1、1第四节 二次函数与幂函数考纲传真 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y x， y x2， y x3， y x ， y 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象12 1x和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式： f(x) ax2 bx c(a0)；顶点式： f(x) a(x h)2 k(a0)，顶点坐标为( h， k)；零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0)， x1， x2为 f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数 y ax2 bx c(a0) y ax2 bx c(a0)图象定义域 R值域
2、 4ac b24a ， ) ( ， 4ac b24a 单调性 在 上减，( ， b2a在 上增b2a， ) 在 上增，( ， b2a在 上减b2a， )对称性 函数的图象关于 x 对称b2a2.幂函数(1)定义：形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中 x是自变量， 是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y x y x2 y x3 y x12y x121(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)二次函数 y ax2 bx c， xR，不可能是偶函数( )(2)二次函数 y ax2 bx c， x a， b的最值一定是 .( )4ac b24a(3)幂函
3、数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)( )(4)当 n0 时，幂函数 y xn在(0，)上是增函数( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)已知幂函数 f(x) x 的图象过点(4,2)，若 f(m)3，则实数 m的值为( )A. B3 3C D99D 由题意可知 4 2 2 2，所以 .12所以 f(x) x ，12 x故 f(m) 3 m9.m3已知函数 f(x) ax2 x5 的图象在 x轴上方，则 a的取值范围是( )A. B.(0，120) ( ， 120)C. D.(120， ) ( 120， 0)C 由题意知Error!即Error!得 a .1204(201
4、7贵阳适应性考试(二)二次函数 f(x)2 x2 bx3( bR)零点的个数是( )A0 B1 C2 D4图象定义域 R R R x|x0 x|x0值域 R y|y0 R y|y0 y|y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(，0)减，(0，)增增 增(，0)和(0，)减公共点 (1,1)3C 因为判别式 b2240，所以原二次函数有 2个零点，故选 C.5若二次函数 y ax2 bx c的图象与 x轴交于 A(2,0)， B(4,0)且函数的最大值为 9，则这个二次函数的表达式是_. 【导学号：31222037】y x22 x8 设 y a(x2)( x4)，对称轴为 x1，当 x1
5、 时， ymax9 a9， a1， y( x2)( x4) x22 x8.求二次函数的解析式已知二次函数 f(x)满足 f(2)1， f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式【导学号：31222038】解 法一(利用一般式)：设 f(x) ax2 bx c(a0).2 分由题意得 Error!8 分解得Error!所求二次函数为 f(x)4 x24 x7.12 分法二(利用顶点式)：设 f(x) a(x m)2 n. f(2) f(1)，抛物线的图象的对称轴为 x .3分2 12 12 m .又根据题意函数有最大值 8， n8.12 y f(x) a 28.8 分(x1
6、2) f(2)1， a 281，解得 a4，(212) f(x)4 284 x24 x7.12 分(x12)法三(利用零点式)：由已知 f(x)10 的两根为 x12， x21，2 分故可设 f(x)1 a(x2)( x1)，即 f(x) ax2 ax2 a1.6 分又函数的最大值是 8，即 8，4a 2a 1 a 24a4解得 a4，所求函数的解析式为 f(x)4 x24 x7.12 分规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下变式训练 1 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x轴上截得的线段长为2，并且对任意 xR，都有 f(2
7、x) f(2 x)，求 f(x)的解析式解 f(2 x) f(2 x)对 xR 恒成立， f(x)的对称轴为 x2.2 分又 f(x)的图象被 x轴截得的线段长为 2， f(x)0 的两根为 1和 3.6分设 f(x)的解析式为 f(x) a(x1)( x3)( a0)又 f(x)的图象过点(4,3)，3 a3， a1.10 分所求 f(x)的解析式为 f(x)( x1)( x3)，即 f(x) x24 x3.12 分二次函数的图象与性质角度 1 二次函数图象的识别及应用(1)设 abc0，则二次函数 f(x) ax2 bx c的图象可能是( )A B C D(2)已知函数 f(x) x2 m
