1、选修 41第二讲 直线与圆的位置关系一 圆周角定理课标解读 1.了解圆心角定理2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半(2)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 弧也相等(3)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数1圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的 圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等
2、又互补2在推论 1 中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？【提示】 不成立因为一条弦所 对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的3 “相等的圆周角所对的弧相等” ，正确吗？【提示】 不正确 “相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图若 ABDG，则BAC EDF，但 .BC EF利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 cm 的弦，求此弦所对的圆周角3【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数【自主解答】 如图所示，过 点 O 作 ODAB 于点 D.
3、ODAB，OD 经过圆心 O，ADBD cm.532在 RtAOD 中，OD cm，OA2 AD252OAD30，AOD60.AOB2AOD120.ACB AOB60.12AOB120，劣弧 的度数为 120，优弧 的度数为 240.AEB ACBAEB 240120，12此弦所对的圆周角为 60或 120.1解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它 们互为补 角2和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还 可以通过比例线段，相似比来计算图 211已知如图 211，ABC 内接于O， ，点 D 是 上任意一点，AD6 AB AC BC
4、cm， BD5 cm，CD3 cm，求 DE 的长【解】 ，AB ACADBCDE.又 ，BD BDBADECD.ABDCED. .即 .ADCD BDED 63 5EDED2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图 212，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.图 212(1)证明：ABEADC；(2)若ABC 的面积 S ADAE，求BAC 的大小12【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似(2)利用(1)的结论及面积相等求 sinBAC 的大小，从而求 BAC 的大小【自主解答】 (1)由已知条件，可得BAE CAD.因为AEB 与ACB 是同弧上的圆周角，所以
5、AEBACD.故ABE ADC.(2)因为ABEADC，所以 ，即 ABACADAE.ABAE ADAC又 S ABACsinBAC 且 S ADAE，12 12故 ABACsinBACADAE ，则 sinBAC1 ，又 BAC 为三角形内角，所以BAC 90.1解答本题(2)时关键是利用 ABACAD AE 以及面积 S ABACsinBAC 确定12sinBAC 的值2利用圆中角的关系证明时应 注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在 圆上的特殊性， 寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题如图
6、 213，ABC 内接于O，高 AD、BE 相交于 H，AD 的延长线交O 于 F，求证：BFBH.图 213【证明】 BEAC，ADBC，AHEC .AHEBHF ，FC，BHFF.BFBH.直径所对的圆周角问题图 214如图 214 所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且 ACBC 43，AB10 cm， ODAC 于 D.求四边形 OBCD 的面积【思路探究】 由 AB 是半圆的直径知 C90，再由条件求出 OD、CD、BC 的长可得四边形 OBCD 的面积【自主解答】 AB 是半圆的直径，C90.ACBC43，AB10 cm ，AC8 cm，BC6 cm.又 ODAC，ODBC.OD
7、 是 ABC 的中位线，CD AC4 cm ，OD BC3 cm.12 12S 四 边形 OBCD (ODBC)DC12 (36) 418 cm 2.12在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以 证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等图 215如图 215，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直径作半圆交 AB 于点 E，交BC 于点 F，若BAC50，则 的度数为( )EFA25 B 50C100 D120【解析】 如图，连接 AF.AC 为 O 的直径，AFC90 ，AFBC，ABAC，BAF BAC25
8、，12 的度数为 50.EF【答案】 B(教材第 26 页习题 2.1 第 3 题)图 216如图 216，BC 为O 的直径， ADBC，垂足 为 D， ，BF 和 AD 相交于 E，求AB AF证：AE BE.(2013陕西高考)如图 217，弦 AB 与 CD 相交于O 内一点 E，过 E作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P，已知 PD2DA2，则 PE_.图 217【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识， 证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考 查了知识的应用能力及转 化意识【解析】 BCPE，CPED.CA ，APED .在PED 和PAE 中，P
