橡胶材料的本构模型.pdf

1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/第 2 期橡 胶 材 料 的 本 构 模 型朱 艳 峰 1 ,刘 锋 1 ,黄 小 清 2 ,李 丽 娟 1(11 广 东 工 业 大 学 工 程 力 学 研 究 所 ,广 东 广 州 510640 ;21 华 南 理 工 大 学 交 通 学 院 ,广 东 广 州 510640)摘 要 :介 绍 基 于 不 同 理 论 的 橡 胶 材 料 本 构 模 型 。 橡 胶 材 料 的 本 构 模 型 众 多 ,分 子 统

2、计 学 本 构 模 型 、 变 形 张 量 不 变量 本 构 模 型 和 主 伸 长 本 构 模 型 与 橡 胶 材 料 当 前 的 应 变 状 态 有 关 ,与 应 变 过 程 无 关 ,建 模 时 只 考 虑 弹 性 效 应 ;热 2粘 弹 性本 构 模 型 适 用 于 添 加 各 种 配 合 剂 的 橡 胶 材 料 。关 键 词 :橡 胶 ;本 构 模 型 ;分 子 统 计 学 ;变 形 张 量 不 变 量 ;主 伸 长 ;热 2粘 弹 性 ;应 变 能 函 数中 图 分 类 号 : TQ332 ;O345 文 献 标 识 码 :B 文 章 编 号 :10002890X(2006) 02

3、20119207橡 胶 材 料 为 超 弹 性 材 料 ,反 映 其 应 力 2应 变 关系 的 模 型 称 为 本 构 模 型 。橡 胶 材 料 的 力 学 性 能 随 时 间 延 长 而 不 断 变化 ,同 时 对 环 境 条 件 、 应 变 历 程 、 加 载 速 率 和 应 变率 十 分 敏 感 。 在 大 应 变 下 ,很 多 橡 胶 材 料 还 出 现应 力 加 速 增 大 (硬 化 )或 应 力 加 速 减 小 (软 化 )的 现象 ,因 此 建 立 橡 胶 材 料 的 本 构 模 型 时 必 须 同 时 考虑 橡 胶 材 料 的 非 线 性 和 几 何 非 线 性 。19 世

4、纪 以 来 ,橡 胶 材 料 本 构 关 系 的 研 究 不 断发 展 ,建 立 了 众 多 基 于 不 同 理 论 的 本 构 模 型 1 。现 将 这 些 本 构 模 型 简 介 如 下 。1 基 本 概 念对 于 各 向 同 性 材 料 ,假 设 I1 , I2 和 I3 分 别 为右 Cauchy2Green 变 形 张 量 C 的 第 一 、 第 二 、 第 三基 本 不 变 量 ,对 于 初 始 无 应 力 构 形 的 超 弹 性 材 料 ,应 变 能 函 数 W 可 表 示 为 :W = W ( I1 , I2 , I3 ) (1)I1 = tr C = C I = Cii (2

5、)I2 = 12 (tr C) 2 - tr ( C2 ) = 12 ( I12 - Cij Cji ) i , j = 1 ,2 ,3 (3)I3 = det C (4)基 金 项 目 : 广 东 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 ( 20010025 ,032487) ;广 州 市 科 技 攻 关 项 目 (2005Z32D 0201)作 者 简 介 :朱 艳 峰 (19682) ,女 ,山 西 五 台 人 ,广 东 工 业 大 学 讲师 ,硕 士 ,从 事 材 料 大 变 形 的 研 究 。C = FT F (5)C = 5 x/ 5 X (6)J = det F (7)式 中

6、 , I 为 二 阶 张 量 不 变 量 , F为 变 形 梯 度 , x 和 X分 别 为 同 一 点 在 变 形 前 后 的 坐 标 , J 为 变 形 后 与变 形 前 的 体 积 比 。2 分 子 统 计 学 本 构 模 型橡 胶 分 子 链 由 许 多 链 节 组 成 ,其 间 多 通 过 链节 节 点 处 化 学 交 联 而 形 成 交 联 网 络 结 构 。 链 节 一端 节 点 到 另 一 端 节 点 的 距 离 向 量 称 为 末 端 距 向量 。 从 分 子 或 原 子 运 动 原 理 出 发 ,采 用 统 计 法 ,通过 对 长 链 分 子 弹 性 性 质 的 研 究 ,