8、x1，若对于任意 x m， m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m的取值范围是_(1)D (2) (1)由 A，C，D 知， f(0) c0.(22， 0) abc0， ab0，对称轴 x 0，知 A，C 错误，D 符合要求由 B知 f(0)b2a c0， ab0， x 0，B 错误b2a(2)作出二次函数 f(x)的图象，对于任意 x m， m1，都有 f(x)0，则有Error!5即Error! 解得 m0.22角度 2 二次函数的最值问题(1)(2017广西一模)若 xlog521，则函数 f(x)4 x2 x1 3 的最小值为( )A4 B3C1 D0(2)(2017安徽皖北第一次联
9、考)已知函数 f(x) x22 ax1 a在区间0,1上的最大值为 2，则 a的值为( ) 【导学号：31222039】A2 B1 或3C2 或3 D1 或 2(1)A (2)D (1) xlog521log 52xlog 551 2x ，15令 t2 x ，则有 y t22 t3( t1) 24，(t15)当 t1 ，即 x0 时， f(x)取得最小值4.故选 A.15(2)函数 f(x)( x a)2 a2 a1 图象的对称轴为 x a，且开口向下，分三种情况讨论如下：当 a0 时，函数 f(x) x22 ax1 a在区间0,1上是减函数， f(x)max f(0)1 a，由 1 a2，得
10、 a1.当 0 a1 时，函数 f(x) x22 ax1 a在区间0， a上是增函数，在 a,1上是减函数， f(x)max f(a) a22 a21 a a2 a1，由 a2 a12，解得 a 或 a .0 a1，两个值都不满足，舍去1 52 1 52当 a1 时，函数 f(x) x22 ax1 a在区间0,1上是增函数， f(x)max f(1)12 a1 a2， a2.综上可知， a1 或 a2.角度 3 二次函数中的恒成立问题已知 a是实数，函数 f(x)2 ax22 x3 在 x1,1上恒小于零，则实数 a的取值范围为_6由题意知 2ax22 x30 在1,1上恒成立( ，12)当
11、x0 时，适合；当 x0 时， a 2 .32(1x 13) 16因为 (，11，)，当 x1 时，右边取最小值 ，所以 a .1x 12 12综上，实数 a的取值范围是 .( ，12)规律方法 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 a f(x)a f(x)max， a f(x)a f(x)min.幂函数的图象与性质(1)幂函数 y f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y f(x)的图象是( )A B
12、 C D(2)已知幂函数 f(x) xm22 m3( mN *)的图象关于 y轴对称，且在(0，)上是减函数，则 m的值为_(1)C (2)1 (1)令 f(x) x ，则 4 2， ，12 f(x) x .12(2) f(x)在(0，)上是减函数， m22 m30，解得1 m3.又 mN *， m1 或 m2.由于 f(x)的图象关于 y轴对称 m22 m3 的值应为偶数，又当 m2 时， m22 m3 为奇数， m2 舍去因此 m1.规律方法 1.幂函数的形式是 y x ( R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式72若幂函数 y x ( R)是偶函数，则 必为偶数当 是
13、分数时，一般将其先化为根式，再判断3若幂函数 y x 在(0，)上单调递增，则 0，若在(0，)上单调递减，则 0.变式训练 2 (1)设 a0.5 ， b0.9 ， clog 50.3，则 a， b， c的大小关系是( )A a c b B c a bC a b c D b a c(2)若( a1) (32 a) ，则实数 a的取值范围是_(1)D (2) (1) a0.5 0.25 ， b0.9 ，所以根据幂函数的性质知 1，23)b a0，而 clog 50.30，所以 b a c.(2)易知函数 y x 的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以Error!解得1 a .238思想与方
14、法1二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与 x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求 f(x)更方便2研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较4幂函数 y x ( R)图象的特征 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；9 0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立易错与防
15、范1对于函数 y ax2 bx c，若是二次函数，就隐含着 a0，当题目条件中未说明a0 时，就要分 a0， a0 两种情况讨论2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1已知幂函数 f(x) kx 的图象过点 ，则 k ( ) (12， 22)【导学号：31222040】A. B1 12C. D232C 由幂函数的定义知 k1.又 f ，所以 ，解得 ，从而
16、k (12) 22 (12) 22 12. 322函数 f(x)2 x2 mx3，当 x2，)时， f(x)是增函数，当x(，2时， f(x)是减函数，则 f(1)的值为( )A3 B13 C7 D5B 函数 f(x)2 x2 mx3 图象的对称轴为直线 x ，由函数 f(x)的增减区间可知m42， m8，即 f(x)2 x28 x3， f(1)28313. m43若幂函数 y( m23 m3) xm2 m2 的图象不过原点，则 m的取值是( )A1 m2 B m1 或 m2C m2 D m1B 由幂函数性质可知 m23 m31， m2 或 m1.又幂函数图象不过原点， m2 m20，即1 m
