1、 博 士 学 位 论 文 论文题目：距离变换与中轴变换在变形问题中的应用研究 作者姓名 车武军 指导教师 汪 国 昭 教 授 学科(专业) 计算机辅助几何设计与计算机图形学 所在学院 理 学 院 提交日期 二OO三年七月 浙 江 大 学 距离变换与中轴变换在变形问题中 的应用研究 (申请博士学位论文) 作 者：车 武 军 学科专业：计算机辅助几何设计与计算机图形学 指导教师：汪 国 昭 教 授 浙江大学数学系 浙江大学图象图形研究所 2003年7月 Research on Application of Distance transformation and Medial Axis Transf
2、ormation to Morphing By WuJun Che (Computer Aided Geometric Design and Computer Graphics) A Dissertation Presented to The Graduated School of Zhejiang University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy Dissertation Supervisor: Professor Wang Guozhao Departme
3、nt of Mathematics Institute of Computer Graphics and Image Processing Zhejiang University Hangzhou, P.R. China July , 2003 目 录 摘要I ABSTRACTIII 第一章 绪论 1 图像与图形技术1 2 距离变换7 3 细化和中轴变换8 4 距离变换与骨架方法在变形问题中的应用13 5 本文主要研究内容17 第二章 距离变换 1 离散图像的基本概念18 2距离20 3 计算原理22 4 计算方法24 5小结31 第三章 动态骨架算法 1 引言32 2 Snake模型33 3
4、 动态骨架法34 4 骨架的变形36 5 算法的实现和结果40 6 小结41 第四章 骨架驱动变形方法 1 引言43 2 曲线的变形45 3 骨架特征图45 4 同构特征图的构造48 5 中间特征图的生成51 6 骨架驱动变形54 7 举例55 8 小结56 第五章 骨架驱动的距离变形 1 引言58 2 中轴变换与骨架驱动变换61 3 骨架驱动2D距离场变形62 4 举例64 5小结64 第六章 骨架驱动网格变形 1 引言67 2 骨架驱动网格变形68 3 骨架系统的构造71 4 形状域分解75 5 单位块的warping80 6 小结84 第七章 体数据面绘制算法 1 引言85 2 相关工作
5、86 3 基于势函数的法向计算88 4 试验结果89 5 实现91 6 小结91 第八章 总结与展望 1 本文工作93 2 今后研究工作94 附录A： 曲线间的变形95 附录B: 中间特征图的生成96 附录C: 彩图98 参考文献101 攻读博士期间完成的论文111 致谢112 I摘 要 本文是将图像分析技术距离变换与中轴变换应用于计算机图形学领域研究工作的一个总结。论文以距离变换为工具，骨架为主线，深入探讨了距离变换和骨架的生成问题，并将它们运用到形状插值上，即不同对象间的变形；同时使用形状变形方法应用于在不同方向具有不同空间分辨率的图像切片插值，以便于顺利进行医学图像的三维重建，并对之进行
6、了一定程度的研究。 首先从图像分析和图形学研究的起源出发，说明了利用图像分析技术应用于图形学领域的必然性和可能性，并指出当今图像、图形界研究方法逐渐相互加速溶合的趋势。在此背景下，对距离变换、骨架方法、变形技术、医学图像三维重建等内容与发展状况作了必要的铺垫和论述，并对这些表面上不大相关的研究内容有机地联系在一起。 距离变换是视觉分析的一个重要研究方法，它也是本文一个基本的研究工具。鉴于此，对距离场的生成方法作了一个系统的总结回顾：包括几种流行的距离定义，以及各类典型的距离变换快速算法。 与距离变换密切相关的概念是骨架化。骨架是形状表示的一种有效形式，以更为简单的形式反映原形状的几何拓扑结构，
