1、2.3 不等式的证明方法之三：反证法 教案 （新人教选修 4-5）教学目标：通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。教学难点：会用反证法证明简单的命题。教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法
2、是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若 p 则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例 1、已知 ，求证： （ 且 ）0banbaN1n例 1、设 ，求证23.2
3、证明：假设 ，则有 ，从而.2)1(68126,833bba教学札记因为 ，所以 ，这与题设条件 矛盾，所以，2)1(6b23ba23ba原不等式 成立。a例 2、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不小于qpxf2)( )(,)1(ff.1证明：假设 都小于 ，则)3(,2)1(ff 2（1）.另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）)39()24()1(2132qpqpqpfffff（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的
4、矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 , (1 b)c , (1 c)a ,4441则三式相乘：ab 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设 a 0, bc 0, 则 b + c = a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛盾， 必有 a 0同理可证：b 0, c 0三、课堂练习：1、利用反证法证明：若已知 a，b，m 都是正数，并且 ，则 ba.bam2、设 0 0，且 x + y 2，则 和 中至少有一个小于 2。xy1提示：反设 2， 2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。1四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：课本 29 页第 1、4 题。六、教学后记：