7、可 确 定 橡 胶 的 宏观 本 构 关 系 。 该 法 的 假 设 条 件 为 2 :(1)分 子 链 由 相 同 的 链 节 连 接 组 成 ,链 节 之 间的 键 角 可 以 任 意 变 化 而 不 受 限 制 。(2)交 联 点 在 其 平 均 位 置 附 近 的 统 计 涨 落 运动 可 以 忽 略 不 计 。(3)链 节 末 端 距 向 量 的 变 形 与 宏 观 橡 胶 材 料的 变 形 一 致 ,即 服 从 仿 射 变 换 规 律 。(4)在 计 算 交 联 网 络 的 应 变 储 能 时 ,可 以 不 考虑 分 子 间 的 相 互 作 用 能 。(5)在 橡 胶 材 料 变

8、形 过 程 中 ,熵 是 每 一 个 长 链分 子 熵 的 总 和 。 橡 胶 材 料 的 弹 性 应 变 能 是 每 一 个长 链 分 子 弹 性 应 变 能 的 总 和 。由 于 组 成 原 子 的 微 布 朗 运 动 ,橡 胶 长 链 分 子可 能 有 许 多 不 同 的 构 象 。 当 没 有 外 力 作 用 时 ,分子 链 的 卷 曲 构 象 熵 通 常 趋 于 最 大 值 。 当 有 外 力 作911朱 艳 峰 等 1 橡 胶 材 料 的 本 构 模 型 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. Al

9、l rights reserved. http:/用 时 ,分 子 链 的 构 象 改 变 ,构 象 熵 也 发 生 变 化 。 若分 子 链 由 n 个 长 为 l 的 链 节 组 成 ,链 节 末 端 距 向量 为 r0 ,如 果 r0 = | r0 | n nl , 则 可 采 用 Gauss 统计 理 论 ,建 立 材 料 本 构 模 型 。211 Neo2Hookean 模 型Neo2Hookean 模 型 是 最 常 用 的 橡 胶 材 料 分子 统 计 学 本 构 模 型 。 可 压 缩 橡 胶 材 料 的 Neo2Hookean 模 型 3 为 :W ( C) = 12 (ln

10、J ) 2 - lnJ + 12 ( I1 - 3) (8)变 形 时 ,多 数 橡 胶 材 料 可 看 成 是 不 可 压 缩 的 ,此 时 J = 1 ,不 可 压 缩 橡 胶 材 料 的 Neo2Hookean模 型 为 :W ( C) = 12 ( I1 - 3) (9)式 中 , 为 材 料 的 应 力 量 纲 常 数 , = k T , 为 链密 度 , k 为 Boltzmann 常 数 , T 为 绝 对 温 度 。 大 变形 即 r0nl 014 时 ,橡 胶 材 料 呈 非 Gauss 性 质 。 试验 发 现 ,Neo2Hookean 模 型 预 测 的 应 变 能 值

11、与 实测 值 吻 合 差 。212 Kuhn2Grun 模 型引 入 Langevin 函 数 L ( x) :L ( x) = cot h ( x) - 1x = r0nl (10)的 逆 ,建 立 的 Kuhn2Grun 模 型 1 为 :f = k Tl ( r0nl) L - 1 ( x) = k Tl (n) L - 1 ( x) (11)式 中 , f 为 非 Gauss 拉 力 , 为 主 伸 长 。 在 此 基 础上 ,Wang M J 等 提 出 3 链 模 型 ,Flory P J 等 提 出4 链 模 型 ,Arruda E M 等 提 出 8 链 模 型 , Trelo

12、arL R G等 提 出 全 链 模 型 1 ,4 。213 Arruda2Boyce 应 变 能 函 数通 过 模 拟 单 轴 拉 伸 试 验 ,建 立 的 Arruda2Boyce 应 变 能 函 数 (适 用 于 全 应 变 范 围 以 及 大应 变 时 硬 化 的 条 件 ,但 不 适 用 于 双 轴 拉 伸 试验 ) 4 为 :W = nk T 12 ( I1 - 3) + 120 N ( I12 - 9) + 111 050 N2 ( I13 - 27) + 197 000 N3 ( I14 - 81) +519673 750 N4 ( I15 - 243) + (12)式 中 ,