7、进而可为控制其拓扑变化提供有效的手段。骨架概念是本文的一条主线，基于距离变换的骨架求解算法得到的骨架尽管准确光滑，但我们必需仔细地检查其连续性；而当骨架的结构较为复杂时，这种连续性检查会变得非常困难。本文结合Thinning技术和Snake模型，提出了一个平面二值图的动态骨架算法。首先利用Thinning技术生成连续且拓扑保持的初始骨架；接着根据Snake模型的思想，将初始骨架引导到正确的位置上。动态骨架算法提取的骨架不仅保持了位置的准确和外形的光滑，同时也解决了骨架的连续性问题。 由于骨架简单有效地表达了几何形状的拓扑结构，本文将其应用到变形问题。变形技术由于在动画、工业设计等领域广泛应用，
8、近十多年来倍受关注。本文基于骨架概念，根据多边形内在量插值思想给出一个新颖的二维形状插值算法II框架。为了指导骨架的变动顺利完成，引入骨架特征图的概念；当源物体与目标物体拓扑结构不一致时，特征图会根据特征顶点的对应函数（由用户定义）自动扩充为具有相同结构的扩展特征图；然后采用内在量的方法，实现源物体骨架的扩展特征图向与目标物体骨架的扩展特征图的光滑变形，从而转化为骨架的变形。该法的优点在于源物体与目标物体的结构可以完全不一样，并以由源物体骨架向目标物体骨架变形来驱动两者距离场的光滑过渡证明该框架的可行性。 通过距离变换和骨架，上述骨架驱动2D距离场变形方法在最大程度上结合了用户主观的审美标准和
9、变形的具体环境，中间形状的拓扑结构可控，能产生引人注目的效果。但这个方法本身并非作为一个完整的变形方法而提出的，因此在实用性仍上有欠缺。为此将骨架驱动变形框架应用于网格模型，实现变形的目的，该方法有以下几个新特点： 对两个不同胚对象的同构网格化作了初步尝试，并卓有成效。 继承骨架驱动变形框架的特色，能在插值过程中控制形状的拓扑结构，实现不同胚对象的变形。 基于边-角插值技术，能方便地实现变形过程中各个局部具有不等的过渡率。 变形方法也可以医学切片数据的插值上。由于技术上的原因，许多医学三维数据在不同采样方向有不同的分辨率，当通过插值方法补上所缺的数据层后，就能用三维重建方法作重建。三维标量场可
10、视化技术不仅可以绘制等值面，而且可以模拟X线的透射效果。本文以彩色分割医学图像为背景讨论体数据的表面绘制算法。应用势函数原理，给出了一种新的快速有效的法向计算公式，并给出部分实现细节。最后，应用光线投射原理绘制出彩色图像空间中物体表面的高度真实感图形。 关键词：距离变换，骨架， 中轴变换，细化，蛇模型， 活动边界模型，变形， 形状插值，形状混合，网格变形，同构网格，医学成像，医学三维重建，体绘制 IIIAbstract This paper summaries the researches on the application of the technology of image analys
11、is, distance transformation and medial axis transformation, to the field of computer graphics. Based on the tool of distance transformation, we deeply discuss the distance transformation and the generation of skeleton and apply them to the shape interpolation, where skeleton works as a bridge among
12、them. Meanwhile, the technology of morphing between object shapes is applied to the interpolation among image slice with different sampling resolution in different direction so that the three dimension reconstruction of medical image can performed successfully. And it is worked over to some extent.
