1、- 1 -专题 10 无处不考的函数性质问题考纲要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点基础知识回顾:1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2定义当 x1x 2时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x 2时，都有 f(x1)f(x 2)
2、，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间2奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数3、奇、偶函数的性质（1）普通性质奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于 y 轴对
3、称；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性- 2 -相反.若 f(x)是奇函数，且在 x0 处有定义，则 0)(f；若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(|x|)（2）在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函 数的积是奇函数【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4函数的周期性（1）周期函数的定义：若 T为非零实数，对于定义域内的任意 x，总有 )(xfTf恒成立，则 ()fx叫做周期函数， 叫做这个函数的一个周期
4、。（2）周期函数的性质：若 是函数 ()fx的一个周期，则 kT( ,0)z也是它的一个周期；若 ()fx的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 )fx的最小正周期；如果对于函数 定义域中的任意 x，满足 ()(fafb，则得函数 (f的最小正周期是|ba。【注】如果对于函数 ()fx定义域中的任意 x，满足 ()()ffx，则得函数 ()fx的周期是 |T；如果对于函数 ()f定义域中的任意 ，满足 ab，则得函数 ()fx的对称轴是 2bax。应用举例:类型一、利用函数性质解决函数零点问题【例 1】 【2017 广东省惠州市高三调研】已知 ()fx是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数
5、，当 01x时， 2()fx如果函数 )gm有两个零点，则实数 m的值为（）A 2()kZB 12()4kZ或 C0 D 12()4kZ或【答案】D- 3 -【例 2】 【2017 新疆兵团农二师华山中学月考】已知函数21,0()ln()xf，若函数()Fxfkx有且只有两个零点，则 k 的取值范围为（）A 0,1B (,)2C 1(,)D (,)【答案】C【解析】由题意， 0,()xf可化为为双曲线241yx在第一象限的部分，渐近线方程为1;2y当 k时，由 ln(1)yx，可得可得 0x，即ln()x在 0处的切线方程为 ，此时函数 Ffk有且只有个零点，因此若函数 Ffkx有且只有两个零
6、点，则 k的取值范围为1(,)2类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题【例 3】 【2017 长郡中学高三入学考试】将函数 sin()cos()yx的图象沿 x轴向右平移 8个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的取值不可能是（）- 4 -A 54B C 4D 3【答案】C【解析】1sin()cos()sin(2)2yxx的图象沿 x轴向右平移 8个单位后得到的函数解析式为1i()i()84,因为该函数为偶函数,所以()42kZ即3()4kZ,由此可知选项 C 不符合题意,故选 C.【例 4】将函数 y cosxsin x(xR)的图像向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图3像关于 y
7、轴对称，则 m 的最小值是( )A. B. C. D.12 6 3 56【答案】C类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题【例 5】 【河南省师范大学附属中学 2018 届高三 8 月开学考试】设函数 ， ，若数列 是单调递减数列，则实数 的取值范围()=(2),2(12)1,f(2)f(3)，所以函数 f(x)在 xN+上是减函数，故有 ,解得 .2(2)2 0减函数，且 ，则 =（ ）(2)=0 |(2)4 |4 C. D.|02 |02或 24 【答案】A- 12 -4已知 ，那么 ( )()=1+22 ()=()A.在区间 上单调递增 B.在 上单调递增(2,1) (0,2)C.在
8、 上单调递增 D.在 上单调递增(1,1) (1,2)【答案】D- 13 -5定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称且对任意的实数 都有Rfx3,04x且 ， ，则 ( )32fxf1f2f12014ff A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】 ，32fxf ff所以,f(x)是周期为 3 的周期函数。则 f(2)=f(1+3)=f(1)=1,f(12)=f(1)=1- 14 -函数 f(x)的图象关于点 成中心对称，3,04f(1)=1f(0)=2f(1)+f(2)+f(3)=1+12=0f(1)+f(2)+f(2014)=f(1)=1故选：A.6 【山西省孝义市 2018 届高三
9、上学期入学摸底考试】下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A. B.3yx2xC. D.1siny【答案】A7 【河南省郑州市第一中学 2018 届高三上学期入学考试】设函数，若关于 的方程 有四个不同的解 ，且21,0 logxfxfa1234,x，则 的取值范围是（）1234xx12434xA. B. C. D.,- 15 -【答案】D【解析】作出函数 和 的图象（如图所示），若关于 的方程 有四个fxtaxfa不同的解 且 ，则 且1234,1234x1223244,logl，即 ，且 ，则 在区间0a1234,x414243xx上单调递增，则 ，即 的取值范围为 ；故选
10、 D.1,44x12434x,点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及 的取值范围. 4x8已知 是定义 在上的偶函数，且 ，若 在 上单调递fxR1fxff1,0减，则 在 上是( )1,3A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数【答案】D- 16 -点睛：抽象函数的周期性质：（1）若 ，则函数 周期为 ；fxTffxT（2）若 ，函数 周期为fxafbab（3）若 ，函数 周期为xfx2（3）若 ，函数 周期为 .1fxaffa9 【江苏省南京师范大学附属中学 2017
11、届高三高考模拟考试二】已知 是定义在区间fx上的奇函数，当 时， 则关于 的不等式1,0x1fxm的解集为_2fmf【答案】 0,- 17 -点睛：解答本题的关键是求出函数 的解析式，在 时， ；关键求fx0x(1fx时， 的过程值得注意，这里充分运用 时， )及0x1fx x奇函数的定义，运用转化的数学思想求出当 ，则x，进而借助奇函数得到 ，从而求,xfx 1fx出 。110 【湖北省荆州中学 2018 届高三第二次月考】已知函数 满足：*,yfxNy对任意的 ，都有 ；对任意的*,mnNmfnfnm都有 .则 _*a3fa1628【答案】66【解析】令 m=n+1, ,得 ，11nfnffnffnf说明 f(x)为单调递增函数，设 ，则 ，显然 ，否则 f(f(1)=f(1)=1，与1aaf(f(1)=3 矛盾。从而 ,而由 f(f(1)=3,即 f(a)=3,又 ，即 ，所以 ，同1a1,ff32a时 ，23f
