1、初中数学“函数图象与性质”的教学研究 孙晓佳 （清华附中、高级教师） 一、对函数图象与性质知识的深层次理解 （一）函数图象与性质的知识结构与框架图 初中数学中，函数专题包含四部分内容具体如下： （ 1 ）函数的概念及图象：函数的概念，函数的表示方法，函数的定义域，函数的图象； （ 2 ）一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图象，一次函数的性质，直线与坐标轴的交点，一次函数与一次方程、不等式，实际问题与一次函数； （ 3 ）反比例函数：反比例函数的解析式，反比例函数的图象，反比例函数的性质，实际问题与反比例函数； （ 4 ）二次函数：二次函数的解析式，二次函数的图象，二次函数的性质，抛物线与坐
2、标轴的交点，二次函数与二次方程、不等式，实际问题与二次函数 函数的图象与性质贯穿着这个专题的每个内容，是每种函数都要着重研究的对象，通过对函数的图象与性质的研究，可以让学生更好的理解函数的概念，更好的应用函数解决相关问题 （二）函数图象与性质在中学数学中的地位与作用 1 函数是初高中的一个重要衔接点：函数知识是初中代数内容的重要组成部分，贯穿于整个初中数学体系之中熟悉高中知识的老师应该知道，高中数学多数知识都是与函数有着紧密的联系所以初中函数的学习为高中数学的学习奠定了重要的基础 2 函数与其他知识的关联：函数在初中代数中具有统领的地位，与方程、不等式联系紧密，相互结合才真正让代数内容上升到一
3、定高度，真正体现了函数的强大作用，可以解决更多的代数问题，这一点在高中代数中体现的更加明显另外，函数在动态几何中有广泛的用处，可以对图形进行一些定量的分析，这一点在初中数学的学习中很重要 3 函数的学习引领着思维方式的转变：函数是在一个变化过程中两个变量的一种特殊对应关系函数的学习实际上是定量知识到变量知识的一个飞跃，同时使学生学会了用运动变化和联系对应的观点看问题函数与方程是一种重要的数学思想方法，同时还渗透着数形结合等数学思想 4 函数在实际生活中的应用：函数来源于生活，并用于生活它与生活实际联系密切，是实际生活中数学建模的重要工具之一在中学阶段，我们碰到的函数应用问题以一些理想化的或简化
4、的问题为主，但这是基础对于学生来说，也许在将来才能真正体会到函数应用对于研究和生活生产的强大作用 （三）函数图象与性质的教学内容的重点和难点 . 函数图象与性质专题包含以下内容：函数的概念及图象，一次函数，反比例函 数和二次函数的图象与性质具体的教学重难点如下： 教学重点 ： 1 函数的概念及图象； 2 一次函数的图象与性质，直线与坐标轴的交点，一次函数的单调性； 3 反比例函数的图象，反比例函数的单调性，图象的对称性； 4 二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称性，单调性，最大值与最小值 教学难点： 1 函数解析式中的参数与图象变换之间的关系； 2 用函数图象解决方程、不等
5、式的问题； 3 函数的单调性及在求最大（小）值、比较大小中的应用； 4 与函数图象有关的面积问题； 5 实际问题的函数关系及函数图象 二、函数图象与性质的教学策略 （一）怎样进行函数图象与性质教学引入的设计 让学生掌握正比例函数与一次函数解析式的特点及意义，知道一次函数与正比例函数关系，会用简单方法画一次函数图象，理解一次函数图象特征与解析式的联系规律 例 1 ，画出函数 y =-6 x 与 y = -6 x +5 的图象并比较两个函数图象，探究他们的联系及解释原因 列表 描点 连线 引导学生从图象形状，倾斜程度及与 y 轴交点坐标上比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中
6、k 、 b 在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现 比较两个函数的图象的相同点与不同点 结论：一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y = kx + b ，它可以看作由直线 y = kx 平移 b 绝对值个单位长度而得到（当 b 0 时，向上平移；当 b 0 时，向下平移） 通过活动，可以让学生加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律 例 2 ，画出函数 y = x +1 、 y =- x +1 、 y =2 x +1 、 y =-2 x +1 的图象由它们联想：一次函数解析式 y = kx + b （ k 、 b 是常数， k
7、 0 ）中， k 的正负对函数图象有什么影响？ 通过活动，熟悉一次函数图象画法经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系 引导学生从函数图象特征入手，寻求变量数值变化规律与解析式中 k 值的联系 发现性质： 形的角度：当 k 0 时，直线 y = kx + b 由左至右上升；当 k 0 时， y 随 x 增大而增大；当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内， y 值随 x 值的增大而减小 （ 3 ）当 k 0) 和 y = - ax 2 ( a 0) 的图象怎样画更简便？
