1、离散数学,人民邮电出版社,编著：杨炳儒,第1篇 数理逻辑 第2篇 集合论 第3篇 代数结构 第4篇 图论,第1篇 数理逻辑,我们知道，数学家对于逻辑不如逻辑学家对于数学那样关心。数学和逻辑是精确科学的两双眼睛：数学派闭上逻辑眼睛，逻辑派闭上数学眼睛，各自相信一双眼睛能比两双看得更好。奥古斯塔斯.德.摩根,第2篇 集合论,当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候如果能通过连续的不间断的思考活动，把几个定理贯穿起来，悟出它们之间的相互关系，并能同时尽可能多地、明确地想象出其中的几个，那将是很有益的。照这样我们的知识无疑会增加，理解能力会有显著的提高。笛卡尔,第3篇 代数结构,数学的本质就在于一切
2、能证明的都要证明。G. Frege,第4篇 图论,模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有的数学应用之心脏，也处于某些最抽象的纯数学核心之中。R. C. Buck,第1篇 数理逻辑,第1章 命题逻辑 第2章 谓词逻辑命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑的基础部分,第1篇 数理逻辑,第1章 命题逻辑 1.1 命题 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 命题公式的等价、蕴涵 1.5 对偶与范式 1.6 其他联结词 1.7 命题演算推理 1.8 应用 1.9 典型例题解析,第1篇 数理逻辑,第2章 谓词逻辑 2.1 谓词和量词 2.2 谓词公式与翻译 2.3 约束变元与自由变元 2.4 谓词公式的
3、等价、蕴涵 2.5 前缀范式 2.6 谓词演算推理 2.7 应用 2.8 典型例题解析,第1章 命题逻辑,有人问 Sophus Lie，什么是数学家所特有的天赋，他回答说是下面这个四元组：想象力，干劲，自信心和自我批评。 A德摩根,第1章 命题逻辑,本章的主要内容:简单命题，命题联结词，复合命题。复合命题的真假值问题，对偶定理，主析取范式，主合取范式。命题逻辑的三类推理方法：真值表法、直接证法和间接证法。,逻辑学主要分为：辩证逻辑、形式逻辑和数理逻辑数理逻辑：用数学的方法来研究推理规律的学科。 学科形式：引进一套符号系统来描述和处理思维的形式及其规律性； 总之：数理逻辑：用形式符号语言的方法来
4、研究逻辑问题的一门学科,1.1 命题,1.1.1 命题的概念一个命题，是具有真假意义的陈述句。 命题具有一个确定的值，称为真值 ：判断的结果。真值：“真”和“假”，记为 True（真）和 False（假），用符号 T 和 F 表示。 注意：不能作为命题的句子：一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子。如感叹句，疑问句，祈使句，陈述句中的悖论等。,不是命题的例句： 该吃早饭了！ 多漂亮的花呀！ 明天你有什么安排吗？ 我正在说谎。 x y2。(1), (2), (3)这些句子都无所谓是非，(4)无法判定其真假值（语义上的悖论 ）， (5)中的x, y的值不确定 。,命题的例句： 6. 不在同一直线
5、上的三点确定一个平面。 7. 郑州是河南省的省会。 8. 今年的冬天将是一个暖冬。 9. 这碗汤味太淡了。 10. 1011100010011。 (6), (7)的真值为T，(8)的真值虽然目前无法确定，但它是有真假可言的， (9) 的真假取决于说话人的主观判断（即可以认为此语句是“我认为这碗汤味太淡了”的缩写）。(10)也是命题。,1.1.2 命题的分类,命题有两种类型：1. 原子命题: 不能分解为更简单的陈述语句的命题；2. 复合命题: 由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。 例如：玫瑰是红的并且紫罗兰是蓝的。如果明天是个好天气，那么我们就去野炊。(如果那么 ),命题的表示:使用大写
