为(x,y,z)的静电场，在此电场内任取一个封闭曲面包围的区域G ，由静电学知，通过向外的电通量等于G中总电量的4倍，即成立,(1.4),并注意到G的任意性，可得,利用格林公式,调和函数定义：我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。,又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势u=u(x,y,z) ，使,于是得到静电位势u满足以下的泊松方程,u4,特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。,2.定解条件
4、和定解问题,要在空间的某个区域中确定方程(1.1)和(1.2)的解，还必须附加一些定解条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。 与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程(1.1)和(1.2)也可以提出三种类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题。,(1.1),(1.2),(1.5),(1.6),1)第一边值问题(狄利克雷条件)：,2)第二边值问题(诺依曼条件)：,习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某光滑的闭曲面的内部寻找满足边界条件的调和函数。 但在实际运用中，常常会遇到一些无界区
5、域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳定温度场。这种情况下，需要在闭曲面的外部寻找满足边界条件的调和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。 流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界上有,法向无穿透条件,内流问题的求解在边界 内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界 外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。 从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条
6、件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件(速度大小和迎角等)。 （这个问题课本上也有举例）,因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即,泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换u=v+u1把原方程转化为关于v的调和方程。,(1.7),3-2 格林公式及其应用,1.格林（Green）公式,高等数学中的高斯公式如下,在上式中，令 ，于是有,得到格林第一公式：,(2.1),如果作 代换，那么格林第一公式写为：,把(2.1)和(2.2)相减，
7、我们得到格林第二公式,利用上述公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。首先我们导出调和函数的积分表达式。考察函数,此处M0(x0，y0，z0)是区域内的某一个固定点，可以验证， (2.4)表示的函数在除去M0的区域上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三维拉普拉斯方程的基本解。,(2.2),(2.3),(2.4),在公式(2.3)中取u是调和函数，而取v=1/rM0M。由于函数v在区域上存在奇点M0，因此对于区域不能直接运用格林第二公式(2.3)，但如果在区域内除去一个以M0为中心，半径充分小的球K ，则在剩下的区域 K 内就可以运用公式(2.3)了，所以有,在区域 K 内u=0，(1/r
8、)=0，在球面上由于,这里星号代表球面上的平均值。于是公式(2.5)可以化为,(2.5),上式中当0时，就得到了调和函数的基本积分公式,M0在外 M0在上 M0在内,对于泊松方程u=F ，也有类似公式,(2.6),由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。 1）调和函数的一个充要条件设函数u在以曲面为边界的区域内调和，在U上有连续一阶偏导数，则,反之亦然。由此，我们得到诺依曼内问题 有解的必要条件为,满足调和方程,由叠加原理， 是泊松方程u=F 的一个特解。 （与万有引力势函数公式类似）,物理意义：对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上的热流量应该为零。2）球面平均值定理
9、设函数u在以曲面为边界的区域内调和，对于包含在 内的每一个闭球，u在球心处的值等于u在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示可以写为,证：把公式(2.6)运用到球心在M0点，半径为a的球面a上，得到,这里，在球面上,为零,3）极值原理设不恒为常数的函数u在以曲面为境界的区域内调和，它在的内点上的值不可能达到它在上的上界或下界。推论1：调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。推论2：两个调和函数在边界上成立不等式uv，那么在内该不等式同样成立；只有在uv时，不等式中的等号才有成立的可能。,4）第一边值问题解的唯一性和稳定性先考察调和方程的狄利克雷内问题。 定理：调和方程的狄利克雷内问题的解
10、如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件f。 证：假设两个调和函数u1(x,y,z) 和u2(x,y,z) ，它们在有界区域的边界上完全相同，那么它们的差u=u1(x,y,z)-u2(x,y,z)在中也满足调和方程，而在上等于零。按照前面的推论一， u1u2，即狄利克雷内问题的解唯一。其次，假设在边界上给定了两个函数f和f*，而且在上处处成立,设u和u*，分别是调和方程在区域上的以f和f*为边界条件的,狄利克雷内问题的解。那么调和函数u-u*在上取值f-f*。由极值定理的推论1得到,因此，在区域上各点有,（连续依赖性得证）,现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。设u1，u2是狄利克雷外问题的解，令v=u1-u2 ，则调和函数v在边界和无穷远处取值为零。即,此时取一个半径足够大的球面R，让这个球面与边界一起形成封闭的空间 ，利用前面狄利克雷内问题解的唯一性和稳定性证明方法，我们可以得到下面的定理： 定理：调和方程的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件f。,