13、Starting from the pioneering stage of image analysis and computer graphics, we indicate the inevitability and feasibility of the application of the technology of image analysis to that of computer graphics. Under the background of the trend that the methods in image and in graphics seep into each ot
14、her at present, a necessary account of import works is rendered about several fields, such as distance transformation, skeletonization, morphing technology and 3D reconstruction of medical image. These different fields can connected organically by some means. Distance transformation is an important
15、method of vision analysis and is a basic tool for further study in this paper. So, an overview is given, including several popular definitions and all kinds of typical fast algorithms. Skeletonization is a concept related closely to distance transformation. Skeleton is an efficient representation of
16、 object shapes since it reflects the topological structure of the original shape in a simpler manner, so that it can offer an effective method to control its topological change. Skeleton of shapes is a main thread of this paper. Methods based on distance transformation can generate skeletons with ac
17、curate position, but connectivity of the skeleton branches must be carefully checked. It is difficult to check the connectivity when the structures of the skeleton are very complicated. In this paper, a dynamic skeleton algorithm is present for binary images by combining with thinning method and Sna
18、ke model technique. The initial skeleton is computed based on thinning technology of which the connectivity and the topology IVof the skeleton can be kept well. Then the initial skeleton can be led to its accurate locations in distance field based on Snake model technique. The skeletons generated by
19、 this method are not only locating at accurate positions, but also with correct connectivity and topology. Because of the validity of topological representation of shapes, an algorithm for shape interpolation is presented by applying skeletal representation to control topological structure. Morphing
20、 or Metamorphosis, is a fluid transformation and gradual interpolation from one shape to another. It has received much attention in recent years because of its wide application to movie and television, computer animation, computer graphics and industrial design. In this paper a novel framework is pr
21、esented for 2-D shape interpolation using the intrinsic shape parameters of a piecewise linear curve based on skeleton. Feature graphs, linear forms of skeletons, are introduced to guide the construction of intermediate skeleton. If the topologies of the source object and the target one are differen
22、t, their feature graphs will be automatically extended with equivalent topologies. Then the technique of intrinsic shape parameters is applied to the smooth transition of the extended feature graphs, which will guide the metamorphosis of the skeletons. Not only can the new approach be capable of mor
