1、 第 1 页 共 6 页 三个正数的算数 -几何平均不等式一、选择题1已知正数 x，y ，z，且 xyz6，则 lg xlg ylg z 的取值范围是( )A( ，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)【解析】 6x y z3 ，3xyzxyz 8.lg xlg ylg zlg(xyz)lg 83lg 2.【答案】 B2已知 xR ，有不等式：x 2 2，x 3 3，.启发我们可能推广结论为：1x x1x 4x2 x2 x2 4x2 3x2x24x2x n1(nN *)，则 a 的值为( )axnAn n B2 nCn 2 D2 n1【解析】 ，要使和式的积为定值，则必须
2、nna，故选 A.【答案】 A3设 00， b0，c0，且 abc 1，对于下列不等式：第 3 页 共 6 页 abc ； 27； a 2b 2c 2 .127 1abc 13其中正确的不等式序号是_【解析】 a，b，c (0 ，) ，1abc 3 ，3abc0abc 3 ， 27，(13) 127 1abc从而正确，也正确又 abc 1，a 2b 2c 22(abbc ca)1，因此 13( a2b 2c 2)，即 a2b 2c 2 ，正确13【答案】 三、解答题7(1)求函数 yx 2 (x0)的最小值；3x(2)求函数 yx 2(ax)(x0，a 为大于 x 的常数)的最大值【解】 (1
3、) x0， 0，3x 32x 32x且 x2 (定值) ，32x32x 94yx 2 x 2 3x 32x 32x3 3 .3x232x32x 394 32318当且仅当 x2 ，即 x 时，等号成立，32x 332y 最小值 .32318(2)x0，ax 且 (ax)a( 常数)，x2 x2第 4 页 共 6 页 yx 2(ax)4 (a x)x2x24 3x2 x2 a x34 a3，a327 427当且仅当 ax ，即 x a 时等号成立，x2 23y 最大值 a3.4278已知 a，b，c 均为正数，证明 a2b 2c 2( )26 ，并确定1a 1b 1c 3a，b，c 为何值时，等
4、号成立【证明】 因为 a，b，c 均为正数，由算术几何平均不等式，得a2b 2c 2 3(abc) ， 23 3( abc) .1a 1b 1c 13所以( )29(abc ) . 1a 1b 1c 23故 a2b 2c 2( )21a 1b 1c3(abc) 9(abc) .23 23又 3(abc) 9(abc) 2 6 ， 23 23 27 3所以原不等式成立当且仅当 abc 时， 式和式等号成立当且仅当 3(abc) 9(abc) 时，式等号成立23 23第 5 页 共 6 页 即当且仅当 abc 时，原式等号成立439设三角形三边长为 3,4,5，P 是三角形内的一点，求点 P 到这
5、个三角形三边距离乘积的最大值【解】 设 P 到三角形三边距离分别为 h1、h 2、h 3，又三角形为直角三角形，S 346.12 h13 h24 h356.12 12 123h 14h 25h 3123 .360h1h2h3h 1h2h3 .6460 1615因此点 P 到这个三角形三边距离乘积的最大值为 .1615教师备选10如图(1)所示，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值【解】 设正六棱柱容器底面边长为 x(0x 1)，高为 h，由图可有 2h x ，3 3h (1x )，32VS 底 h6 x2h x2 (1x)34 332 32第 6 页 共 6 页 9 (1x )9( )3 .x2 x2 x2 x2 1 x3 13当且仅当 1x ，即 x 时，等号成立x2 23所以当底面边长为 时，正六棱柱容器容积最大值为 .23 13