13、 N 为 单 位 体 积 内 总 链 数 。 式 (12) 也 可 以 表示 为 :W = ni = 1 i ( I1i - 3i ) (13)式 中 i 为 材 料 常 数 。Arruda2Boyce 应 变 能 函 数 复 杂 ,应 用 不 广 泛 。214 Gent 应 变 能 函 数Gent 应 变 能 函 数 5 为 :W = - 2 J m ln (1 - I1 - 3Jm) (14)式 中 ,J m是 I1 - 3 的 极 限 值 。 J m 时 ,式 (14)与 Neo2Hookean 模 型 式 (9) 相 同 。 对 承 受 内 压的 薄 壁 球 体 、 带 空 洞 的 橡

14、 胶 块 及 薄 壁 圆 柱 管 的 验算 表 明 , Gent 应 变 能 函 数 能 拟 合 不 可 压 缩 橡 胶 材料 在 大 应 变 时 硬 化 的 应 变 能 ,拟 合 过 程 较 Arru2da2Boyce 应 变 能 函 数 简 单 得 多 ,但 不 适 合 小 和 中等 应 变 条 件 。由 于 橡 胶 分 子 潜 在 非 Gauss 性 质 ,因 此 可 用Arruda2Boyce 和 Gent 应 变 能 函 数 表 征 橡 胶 分 子交 联 网 络 结 构 变 形 的 物 理 性 质 。215 Pucci2Saccomandi 应 变 能 函 数通 过 对 Gent 应

15、 变 能 函 数 进 行 修 正 建 立 的Pucci2Saccomandi 应 变 能 函 数 6 为 :W ( I1 , I2 ) = - 12 J mln (1 - I1 - 3Jm) + 2 ln ( I23 ) (15)式 中 , 1 和 2 为 材 料 常 数 。式 (15)更 适 用 于 拟 合 单 轴 拉 伸 试 验 条 件 下 的应 变 能 。216 Takamiza wa2Hayashi 应 变 能 函 数根 据 动 脉 力 学 建 立 的 Takamizawa2Hayashi应 变 能 函 数 7 为 :W = - ln (1 - Q) (16)Q = 12 c1 E 2

16、 + 12 c2 E 2 + c3 E Ezz (17)式 中 ,c1 ,c2 和 c3 为 材 料 的 无 量 纲 常 数 ,材 料 各 向同 性 时 ,c1 = c2 = c3 = ( J m2 / 8) - 1 , E 和 Ezz 分 别 为Lagrangian 或 Green 变 形 张 量 E 在 环 向 和 轴 向上 的 分 量 。E = 12 ( C - I) (18)021 橡 胶 工 业 2006 年 第 53 卷 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved

17、. http:/第 2 期需 要 注 意 的 是 ,对 于 式 (16)表 征 的 材 料 ,当 应变 能 增 大 时 ,Q 值 趋 于 不 变 。3 变 形 张 量 不 变 量 本 构 模 型3. 1 Mooney2Rivlin 模 型Mooney M J 8 通 过 物 质 相 变 理 论 和 大 量 试验 ,探 讨 了 不 可 压 缩 各 向 同 性 超 弹 性 材 料 有 限 变形 弹 性 理 论 , 假 设 单 位 体 积 的 储 能 函 数 是 右Cauchy2Green 变 形 张 量 的 第 一 和 第 二 基 本 不 变量 函 数 ,建 立 的 橡 胶 材 料 应 变 能 函

18、 数 为 :W = W ( I1 , I2 ) = 10 ( I1 - 3) + 01 ( I2 - 3)(19)式 中 , 10和 01为 材 料 常 数 。Rivlin R S9 认 为 橡 胶 各 向 同 性 ,且 拉 压 性 质相 同 ,将 应 变 能 函 数 改 成 级 数 形 式 :W ( C) = r, s = 0 rs ( I1 - 3) r ( I2 - 3) s (20)当 材 料 变 形 不 大 时 ,只 取 两 项 ( r = 0 , s = 1 ;r= 1 ,s = 0) ,式 (20) 同 式 (19) ;当 只 取 一 项 ( r = 1 ,s = 0)时 ,式