8、抛物线 y = x 2 与抛物线 y = - x 2关于 x 轴对称，只要画出 y = ax 2 ( a 0) 和 y = - ax 2 ( a 0) 中的一条抛物线，另一条可利用关于 x 轴对称来画 从而探究二次函数 y = ax 2 （ a 0 ）的图象性质： 二次函数的 y = ax 2 图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，这条抛物线关于 y 轴对称， y 轴就是抛物线的对称轴对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点注意：顶点不是与 y 轴的交点 当 a 0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图象在 x 轴的上方 ( 除顶点外 ) ；当 a 0 时，抛物线的开口向
9、上，顶点是抛物线上的最低点； 当 a 0 ，函数值 y 0 时，则图象在第一象限；若图象经过第三象限，则说明此时自变量与函数值均取负值如果图象或它的一部分在 x 轴的上方，表示此时的函数值为正；如果图象或它的一部分在 x 轴的下方，表示此时的函数值为负图象与 x 轴交点的横坐标，表示当自变量等于这个值时，函数值为 0 ；图象与 y 轴交点的纵坐标，表示当自变量等于 0 时对应的函数值图象经过原点，表示自变量等于 0 时，函数值也等于 0 （ 3 ）函数的增减性与函数图象的升降关系 如果函数值 y 在某一变化范围内，随着 x 的增大而增大，表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是上升的；如果函数
10、值 y 在某一变化范围内，随着自变量 x 的增大而减小，表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是下降的 函数的增减性是一个局部概念，可以在自变量的整个取值范围内考虑，也可以在自变量某一个较小的变化范围内考虑反映在图象上，可以观察整个图象的升降情况，也可以观察某一段图象的升降情况只要函数的某段图象是上升的，就说明函数在这一段图象所对应的自变量变化范围内， y 随 x 的增大而增大；只要函数的某段图象是下降的，就说明函数在这段图象所对应的自变量变化范围内， y 随 x 的增大而减小 （ 4 ）函数的最大值、最小值与函数图象上最高点、最低点间的关系 如果函数图象有最高点，那么最高点的纵坐标就是这个函
11、数的最大值，最高点的横坐标就是函数达到最大值时的自变量的值 如果函数图象有最低点，那么最低点的纵坐标就是这个函数的最小值，最低点的横坐标就是函数达到最小值时的自变量的值 如果函数图象无最高点也无最低点，那么这个函数就既没有最大值也没有最小值 如抛物线 上的最低点是（ 1 ， 3 ），则函数 当 x 1 时达到最小值 3 抛物线 上的最高点是 则函数 时达到最大值 直线 y =2 x -1 的图象既无最高点又无最低点，所以函数 y =2 x -1 既无最大值也无最小值 要注意，函数是否有最大值和最小值，是在自变量的整个取值范围内考虑的最值问题是一个整体概念，要观察整个图象是否存在最高点和最低点
12、例 右图所示的是某个函数的图象根据图象分析函数的单调性及最大值最小值 教师在讲解时要引导学生去观察图象变化趋势，从而得出结论：函数不存在最大值，也不存在最小值这是因为函数的图象在第一象限向上方无限延伸，在第三象限向下方无限延伸，无最高点也无最低点有的同学可能认为点（ 1 ， 1 ）是图象的最高点，点（ 3 ， 1 ）是图象的最低点，这是错误的 但是，函数的增减性是存在的因为函数的增减性不必在自变量的整个变化范围内考虑由图象知：当 x 1 或者 x 3 时，图象是上升的说明函数分别在这两个范围内，y 随 x 的增大而增大；当 1 x 3 时，图象是下降的，说明函数在这个范围内， y 随 x 的增
13、大而减小 有关函数的图象和性质，在初中阶段只是做一初步了解，更高层次的讨论，有待于在高中阶段进行 （三）怎样突破函数图象与性质教学中的难点 1 函数图象的变换与解析式变化之间的关系： 随着函数解析式的形式或其中系数的变化，函数的图象随之会发生变化例如一次函数中的 k , b ，反比例函数中的 k ，二次函数中的 a , b , c 等 例 1 若反比例函数 ，当 x 0 ， y 随 x 的增大而增大，则一次函数 y = kx k 的图象经过第几象限（ ） A 、一、二、三 B 、一、二、四 C 、一、三、四 D 、二、三、四 讲解本题时，要引导学生入手点，需要抓住什么量去思考？根据题的条件可知