23、phing between objects with different topological genus, but also the topologies and the shapes of the intermediate objects can be controlled efficiently. We will show its feasibility via the smooth transformation of distance fields driven by metamorphosis from the skeleton of the source object to th
24、at of the target one. The above method combines the context of transformation with the user subjective aesthetic criteria to the most extent, to achieve the compelling effect of controllable topologies of intermediate shapes. But this method is a little defective in practice because it is not propos
25、ed as a whole morphing system. So the framework is applied to the mesh model of object shapes for transformation. The generalized method is provided with several novel features as following: A highly effective and original approach to compatible (isomorphic) mesh of two object shapes is proposed. In
26、heriting the characteristics of the framework of skeleton-driven morphing, it can control the topological change of shape structures during transformation between two homeomorphous objects. V Based on edge-angle interpolation technology, it can expediently implement transition control to determine t
27、he rate of warping and color blending cross the morph sequences differing from part to part. The technology of morphing between object shapes is applied to the interpolation of image slice data. Because of defect in the present system of sample, lots of medical 3D data have different sampling resolu
28、tion in different direction but the three dimension reconstruction of medical image can performed once the missing slice is interpolated via shape interpolation. Visualization techniques for 3d scalar fields can be used to display isovalue surfaces as well as to simulate the transmission effect of X
29、-ray. In this paper, we will discuss an algorithm of surface rendering from volume data of color segmented medical images. A novel and effective formula is presented for normal estimation by potential functions. Some implementation details have been presented, and highly realistic images of object s
30、urfaces have been obtained by employing ray-casting principle. Key words: distance transformation, skeleton, medial axis transformation, thinning, snake model, active contour model, morphing, shape interpolation, shape blending, mesh morphing, isomorphic meshes, medical imaging, 3D reconstruction of
31、 medial image, volume rendering 浙 江 大 学 博 士 学 位 论 文 1 第一章 绪论 视觉信息在人类活动所涉及的各种信息中所占比重最大，但随着人类探测手段的提高和社会进步的需求，如通信、卫星遥感图像，气象预报中的云图和海图处理，人体CT扫描的断层图，逼真的动画制作等等，其复杂性已远远超出的人类视觉和脑力处理的范围，人类必须找出人脑的延伸工具来承担日益繁重的计算任务这就是计算机。 自从1946年世界上第一台电子计算机ENIAC诞生以来，计算机科学得到了惊人的发展，它神奇的数值计算能力极大地解放了人的脑力劳动，在科技、教育、文化、军事等各领域的广泛应用给人类社会
32、创造了灿烂的文明。计算机硬件技术的发展为我们处理复杂多变的图像图形信息提供了必不可少的物质基础，人们自然地期望计算机能模拟人类感知方面的功能，特别是视觉处理的自动化。 计算机图像技术与图形技术是当前计算机可视化研究的两大领域。本章首先对图像技术与图形技术历史发展、研究现状和相互关系作一个简述，然后扼要地介绍本文的研究内容背景、思想方法和主要结果。 1 图像与图形技术 图像处理是为了某种目的对图像的强度分布作某些特殊的加工和分析，例如图像编码传输、图像综合；图形学则是专门研究图形的生成、处理和显示的一门学科。当今的图形学大量涉及真实景物的生成，这应该是图像综合的内容；图形是图像的一种，因此从概念