19、(20)同 Neo2Hookean 模 型 式 (9) 。Mooney2Rivlin 模 型 可 以 较 好 拟 合 不 可 压 缩橡 胶 材 料 中 等 应 变 范 围 的 应 变 能 。式 (19)和 (20) 的 计 算 简 单 ,但 两 式 均 不 能 很好 地 说 明 Treloar 试 验 结 果 (1944 年 ) 10 ,且 不 适合 于 压 缩 及 大 应 变 时 硬 化 的 材 料 ,因 此 建 议 将式 (20) 的 第 2 项 改 为 以 ( I2 - 3) 为 变 元 的 函 数f ( I2 - 3) 。3. 2 改 进 Mooney2Rivlin 模 型Tschoe

20、gl N W11 认 为 含 高 阶 项 的 Mooney2Rivlin 模 型 能 更 好 地 适 应 填 充 与 非 填 充 橡 胶 材料 。 改 进 Mooney2Rivlin 模 型 的 三 项 式 为 :W = 10 ( I1 - 3) + 01 ( I2 - 3) + 11 ( I1 - 3) ( I2 - 3) (21)Signiorini 形 式 :W = 10 ( I1 - 3) + 01 ( I2 - 3) + 20 ( I1 - 3) 2 (22)三 阶 变 形 张 量 不 变 量 形 式 :W = 10 ( I1 - 3) + 01 ( I2 - 3) + 11 ( I

21、1 - 3) ( I2 - 3) + 20 ( I1 - 3) 2 (23)J ames2Green2Simp son 形 式 :W = 10 ( I1 - 3) + 01 ( I2 - 3) + 11 ( I1 - 3) ( I2 - 3) + 20 ( I1 - 3)2 + 30 ( I1 - 3)3 (24)3. 3 Blatz2Ko 应 变 能 函 数Blatz P J 等 12 为 克 服 橡 胶 材 料 大 变 形 时 非线 性 数 值 模 拟 中 出 现 的 体 积 闭 锁 现 象 以 及 橡 胶 材料 不 可 压 缩 假 设 带 来 的 本 构 约 束 ,探 讨 了 建 立 可

22、压 缩 橡 胶 材 料 本 构 关 系 的 方 法 ,提 出 了 针 对 几 乎不 可 压 缩 橡 胶 材 料 的 本 构 关 系 。 考 虑 到 体 积 应变 对 橡 胶 材 料 的 影 响 ,在 应 变 能 函 数 中 增 加 了变 形 张 量 的 第 三 基 本 不 变 量 ,建 立 的 应 变 能 函数 为 :W = avw ( I1 - 3) a ( I2I3- 3) v ( I3 - 1) w (25)式 中 , avw 是 材 料 常 数 , 000 = 0。试 验 得 出 ,对 于 实 体 和 泡 沫 橡 胶 材 料 ,式 (25)的 应 变 能 计 算 值 与 实 测 值 吻

23、 合 很 好 。3. 4 Knowles 应 变 能 函 数Knowles J K 13 提 出 的 幂 律 型 应 变 能 函数 为 :W = 2c1 + cf ( I1 - 3) f - 1 (26)式 中 ,c 和 f 为 材 料 的 无 量 纲 常 数 。 当 f 时 ,式 (26)变 为 :W = 2cexp c( I1 - 3) - 1 (27)该 函 数 与 Fung Y C B14 提 出 的 生 物 类 材 料的 本 构 模 型 相 同 ,当 c 0 时 ,与 Neo2Hookean 模型 式 (9) 相 同 。 Knowles J K 利 用 此 模 型 对 无限 长 半

