1、 第 1 页 共 5 页 32 一般形式的柯西不等式1利用柯西不等式证明不等式2能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值3认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义1柯西不等式向量形式： | _| |.答案：2定理(柯西不等式的推广形式)：设 n 为大于 1 的自然数， ai， bi(i1，2， n)为任意实数，则： n,i1 a n,i1 b _( n,i1 aibi)2，2i 2i其中等号当且仅当 时成立(当 ai0 时，约定b1a1 b2a2 bnanbi0， i1，2， n)答案：思考 1 设 x y z19，则函数 u 的最小值是( ) x2 4 y2 9 z2 16A442 B
2、. 442C38 D76解析：u2 x2 y2 z24962 2 2（ x2 4） （ y2 9） （ y2 9） （ z2 16） x2 y2 z22 23 24 22( xy23)2( xz24)（ x2 4） （ z2 16）2( yz34)( x y z) 2(234) 219 29 2442. u .442当且仅当 ， ， 时，等号成立xy 23 xz 24 12 yz 34 umin .442答案：B 思考 2 求证： a2 b2 c2 d2 ab bc cd da.证明：取两组数 a， b， c， d； b， c， d， a，由柯西不等式有( a2 b2 c2 d2)(b2 c2
3、 d2 a2)( ab bc cd da)2，即( a2 b2 c2 d2)2( ab bc cd da)2. a2 b2 c2 d2| ab bc cd da| ab bc cd da.原不等式成立第 2 页 共 5 页 一 层 练 习1已知 a a a 1， x x x 1，则 a1x1 a2x2 anxn的最大值21 2 2n 21 2 2n是( )A1 B2 C3 D4答案: A2已知 x， y， z 为正数， x y z1，则 x2 y2 z2的最小值为( )A. B. C. D不存在14 13 15答案: B3同时满足 2x3 y z13(1)，4 x29 y2 z22 x15 y
4、3 z82(2)的实数x、 y、 z 的值分别为_，_，_解析：可令 x12 x， x23 y3， x3 z2，则 x1 x2 x318 且 x x x 108.21 2 23由此及柯西不等式得 182( x1 x2 x3)2( x x x )(121 21 2)1083，21 2 23上式等号成立的充要条件 x1 x2 x36 x3， y1， z4.x11 x21 x31答案：3 1 4二 层 练 习4已知 a， b， cR ，且 a b c1，求 的最大值4a 1 4b 1 4c 1解析：由柯西不等式得：( )2(1 1 14a 1 4b 1 4c 1 4a 1 4b 1)2(1 21 2
5、1 2)(4a 14 b14 c1)34( a b c)321.4c 1当且仅当 a b c 时取等号13 的最大值为 .4a 1 4b 1 4c 1 215 a、 b、 cR ，且 a b c1，求证： .(a1a)2 (b 1b)2 (c 1c)2 1003证明：(1 21 21 2)(a1a)2 (b 1b)2 )Error! ，(a1a) (b 1b) (c 1c)2 1 (1a 1b 1c)2 而( a b c) (111) 29，(1a 1b 1c)即 9， 100，1a 1b 1c 1 (1a 1b 1c)2 第 3 页 共 5 页 .(a1a)2 (b 1b)2 (c 1c)2
6、 10036设 a， b， c 为正数，求证： a b c.a2b b2c c2a证明：由柯西不等式得( )2 ( )2( )2 ，(ab)2 (bc)2 (ca)2 b c a (abb bcc caa)2 于是 (a b c)( a b c)2，(a2b b2c c2a)即 a b c.a2b b2c c2a7设 a， b， c 为正数，且不全相等，求证： .2a b 2b c 2c a 9a b c证明：构造两组数 ， ， ； ， ， ，则由柯西不等式得a b b c c a1a b 1b c 1c a(a b b c c a) (111) 2，(1a b 1b c 1c a)即 2(a
7、 b c) 9，(1a b 1b c 1c a)于是 .2a b 2b c 2c a 9a b c由柯西不等式知，式中等号成立 a b b c c aa b c.a b1a bb c1b cc a1c a因题设 a， b， c 不全相等，故式中等号不成立于是 .2a b 2b c 2c a 9a b c三 层 练 习8已知 a， b， cR， a2 b3 c6，则 a24 b29 c2的最小值为_解析：使用柯西不等式求解 a2 b3 c6，1 a12 b13 c6.( a24 b29 c2)(121 21 2)( a2 b3 c)2，即 a24 b29 c212.当且仅当 ，1a 12b 13
8、c即 a2， b1， c 时取等号23答案：12第 4 页 共 5 页 9设 x， y， zR，且满足； x2 y2 z21， x2 y3 z ，则14x y z_解析：由柯西不等式可得( x2 y2 z2)(122 23 2)( x2 y3 z)2，即( x2 y3 z)214，因此 x2 y3 z .因为 x2 y3 z ，所以 x ，解得14 14y2 z3x ， y ， z ，于是 x y z .1414 147 31414 3147答案：314710设 a， b， c， x， y， z 是正数，且a2 b2 c210， x2 y2 z240， ax by cz20，则 ( )a b
9、cx y zA. B. C. D.14 13 12 34解析：由于( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2等号成立当且仅当 t，ax by cz则 a tx， b ty， c tz， t2(x2 y2 z2)10.由题知 t ，又 ，所以12 ax by cz a b cx y z t .a b cx y z 12答案：C11已知函数 f(x) m| x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为1，1(1)求 m 的值；(2)若 a， b， cR ，且 m，求证： a2 b3 c9.1a 12b 13c解析：(1)因为 f(x2) m| x|， f(x2)0 等价于|
10、x| m.由| x| m 有解，得 m0 且其解集为 x| m x m又 f(x2)0 的解集为1，1，故 m1.(2)由(1)知： 1，1a 12b 13c又 a， b， cR ，由柯西不等式得：a2 b3 c( a2 b3 c) 9，(1a 12b 13c) (a1a 2b12b 3c13c)2 即 a2 b3 c9.第 5 页 共 5 页 1证明一般形式的柯西不等式是通过构造了二次函数，利用配方法，通过讨论相应的判别式来证明不等式，特别地要掌握等号成立的充分必要条件2对一般形式的柯西不等式的学习可由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构与特征，对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究3对一般形式的柯西不等式应注意整体的结构特征，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用
