1、课 题： 第 03 课时 一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 均为实数，则dcba,，其中等号当且仅当 时成立。222)()(bdaccba bc定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。|定理 3：（三角形不等式）设 为任意实
2、数，则：321,yxyx2312312322121 )()()()()()( yxyx 二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|.| | .将空间向量的坐标代入，可得到 成 立 .1,23)时 ， 等 号(b使 得 a， 或 存 在 一 个 实 数 k， 0即 共 线 时 ， ，当 且 仅 当a)b)(a( 212321321 iik这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理 4：（一般形式的柯西不等式）：设 为大于 1 的自然数，n（ 1，2， ）为任意实数，则：iba,n221112()()()nnnababab 即教
3、学札记，其中等号当且仅当 时成立（当2112)(niinii baa nabab21时，约定 ， 1，2， ） 。0i 0i n证明：构造二次函数： 2221 )()()() nbxbxxaf 即构造了一个二次函数： niniini a121由于对任意实数 ， 恒成立，则其 ，x0)(f 0即： ，)4(1221niinii bab即： ，)()iiiia等号当且仅当 ，021 nxax即等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ， 1，2， ） 。nabab21 i ibin如果 （ ）全为 0，结论显然成立。i三、应用举例：例 1 已知 a1,a2,an都是实数，求证： 221221)( nna
4、aan分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例 2 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。例 3 已知 22231,xyzxyz求 的 最 小 值 .分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造的 以 及（1 2+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：练习：1设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求 的最小值。zyx9412已知 a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。3已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求 的最大值。cba23选做：4已知 a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。 （08 广一模）5已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求 的最小值。 （08 东莞二模）cba16已知 x+y+z= ，则 m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08 惠州调研)5五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41 习题 3.2 2，3，4，5七、教学后记：