24、平 面 体 的 , 和 型 裂 纹 尖 端 应 力 场 进行 了 分 析 。3. 5 Ogden 应 变 能 函 数Ogden R W15 17 建 立 了 能 准 确 反 映 橡 胶 材料 在 有 限 变 形 下 的 应 变 能 函 数 ,该 函 数 与 Treloar试 验 结 果 (1944 年 )吻 合 。W ( I1 , I2 , I3 ) = p, q, r=0 pqr ( I1 - 3) p ( I2 - 3) q ( I3 - 1) rp ,q ,r = 0 ,1 ,2 , (28)式 中 , pqr是 与 变 形 无 关 的 材 料 常 数 。对 于 不 可 压 缩 橡 胶

25、材 料 , I3 = 1 ,得 :W ( I1 , I2 ) = p, q=0 pq ( I1 - 3) p ( I2 - 3) q (29)式 中 , 00 = 0。 当 取 p = 1 , q = 0 和 p = 0 , q = 1 两项 时 ,该 应 变 能 函 数 与 Mooney2Rivlin 模 型 式(19) 相 同 。121朱 艳 峰 等 1 橡 胶 材 料 的 本 构 模 型 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/3. 6 Hart2Sm

26、ith 应 变 能 函 数Hart2Smith 应 变 能 函 数 18 为 :W = W 1 ( I1 ) + W 2 ( I2 ) (30)W 1 ( I1 ) = 1 exp B ( I1 - 3) 2 (31)W 2 ( I2 ) = 2I2(32)式 中 , 1 , 2 和 B 为 材 料 常 数 。式 (30)的 应 变 能 计 算 值 与 Treloar 的 平 面 圆橡 胶 膜 膨 胀 试 验 结 果 非 常 吻 合 ;式 (31) 为 指 数 形式 函 数 ,适 应 的 应 变 范 围 宽 ;式 (32) 能 很 好 拟 合SR 膜 片 单 轴 拉 伸 和 双 轴 拉 伸 试

27、 验 结 果 。3. 7 Murnaghan 应 变 能 函 数Murnaghan F D19 引 进 3 个 独 立 的 变 形 张 量不 变 量 函 数 :A1 = I1 - 3 (33)A2 = I2 - 2 I1 + 3 (34)A3 = I3 - I2 + I1 - 1 (35)式 中 ,A1 , A2 和 A3 分 别 为 应 变 的 一 、 二 、 三阶 函 数 。 为 了 使 零 应 力 状 态 与 零 应 变 状 态 对 应 ,略 去 A1 的 线 性 项 ,将 应 变 能 看 成 是 A1 的 函 数 ,并 按 A1 幂 级 数 展 开 ,保 留 至 三 阶 项 ,可 得

28、:W = 1 A2 + 2 A12 + 3 A1 A2 + 4 A13 + 5 A3(36)式 中 , i ( i = 1 ,2 ,3 ,4 ,5) 是 材 料 常 数 , 1 和 2 由材 料 的 一 级 响 应 决 定 , 3 , 4 和 5 可 用 来 拟 合 大变 形 数 据 。 1 = - G2 (37) 2 = G 1 -4 (1 - 2 ) (38)式 中 , G为 剪 切 模 量 , 为 泊 松 比 。3. 8 Simo2Pister 应 变 能 函 数Simo J C 等 20 用 小 变 形 线 性 弹 性 本 构 关 系中 的 Lame 系 数 0 和 初 始 剪 切 模

29、 量 G0 来 表 征 应变 能 函 数 W 。 如 果 W 仅 是 I1 和 J 的 函 数 ,则 :W = 1 12 G0 ( I1 - 3) + 0 U ( J) - G0 lnJ (39)U ( J)可 表 示 为 :U ( J ) = 12 (lnJ ) 2 (40)式 中 ,J = 1 时 ,dU/ dJ = 0 ,d2 U/ dJ 2 = 1。3. 9 高 玉 臣 应 变 能 函 数高 玉 臣 21 先 建 立 的 应 变 能 函 数 为 :W = 1 ( I13I3 )h +2 ( I3 - 1)2 m I3- u (41)式 中 , 1 , 2 , h , m 和 u 为 材