14、要判断 y = kx - k 的位置，需知道 k 的符号，由已知 , 当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大，所以 k 0 时， 4 m 0 ，故 A 对， D 不对；当 m -10 ，故 B 对，后者又 4 m a ，那么 b 和 b 有怎样的大小关系？ 问题（ 1 ）需要教师交代清反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限 . 由条件知这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限因此这个函数的图象分布在第一、三象限，可以引导学生利用所学过的不等式的知识可以求出 m 的取值范围，即 m 50 ，解得 m 5 问题（ 2 ）的讲解，要交给学生由图
15、看数的方法，即由函数的图象可知，在双曲线的一支上， y 随 x 的增大而减小所以当 a a 时， b 0 ）， AC x 轴，垂足为点 C ，且 AOC 的面积为 2 （ 1 ）求该反比例函数的解析式 （ 2 ）若点（ a ， y 1 ），（ 2 a ， y 2 ）在该反比例函数的图象 上，试比较 y 1 与 y 2 的大小 先由学生独立思考寻找解题的途径，在学生思考过程中教师应给予适当指导学生能否借助新旧知识的联系，转化迁移旧知识 通过 Rt AOC 的面积 ，可知 x A y A =4 又因为点 A 在双曲线上，所以 x A y A = k ，可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质，
16、k 0 ， y 随 x 的增大而减小知，自变量 x 越大，函数值反而小，通过比较 a 与 2 a 的大小可知 y 1 与 y 2 的大小 例 3 正比例函数 y = kx （ k 0 ）与反比例函数 的图象相交于 A 、 C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B ，连接 BC ，若 ABC 的面积为 S ，则（ ） A . S = 1B . S = 2 C . S = 3 D . S 的值不确定 本例题注意引导学生充分利用反比例函数图象的对称性，将所求的三角形面积进行割转换成特殊的三角形来解决问题，根据反比例函数的解析式中比例系数与有关三角形面积的关系，易求出 AOB 的面积，要求
17、ABC 的面积只需找到 OBC 和 OAB 的关系，发现 AO = CO ，而且高相同，所以面积相等 例 4 如图两条抛物线 与分别经过点 (-2,0),(2,0) 且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 8 这是一个非多边形的面积可以采用割补法，把阴影部分面积转化为一个矩形的面积而如何转化是讲解的关键点，这种转化的思想在初中数学中是经常用到的 . 2 通过函数图象的交点研究方程、不等式的问题 函数与方程、不等式的结合使得代数问题上升了一个高度，能够理解三者之间的关系，并能从函数的角度来解释方程和不等式的问题，是解决问题的关键 就拿一次函数为例，谈谈函数与方程、不等式之间的关系 (
18、1) 一次函数与一元一次方程： 由于任何一元一次方程都可以转化为 ax + b =0 （ a 、 b 是常数且 a 不为 0 ）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值从图象上看这相当于已知直线 y = ax + b ，确定它与 x 轴交点的横坐标的值 (2) 一次函数与一元一次不等式 由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax + b 0 或 ax + b 0 相当于已知直线 y = ax + b 在 x 轴上方时，自变量 x 相应的取值范围；解 ax + b 0 在函数与不等式关系的教学中，应该让学生理解关于 x 或 y 的不等式在图象上如何体现
19、，如何把图象上的信息用不等式表示出来是解决问题的关键，这一点上教学中应该注意引导学生 . 例 5 ：画出二次函数 y=x 2 - x- 2 的图象，观察函数值 y 2 C 1 2 探究二次函数与一元二次不等式的关系在初中阶段只是一个初步的了解，不易过难，过深去要求学生，这个知识点是为高中的一元二次不等式的学习打基础所以教师在讲解时要注意把握好度 . 三、学生常见的问题及解决的策略方法 （一）从函数图象中获取信息解决问题的困惑 函数图象中总是蕴含着很多的信息，学生的困惑是如何把实际问题与函数图象联系起来，学生总是不知如何提取重要信息，通过例题讲解，要让学生学会如何在函数图象中获取信息，并通过图象
20、中的数据来求解 例汽车由天津驶往相距 120 千米的北京， S （千米）表示汽车离开的距离， t （小时）表示汽车行驶的时间 S 与 t 的关系如图所示 (1) 汽车用几小时可到达北京？速度是多少？ (2) 汽车行驶 1 小时，离开天津有多远？ (3) 当汽车距北京 20 千米时，汽车出发了多长时间？ 解法一：用图象解答： 从图上可以看出 4 个小时可到达 速度 12 0 4= 30 （千米时） 行驶小时离开天津约为 30 千米 当汽车距北京 20 千米时汽车出发了约 3 3 个小时 解法二：用解析式来解答： 由图象可知： S 与 t 是正比例关系，设 S = kt ，当 t =4 时 S =