9、EDA，PP ，PEDPAE， .PEPA PDPEPAPDDA3，PD 2，PE2PAPD326，PE .6【答案】 61如图 218，在O 中， BAC 60，则BDC( )图 218A30 B 45C60 D75【解析】 O 中，BAC 与 BDC 都是 所对的圆周角，故BDC BAC60.BC【答案】 C2在ABC 中，AB AC，AB AC ，O 是ABC 的外接圆，则 所对的圆心角为( )ABA22.5 B45C90 D不确定【解析】 ACB45， 所对的圆心角为 2ACB90.AB【答案】 C3(2013焦作模拟)如图 2 19，A、B 、C 是O 的圆周上三点，若BOC3BOA
10、 ，则CAB 是ACB 的_倍图 219【解析】 BOC3BOA， 3 ，BC ABCAB3ACB.【答案】 34如图 2110 所示，两个同心圆中， 的度数是 30，且大圆半径 R4，小圆CmD半径 r 2，则 的度数是_AnB图 2110【解析】 的度数等于AOB，又 的度数等于AOB，则 的度数是 30.AnB CmD AnB【答案】 30一、选择题图 21111如图 2111 所示，若圆内接四边形的对角线相交于 E，则图中相似三角形有( )A1 对 B2 对C3 对 D4 对【解析】 由推论知：ADBACB ，ABD ACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC， AEDBEC.【
11、答案】 B2在半径为 R 的圆中有一条长度为 R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A30 B30或 150C60 D60或 120【解析】 弦所对的圆心角为 60，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选 B.【答案】 B3如图 2112 所示，等腰ABC 内接于O，ABAC，A40，D 是 的中BC点，E 是 的中点，分别连接 BD、DE、BE，则BDE 的三内角的度数分别是( )AC图 2112A50，30 ，100 B55，20 ，105C60，10，110 D40，20 ，120【解析】 如图所示，连接 AD.ABAC，D 是 的中点，BCAD 过圆心 O.A40，BEDBAD 20
12、，CBDCAD20.E 是 的中点，ACCBE CBA35 ，12EBDCBE CBD55.BDE1802055105，故选 B.【答案】 B4如图 2113，点 A、B、C 是圆 O 上的点，且 AB4，ACB30，则圆 O 的面积等于( )图 2113A4 B8C12 D16【解析】 连接 OA，OB.ACB30 ，AOB60，又 OAOB，AOB 为等边三角形又 AB4，OAOB4.SO4 216.【答案】 D二、填空题图 21145(2013平顶山模拟)如图 2114，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm，4 cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，
13、则 _.BDDA【解析】 连接 CD，AC 是O 的直径，CDA90. 由射影定理得 BC2BDBA，AC 2AD AB， ，即 .BC2AC2 BDDA BDDA 169【答案】 1696如图 2115，AB 为O 的直径，弦 AC，BD 交于点 P，若 AB3，CD 1，则sinAPD _.图 2115【解析】 由于 AB 为O 的直径， 则 ADP90 ，所以APD 是直角三角形则 sinAPD ，cosAPD ，ADAP PDAP由题意知，DCP ABP，CDPBAP，所以PCDPBA .所以 ，又 AB3，CD 1，则 .PDAP CDAB PDAP 13cosAPD .又 sin2
14、APDcos 2APD1，13sinAPD .223【答案】 223三、解答题7如图 2116，已知 A、B、C 、D 是O 上的四个点，ABBC，BD 交 AC 于点E，连接 CD、AD.(1)求证：DB 平分 ADC；(2)若 BE3，ED6，求 AB 的长图 2116【解】 (1)证明： ABBC ， ，AB BCBDCADB，DB 平分ADC.(2)由(1)可知 .AB BCBACADB.ABEABD .ABEDBA. .ABBE BDABBE3，ED6，BD9.AB2BEBD3927.AB3 .38如图 2117, ABC 是圆 O 的内接等边三角形，ADAB，与 BC 的延长线相交
15、于点 D，与圆 O 相交于点 E，若圆 O 的半径 r1，求 DE 的长度图 2117【解】 连接 BE，ADAB，BE 为O 的直径，且 BE2r 2.又AEB ACB60，ABE30 ，EBD30.又ABD60，DEBD30，DEBE2.9如图 2118所示，在圆内接ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的一点，E 是直线 AD 和ABC 外接圆的交点图 2118(1)求证：AB 2ADAE ；(2)如图 2118所示，当 D 为 BC 延长线上的一点时，第 (1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由【解】 (1)证明：如右图，连接 BE.ABAC，ABCACB.ACBAE
16、B，ABCAEB.又BADEAB.ABDAEB.ABAEAD AB，即 AB2AD AE.(2)如图， 连接 BE，结论仍然成立，证法同(1)10.已知：如图，BC 为半圆 O 的直径，F 是半圆上异于 B、C 的一点，A 是 的中点，BFADBC 于点 D，BF 交 AD 于点 E.(1)求证：BEBFBD BC；(2)试比较线段 BD 与 AE 的大小，并说明道理【解】 (1)证明：连接 FC，则 BFFC.在BDE 和BCF 中，BFCEDB90FBCEBD，BDEBFC. .即 BEBFBDBC .BEBC BDBF(2)连接 AC、AB，则BAC90. ，1 2.又2ABC90， 3ABD90，AF AB23，1 3.AEBE.在 RtEBD 中，BEBD，AEBD.