33、上说图像综合包含了图形学的内容。尽管它们有着这种天然的联系，历史上是却是各自独立发展起来的。 1. 1 图像技术 图像技术作为计算机科学的一个重要的研究领域，主要处理与人类视觉有关的数字图片的识别和处理。图像处理、计算机视觉和模式识别是计算机技术当中重要的图像技术学科分支，它们是相关的图像技术，都以图像作为研究的起点，研究内容彼此间相互交叠，只是侧重点有所不同，目前已经很难绝对地区分它们。例如，计算机视觉的研究范围很宽，大量中低层处理直绪 论 2 接采用了图像处理的技术，包含图像处理的绝大部分内容，只是一般不包括图像编码传输以及图像综合，因此国际上有时使用计算机视觉和图形、图像处理这一名称；模
34、式识别的主要内容之一是识别和分类图像中的物体，因此计算机视觉中的图像识别则是模式识别的一个研究领域。关于它们之间存在的必要性和包容性问题，各派学者也有所争论：坚持模式识别的学者争辩说，视觉信息是模式的一种，当然模式识别就可以包括计算机视觉了；而计算机视觉学者则认为虽然在计算机视觉中确实使用了很多模式识别的概念和方法，而视觉信息有其特殊性，传统模式识别包含不了计算机视觉，充其量只是同属机器智能的不同分支吴 1993。本文不是探讨它们的区别，因此不特别区分它们，而用图像分析技术概括这些以图像作为研究起点的计算机学科分支。 图像技术研究可以追溯到上世纪四十年代，当时图像处理技术首次应用于图像的远距离
35、传输，用来改善伦敦和纽约之间经海底电缆发送的图片质量，但由于当时技术落后，社会对图像技术的需求和处理能力并不高，直到五十年代数字计算机发展到一定水平及计算机外围设备的发展使得图像能够进入计算机，图像处理才真正引起人们的巨大兴趣。真正的计算机图像处理应用开始于1964年美国喷气推进实验室（JPL）用计算机对“徘徊者七号”太空船发回的大批月球进行处理，并收到的明显的效果。用计算机增强的月球照片表面构造清晰可见，引起了很大的轰动。于是从60年代开始，以改善图像质量为目标的计算机图像处理得到蓬勃发展。同时由于航天、医学方面的大量图像数据的自动化处理的需要，从图像中发现、识别目标为主要任务的模式识别与模
36、式分类技术应运而生，这一系列研究工作在70年代已经取得重要进展。到70年代中期，图像处理和模式识别技术已经发展到相当水平，并且在许多领域中得到成功的应用。例如从卫星遥感图像中识别军事目标、监测大气污染、估计作物收成，或从医学图像中进行染色体分类、癌细胞识别等。这些成功又反过来促进了计算机的图像视觉处理技术的进一步深入发展，要求更高的功能朱 1997。另一项迅猛推动图像处理技术的来源是六十年代至七十年代离散数学理论的创立和完善，它最终奠定了图像处理的地位。70年代以前的研究工作主要是属于从图像到图像的处理，其目的是为了改善图像质量或是变换图像表示形式。它只能代表图像信息的某一方面应用。随着图像处
37、理研究工作的深入，自70年代起，图像的分析和识别越来越多地受到重视，图像技术进入智能化阶段。 在70年代另一个对计算机图像技术乃至整个医学界具有划时代意义的是CT的发明：人类首次实现了对人体内部脏器无损检测，同时测量到检测对像浙 江 大 学 博 士 学 位 论 文 3 连续断层图像，由于这些断层图像是已经包含有对象的三维信息，利用它们作三维重建势在必行；同时由于其在理论与实践中的重要意义，并为图形学界所认可，吸引大批图像图形专家的目光，三维重建技术在80年代初期到90年代中期成为当时的研究热点，大力推动了图形技术的研究步伐。 1. 2 图形技术 计算机图形学研究利用计算机产生图形和显示图形，它
38、包括对要产生图形的物体的描述（建模或几何描述），对图形数据的管理和操作（数据结构和图形变换），图形的生成，显示和输出；在交互式的图形系统中，还包括研究图形的输入和图形操作的人机接口。 从本质上讲图形仍是一种图像，但它与我们日常理解的图像又有所区别；同时，由于图形学功能的特殊性，它更依赖于计算机硬件技术的发展孙 2000。 1950年，第一台图形显示器作为美国麻省理工学院（MIT）旋风I号（Whirlwind）计算机的附件诞生，该显示器用一个类似于示波器的CRT来显示一些简单的图形。在整个50年代，只有电子管计算机，用机器语言编程，主要应用于科学计算，为这些计算机配置的图形设备仅具有输出功能。1
39、962年，伊凡苏泽兰（Ivan Sutherland）在麻省理工学院发表了题为“SketchpadA Man-Machine Graphical Communication System”的博士论文，Sketchpad是一个实时的素描系统，使用者可以利用“光笔”，直接和电脑屏幕进行交互。他在论文中首次使用了计算机图形学“Computer Graphics”这个术语，证明了交互式计算机图形学是一个可行的、有用的研究领域，从而确定了计算机图形学作为一个崭新的科学分支的独立地位。60年代中期，美国MIT、通用汽车公司、贝尔电话实验室和洛克希德公司开展了计算机图形学的大规模研究。同时，英国剑桥大学等也
40、开始了这方面的工作，从而使计算机图形学进入蓬勃发展的新时期。 进入70年代，图形学技术迈进实用化阶段；除了传统的军事上和工业上的应用之外，计算机图形学还进入教育、科研和事务管理等领域。80年代不仅在工业、管理、艺术领域发挥巨大作用，而且已进入家庭。进入90年代，计算机图形学的功能除了随着计算机图形设备的发展而提高处，其自身朝着标准化、集成化和智能化的方向发展。在此期间，国际标准化组织（ISO）公布的有关计算机图形学方面的标准越来越多，且更加成熟。多媒体技术、人工智能及专家系统技术和计算机图形学相结合使其应用效果越来越好。科学绪 论 4 计算的可视虚拟现实环境的应用又向计算机图形学提出了许多更新
41、更高的要求，使得三维乃至高维计算机图形学在真实性和实时性方面将有飞速发展。传统的几何理论已不能满足学科的发展和人们的需要；于是基于物理原理的图形技术正蓬勃兴起，可称之为物理图形学；物理图形学的兴起并不是对传统几何图形学的背离，相反它将各种现实对象的内在物理特性结合到对应的几何模型当中，从而在视觉上更加接近于真实世界的物体Enright 2002, Lamorlette 2002, Nguyen 2002, OBrien 2002, Preetham 1999, Stam 1999, Tong 2002。 1. 3 图像技术在图形中的应用 从图像与图形学发展起源可见，图像图形技术发展在初期是相互
42、独立的，研究的目标有很大的不同，所使用的数学工具和研究方法也大不一样。但近十多年来，情况发生了巨大的变化，表现之一就是研究学者采用了大量的图像处理技术融合到图形学的研究当中。细想一下，这种现象有其必然性：科学技术发展的一个普遍规律是各门学科之间的相互渗透与沟通，它们之间的学科研究界线在一定阶段会变得模糊起来。在六十年代至七十年代，由于离散数学理论的创立和完善，图像处理技术由于理论和方法进一步完善而得到了迅猛的发展，应用范围更加广泛。近年来，各个应用领域对图像处理提出的越来越高的要求，从而促使这门学科的研究向更高级的方向发展，例如图像处理和图像分析的智能化等，这必然推进计算机视觉和模式识别的研究步伐，为图形学提供更丰富多彩的方法和工具，如距离变换、骨架化、Level set方法、Snake模型Kass 1988, Xu 1998, Ma 1999等等。 离散数学理论为图像处理技术奠定了数学基础，计算机图形学总体上看仍缺乏一套完整严密的数学体系，但也形成了诸如动画、真实感景物生成、基本图形理论和方法（如景物模型、分维等）等重要研究方向；另一方面，图