6、字母 A, B, ,P, Q, 或用带下标的大写字母或用数字，如，Ai, 12等P：今天下雨。 12：今天下雨命题标识符: 表示命题的符号称为，P和12就是命题标识符。 命题常量：一个命题标识符如果表示确定的命题。 命题变元：如果一个命题标识符只表示任意命题的位置标志。 原子变元：当命题变元表示原子命题时。,1.2 联结词,在自然语言中，常常使用的联结词有:“如果那么”、“不”、“并且”、“或者”、“当且仅当”。 1.2.1 否定联结词 定义1.1 与命题P的真值相反的命题称为P的否定命题，记作P，读作“非P”。 【例1.1】P：这是一个三角形P：这不是一个三角形。 【例1.2】P：雪是白色的
7、 P：雪不是白色的,1.2.2 合取联结词 定义1.2 只有命题P与命题Q的真值均为T时其真值才为T的命题，称为命题P与命题Q的合取命题，记作PQ，读作“P与Q”。 在自然语言中，还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既又”、“不但而且”等多种方式表达合取。,【例1.3】设各命题变元为：P：今天打雷Q：今天下雨则PQ：今天打雷且下雨。 【例1.4】设各命题变元为：P：小李在看书Q：小李在听音乐则PQ：小李一边在看书，一边在听音乐。,1.2.3 析取联结词 定义1.3 只有当命题 P 和命题 Q 的真值同时为 F 时，其真值才为 F 的命题称为命题 P 和命题 Q 的析取命题，记作 PQ，读作“
8、P或Q”。,【例1.5】晚上我们去教室学习或去电影院看电影。(是“排斥或” ) 【例1.6】他可能数学考了100分或英语考了100分。(“可兼或” ) 【例1.7】刘静今天跑了200米或300米远。 (大概路程 ,不是命题联结词 ),【例1.8】设各命题变元为：P：今天打雷Q：今天打闪则PQ：今天打雷或今天打闪。 【例1.9】设各命题变元为：P：今天是星期一Q：今天天气很好则PQ：今天是星期一或天气很好。,1.2.4 条件联结词 定义1.4 只有当命题 P 的真值为 T 且 Q 的真值为 F 时，其真值才为 F 的命题称为命题 P 和命题 Q 的条件命题。记为 P Q，读作 “若P则Q”。称
9、P 为前件或者前提，Q 为后件或者结论。,对于“若则”在日常语言中有多种表达方式，诸如“只要就”，“当则”，“若那么”，“必须以便”等。,【例1.10】甲对乙说：“如果今晚我们班上不开会，则我就和你一起去玩。”请问：在什么情形下，乙认为甲的这句话是假？如果班上没有开会(T)，甲与乙一起去玩(T)，则自然认为甲说的话为真(T)； 如果班上开会了(F)，甲没有与乙一起去玩(F)，则没有理由认为甲的话为假(T)； 如果班上没有开会(T)，甲没有与乙一起去玩(F)，则显然认为甲的话为假(F)； 如果班上开会了(F)，但甲未参加而与乙一起去玩了(T)，则也不能认为甲的话为假(T)。,【例1.11】设各命
10、题变元为：P：明天天气晴朗Q：我们就去郊游则 P Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游。 【例1.12】设各命题变元为：P：x 4Q：x2 16则 P Q：如果x 4，则x2 16。,注： 命题 “PQ” 也可读作 “P蕴涵Q”，条件联结词又可称为“蕴涵联结词”。条件命题的真值表不太符合自然语言中的习惯，这一点请读者务必注意。给定命题公式 PQ，命题公式 QP 称为 PQ 的逆换式；PQ 称为 PQ 的反换式；QP 称为它的逆反式。逆换式类似于中学数学里所学的命题的逆命题；反换式类似于否命题；逆反式类似于逆否命题。,1.2.5 双条件联结词 定义1.5 只有当命题 P 和命题 Q 的真值同时为
11、T 或同时为 F 时其真值方为 T 的命题称为命题 P 与 Q 的双重条件命题，记作 P Q，读作 “P当且仅当Q”。,“ P 当且仅当 Q ” 的含义与 “若 P 则 Q，并且若 Q 则 P ”的含义相同，同时其含义与数学上“ P 是 Q 的充要条件”的含义也一致。,【例1.13】设各命题变元为：P：四边形ABCD是平行四边形Q：四边形ABCD的对边平行则 P Q：四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行。 【例1.14】设各命题变元为：P：53Q：5 30则 P Q：3当且仅当5 30。 与联结词“”、“”、“”一样，双重条件命题 “P Q” 的构成也不要求命题 P 和命题 Q 之间存在任何联系，它的真值仅仅与 P 和 Q 的真值有关。,