17、2， m2 或 m1.104已知函数 y ax2 bx c，如果 abc且 a b c0，则它的图象可能是( ) 【导学号：31222041】A B C DD 由 a b c0， a b c知 a0， c0，则 0，排除 B，C.又 f(0) c0，所ca以也排除 A.5若函数 f(x) x2 ax a在区间0,2上的最大值为 1，则实数 a等于( )A1 B1 C2 D2B 函数 f(x) x2 ax a的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得 f(0) a， f(2)43 a，Error! 或Error!解得 a1.二、填空题6(2017上海八校联合测试改编)已知函数 f(x
18、) ax22 ax1 b(a0)若 f(x)在2,3上的最大值为 4，最小值为 1，则 a_， b_.1 0 因为函数 f(x)的对称轴为 x1，又 a0，所以 f(x)在2,3上单调递增，所以Error!即Error! 解方程得 a1， b0.7已知 P2 ， Q 3， R 3，则 P， Q， R的大小关系是 _.(25) (12)【导学号：31222042】P R Q P2 3，根据函数 y x3是 R上的增函数且 ，(22) 22 12 25得 3 3 3，即 P R Q.(22) (12) (25)8对于任意实数 x，函数 f(x)(5 a)x26 x a5 恒为正值，则 a的取值范围
19、是_(4,4) 由题意可得Error!解得4 a4.三、解答题9已知幂函数 f(x) x(m2 m)1 (mN *)经过点(2， )，试确定 m的值，并求满足条件211f(2 a) f(a1)的实数 a的取值范围解 幂函数 f(x)经过点(2， )，2 2 (m2 m)1 ，即 2 2 (m2 m)1 ，2 m2 m2，解得 m1 或 m2.4 分又 mN *， m1. f(x) x 则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数由 f(2 a) f(a1)，得 Error!10 分解得 1 a .32 a的取值范围为 .12分1，32)10已知函数 f(x) x2(2 a1) x3，(1)当
20、 a2， x2,3时，求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)在1,3上的最大值为 1，求实数 a的值解 (1)当 a2 时， f(x) x23 x3， x2,3，对称轴 x 2,3，2 分32 f(x)min f 3 ，(32) 94 92 214f(x)max f(3)15，值域为 .5分214， 15(2)对称轴为 x .2a 12当 1，即 a 时，2a 12 12f(x)max f(3)6 a3，6 a31，即 a 满足题意；8 分13当 1，即 a 时，2a 12 12f(x)max f(1)2 a1，2 a11，即 a1 满足题意综上可知 a 或1.12 分1312B组 能
21、力提升(建议用时：15 分钟)1(2017江西九江一中期中)函数 f(x)( m2 m1) x4m9 m51 是幂函数，对任意的x1， x2(0，)，且 x1 x2，满足 0，若 a， bR，且f x1 f x2x1 x2a b0， ab0，则 f(a) f(b)的值( ) 【导学号：31222043】A恒大于 0 B恒小于 0C等于 0 D无法判断A f(x)( m2 m1) x4m9 m51 是幂函数， m2 m11，解得 m2 或 m1.当 m2 时，指数 4292 512 0150，满足题意当 m1 时，指数 4(1) 9(1) 5140，不满足题意， f(x) x2 015.幂函数
22、f(x) x2 015是定义域 R上的奇函数，且是增函数又 a， bR，且 a b0， a b，又 ab0，不妨设 b0，则 a b0， f(a) f( b)0，又 f( b) f(b)， f(a) f(b)， f(a) f(b)0.故选 A.2设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若函数 y f(x) g(x)在x a， b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在 a， b上是“关联函数” ，区间 a， b称为“关联区间” 若 f(x) x23 x4 与 g(x)2 x m在0,3上是“关联函数” ，则 m的取值范围为_由题意知， y f(x) g(x) x
23、25 x4 m在0,3上(94， 2有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数 y m与y x25 x4( x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当 x2,3时，y x25 x4 ，94， 2故当 m 时，函数 y m与 y x25 x4( x0,3)的图象有两个交点(94， 23已知二次函数 f(x) ax2 bx1( a， bR)， xR.(1)若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下， f(x) x k在区间3，1上恒成立，试求 k的范围13解 (1)由题意知Error!解得 Error!2 分所以 f(x) x22 x1，由 f(x)( x1) 2知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.6 分(2)由题意知， x22 x1 x k在区间3，1上恒成立，即 k x2 x1 在区间3，1上恒成立，8 分令 g(x) x2 x1， x3，1，由 g(x) 2 知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x)min g(1)1，(x12) 34所以 k1，即 k的取值范围是(，1).12 分