30、 料 常 数 (正 值 , m 为 正整 数 ) 。其 后 ,他 提 出 简 化 应 变 能 函 数 :W = 1 I1h + ( I2I3) h (42)再 后 ,他 又 引 入 3 个 变 形 张 量 不 变 量 函 数 22 :R = I1K1/ 3 (43)S = I2K2/ 3 (44)V = K (45)式 中 , R 和 S 为 纯 变 形 函 数 ,V 为 体 积 变 化 函 数 。K = 16 ( I13 - 3 I1 I2 + 2 I3 ) (46)W = 1 ( Rh - 3h) + 2 (V - 1) m V - u (47)式 (47)的 优 点 在 各 项 均 有

31、明 确 的 物 理 意 义 , 1 ( Rh - 3h)和 2 (V - 1) m V - u分 别 为 偏 应 力 和 静应 力 ,根 据 这 两 个 应 力 产 生 的 内 在 原 因 ,可 在 试 验中 确 定 材 料 常 数 。 该 应 变 能 函 数 可 以 描 述 小 应 变和 有 限 应 变 条 件 下 的 橡 胶 材 料 的 力 学 行 为 。3. 10 Yeoh 应 变 能 函 数Yeoh 应 变 能 函 数 23 为 :W ( I1 , I2 ) = 10 ( I1 - 3) + 20 ( I2 - 3) 2 + 30 ( I1 - 3) 3 (48)式 中 , 10 ,

32、20和 30为 材 料 常 数 。由 于 加 入 了 I1 的 高 阶 项 ,在 大 应 变 条 件 下 ,式 (48)计 算 出 的 应 变 能 与 试 验 结 果 吻 合 较 好 。 单轴 拉 伸 试 验 确 定 的 材 料 常 数 适 用 于 多 种 变 形 形式 ,因 此 进 行 单 轴 拉 伸 试 验 可 减 少 材 料 试 验 次 数 。当 变 形 较 小 时 ,应 慎 用 式 (48) 。3. 11 其 它 应 变 能 函 数Treloar L R G等 2 建 议 应 变 能 函 数 表 示 为 :W = 1 ( I1 - 3) + f ( I3 ) (49)f ( I3 )

33、= 1 (1 - 2 ) ( I3 - / (1 - 2 ) - 1 (50)式 中 , 为 材 料 常 数 ,相 当 于 泊 松 比 。221 橡 胶 工 业 2006 年 第 53 卷 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/第 2 期4 主 伸 长 本 构 模 型4. 1 Valanis2Landel 应 变 能 函 数各 向 同 性 超 弹 性 体 应 变 能 函 数 可 用 主 伸 长 i( i = 1 ,2 ,3)表 征 ,其 具 有 如 下 的

34、 对 称 性 24 :W ( I1 , I2 , I3 ) = W ( 1 , 2 , 3 ) = W ( 1 , 3 , 2 ) =W ( 3 , 1 , 2 ) (51)以 主 伸 长 表 征 的 Valanis2Landel 应 变 能 函数 24 为 :W = 3i = 1W ( i ) (52)经 试 验 ,进 一 步 得 出 :W = 2 G 3i = 1 i (ln i - 1) (53)该 式 的 适 用 条 件 为 016 i 215。412 Peng2Landel 应 变 能 函 数以 Valanis2Landel 理 论 为 基 础 建 立 的 Peng2Landel 应

35、 变 能 截 断 函 数 25 为 :W = 3i = 1 i - 1 - ln i - 16 (ln i ) 2 +118 (ln i )3 - 1216 (ln i )4 (54)与 双 轴 试 验 数 据 比 较 得 出 ,式 (54) 的 适 用 条件 为 1 i 215。413 Ogden 应 变 能 函 数Ogden R W15 为 克 服 采 用 变 形 张 量 不 变 量导 致 的 关 系 式 复 杂 ,提 出 以 主 伸 长 来 表 征 应 变 能函 数 (不 作 应 变 能 函 数 是 主 伸 长 偶 函 数 的 假 设 ) :W ( ) = i = 1 i i ( 1 i

36、 +2 i +3 i - 3) (55)式 中 , i 和 i为 材 料 常 数 , i可 取 任 何 实 数 值 。 为与 经 典 的 弹 性 理 论 一 致 , i i i = 2 G0 。 当 i = 1 , 1 = 2 时 ,式 (55)与 Neo2Hookean 模 型 式 (9) 相同 ;当 i = 1 和 2 , 1 = 2 和 2 = - 2 时 ,式 (55) 与Mooney2Rivlin 模 型 式 (19) 相 同 。414 Carroll 应 变 能 函 数Carroll 应 变 能 函 数 26 以 主 伸 长 来 直 接 表 征橡 胶 材 料 极 限 伸 长 时 的

37、 应 变 能 函 数 ,可 用 于 拟 合大 应 变 时 硬 化 橡 胶 材 料 的 应 变 能 。W ( 1 , 2 , 3 , ) = W ( 1 , 2 , 3 ) + H ( ) (56) = ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) (57)式 中 , W 为 根 应 变 能 , 3 为 最 大 主 伸 长 , H ( ) 为与 3 有 关 的 函 数 。lim W ( 1 , 2 , 3 , ) = W ( 1 , 2 , 3 ) (58)即 为 无 穷 大 时 ,式 ( 56) 又 为 传 统 应 变 能 函 数形 式 。415 改 进 Carroll 应 变

38、能 函 数Horgan C O 等 26 以 Carroll 应 变 能 函 数 为基 础 ,提 出 :H ( ) = (59)式 中 , 为 材 料 常 数 。在 单 轴 拉 伸 、 双 轴 拉 伸 和 纯 剪 切 条 件 下 , 根应 变 能 采 用 Neo2Hookean 模 型 或 Varga 应 变 能函 数 2 计 算 ,所 得 的 应 变 能 值 与 Treloar 试 验 结果 (1944 年 )吻 合 。416 其 它 应 变 能 函 数对 于 可 压 缩 橡 胶 材 料 ,还 可 用 修 正 主 伸 长 i作 自 变 量 推 导 应 变 能 函 数 : i = i J -

39、1/ 3 i = 1 ,2 ,3 (60)单 轴 拉 伸 试 验 结 果 表 明 ,由 1 , 2 和 3 对 应的 畸 变 应 变 能 与 由 J 对 应 的 体 积 变 化 应 变 能 相互 耦 合 。另 外 有 几 种 类 型 的 应 变 能 函 数 实 际 都 是 下 式的 特 殊 情 形 2 : 0 W ( 1 , 2 , 3 , J) = 0 W ( 1 , 2 , 3 ) + Ni = 1x i ( 1 , 2 , 3 ) hi ( J) + g ( J ) (61)式 中 , hi ( J)和 g( J)是 与 体 积 变 化 相 关 的 函 数 。5 热 2粘 弹 性 本 构

40、 模 型511 大 变 形 模 型以 上 本 构 模 型 均 未 考 虑 橡 胶 材 料 的 热 2粘 弹性 能 。 Reese S 等 27 根 据 橡 胶 材 料 大 变 形 时 的热 2粘 弹 性 ,建 立 了 大 变 形 的 热 2粘 弹 性 本 构 理 论(包 括 全 部 的 热 力 学 范 畴 耦 合 ) ,其 模 型 基 于 将Helmholt h 自 由 能 ( ) 分 为 平 衡 ( EQ ) 自 由 能( EQ )与 非 平 衡 (N EQ) 自 由 能 ( NEQ ) 两 部 分 ,平衡 自 由 能 与 时 间 无 关 ,非 平 衡 自 由 能 反 映 时 效 和粘 性

41、影 响 。 = EQ + NEQ (62) EQ = ( e0 ) EQ (1 - TT0) + f EQ ( 0 ) EQ + ct ( T)(63)321朱 艳 峰 等 1 橡 胶 材 料 的 本 构 模 型 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/ NEQ = ( e0 ) NEQ (1 - TT0) + f NEQ ( 0 ) NEQ (64)f EQ = TT0+ gEQ - gEQ ( T0 ) + 5 gEQ5 TT0( T0 - T)(65)

42、f NEQ = TT0+ gNEQ - gNEQ ( T0 ) + 5 gNEQ5 TT0( T0 - T)(66)t = t ( T) = T - T0 - Tln TT0(67)式 中 ,e0为 单 位 体 积 的 内 能 , T0为 初 始 绝 对 温 度 , 0 为 初 始 自 由 能 , c 为 热 容 量 , f 和 g 为 无 量 纲函 数 。512 非 线 性 模 型Horgan C O 等 28 考 虑 到 橡 胶 材 料 的 热 2粘弹 性 ,利 用 改 进 的 Rivlin2Signorini 模 型 ,用 有 理函 数 建 立 了 橡 胶 材 料 极 限 伸 长 时 的

43、 非 线 性 热 2粘弹 性 本 构 模 型 ,并 研 究 了 非 均 匀 变 形 问 题 。 不 可压 缩 各 向 同 性 热 2粘 弹 性 橡 胶 材 料 极 限 伸 长 时 的Gent 热 2粘 弹 性 模 型 为 : = - Gs2 TT0 m 1 + b( T - T0T0) ln1 -I1 - 3 m 1 + b( T - T0 ) / T0 + d ( T - T0 - Tln TT0) (68)式 中 , Gs 为 等 温 无 穷 小 剪 切 模 量 , m 为 等 温 平 均最 大 伸 长 , d 为 材 料 常 数 , b 为 最 大 伸 长 与 温 度 的相 关 因 数

44、。目 前 ,采 用 热 力 学 耦 合 机 理 建 立 的 大 变 形 热 2粘 弹 性 模 型 ,如 Miehe 模 型 29 和 Holzapfel2Simo模 型 30 等 研 究 橡 胶 材 料 的 粘 性 只 能 采 用 线 性 微分 法 。6 结 论(1)分 子 统 计 学 本 构 模 型 是 基 于 橡 胶 分 子 链呈 非 Gauss 伸 长 以 及 分 子 交 联 网 络 结 构 建 立 的大 应 变 条 件 下 的 应 变 能 预 测 模 型 。 相 对 而 言 ,建立 分 子 统 计 学 本 构 模 型 需 要 的 材 料 参 数 少 ,但 模型 不 能 用 于 炭 黑

45、填 充 的 橡 胶 材 料 。(2)变 形 张 量 不 变 量 本 构 模 型 和 分 子 统 计 学本 构 模 型 采 用 相 同 的 材 料 微 观 结 构 建 模 ,模 型 的变 形 张 量 的 第 一 基 本 不 变 量 与 交 联 网 络 结 构 的 平均 链 伸 长 有 关 。(3)分 子 统 计 学 本 构 模 型 、 变 形 张 量 不 变 量 模型 和 主 伸 长 本 构 模 型 与 橡 胶 材 料 当 前 的 应 变 状 态有 关 ,并 不 依 赖 应 变 发 生 的 过 程 ,因 此 建 模 时 只 考虑 弹 性 效 应 。 N R 加 载 和 卸 载 的 应 力 2应

46、变 曲 线几 乎 一 致 ,几 乎 没 有 能 量 损 失 和 生 热 ,建 立 本 构 模型 时 可 以 不 考 虑 热 2粘 弹 性 。(4)工 程 中 应 用 的 橡 胶 材 料 一 般 含 有 炭 黑 和硫 黄 等 配 合 剂 ,其 弹 性 、 强 度 及 动 态 性 能 等 与 温 度有 关 ,适 合 建 立 热 2粘 弹 性 本 构 模 型 。参 考 文 献 : 1 Boyce M C ,Arruda E M. Constitutive models of rubber elas2ticity : A review J . Rubber Chemistry and Technolo

47、gy ,2000 ,73 (3) :5042523. 2 黄 筑 平 . 连 续 介 质 力 学 基 础 M . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,2003. 3 Treloar L R G. The elasticity of a network of longchain mole2cules( ) J . Transactions of t he Faraday Society ,1946 ,42(1) :83293. 4 Arruda E M ,Boyce M C. A t hree2dimensional constitutivemodel for t he large stretch behavior of rubber elastic materi2alsJ . Journal of t he Mechanics and Physics of Solids ,1993 ,41 (2) :3892412. 5 Gent A N. A new constitutive relation for rubberJ . RubberChemist