21、120 即 120= k 4 k =30 S =30 t 当 t =1 时， S =301=30 （千米） 当 S =100 时， 100=30 t ， t = （小时） 老师在教学时，给学生讲解清楚以上两种方法优劣：用图象法解题直观，用解析式解题准确 在教学中让学生学会数形结合的方法、体会数形结合的思想是解决问题的关键老师通过例题的讲解，让学生体会何时需要观察图象确定信息，何时需要使用解析式通过计算来进行定量分析 （二）描述反比例函数单调性及应用问题的困惑 学生在描述和使用反比例函数的单调性的时候总是容易犯一个错误：忘记考虑所在象限反比例函数并不是连续单调递增或递减的，而是具有局部的增减性，
22、因此在描述反比例函数的单调性时，必须要强调在各自象限内关于使用单调判断函数值的大小时，更应该注意自变量是否同号或异号这一点应该让学生记住，并且通过例题让学生真正体会和理解 例 1 （ 1 ）若点（ x 1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ），（ x 3 ， y 3 ），都在反比例函数的图象上，并且 x 1 0 ， ，则 的大小关系是 这些问题实际上是强调了反比例函数变化趋势的描述；比较两个函数值的大小，教学中教师要注意给学生分析清楚两个自变量是否在同一个增减区间内；交代明白比较大小时要注意自变量异号时应使用函数值的正负判断，让学生去体会函数值同号时应使用函数单调性来判断的技巧 （三）通
23、过函数图象确定解析式中系数关系问题的困惑 同一类函数的图象是类似的，例如一次函数的图象都是直线，反比例函数的图象都是双曲线，二次函数的图象都是抛物线但是随着系数的变化，图象的形状也会有小幅变化另外系数也影响着函数图象的形状和位置在同一坐标系中两个函数图象的位置与形状、如何通过图象之间的关系来确定系数的大小关系是学生难以解决的问题，所以通过例题可以让学生理解 例 1 如图是三个反比例函数 在 x 轴上方的图象，由此观察得到 k 1 , k 2 , k 3 . 的大小关系是 教学中教师应讲解清楚反比例函数的图象都是双曲线，但是由于系数 k 的不同，图象也会有区别，如何联系系数与图象位置是一个难点对
24、于不同象限的图象，系数的关系是显然的，而对于同象限的图象， 反比例函数的系数 k 之间的大小关系可以通过取特殊值来确定对这一难点应从特殊到一般逐渐渗透其变化规律 . 例 2 在同一直角坐标系中，函数 和 （ k 为常数且 ）的图象只可能是（ B ） 这是一类非常常见的问题，考查两个函数在同一坐标系中的图象教师在讲解这一类问题时，要从不同的角度去思考，如从一次函数的图象入手解决或从反比例函数图象入手解决，让学生去比较每种方法的特征，体会解决问题多途径的思维方式 . 例 3 如图是二次函数 y=ax 2 + bx+c 的图象，试判断以下各式的值的符号(1) a ； (2) b ； (3) c ；
25、(4) b2 -4 ac ；(5) 2 a b ； (6) a b c ； (7) a b c 这类 典型问题，教师在讲解时要抓住突破点，交待清楚二次函数中有关字母系数与图象之间的关系，引领学生学会根据图象确定系数的特征引领学生理解上述几种问题的做法，让学生感悟从图象中获取相应的信息，从而确定系数所应该满足的条件在教师的引导下让学生去总结常用到的一些特殊条件解决问题有效途径，如开口方向，对称轴的位置，与 x 轴交点的个数与位置，与 y 轴交点的位置，一些特殊点的位置等 例 4 抛物线 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为 （ D ） 在教学中教师应善于引导学生将
26、所学过的知识进行串联，从中寻找出各块知识的联系与区别，引导学生学会此类问题是由图象先确定系数的大小，再由系数特征确定新的函数图象教师教学中要交代清楚此问题中要知道抛物线与 x 轴的交点个数与其对应的一元二次方程判别式之间的关系，还有系数和与当 x =1 时的函数值之间的关系 （四）利用函数图象分析实际问题的困惑 实际问题、动态几何等问题中经常会有两个变量的函数关系要学会通过问题确定函数图象，有些可以确定解析式，有些不容易确定解析式，但可以通过变量的变化趋势分析得到图象有些问题是已知函数图象，需要得到实际问题的相关条件有以下几类问题需要让学生掌握： 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中， D
27、AB 60 ， AB 5 ， BC 3 ， P 从起点 D 出发，沿 DC 、 CB 向终点 B 匀速运动设点 P 所走过的路程为 x ，点 P 经过的线段与线段 AD 、 AP 所围成图形的面积为 y ， y 随 x 的变化而变化在下列图象中，能正确反映 y 与 x 的函数关系的是（ A ）本例代表着一种类型，在动态几何中，两个变量之间的关系是可以用解析式表示的，所以教师应在如何有形寻找出式，再由式确定形这一方法上讲解到位，讲解明白，让学生领悟其中的联系和解决问题的数学方法 . 例 2 如图， C 为 O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交 O 于 D 、 E 两点， 且 ACD =4
28、5 ， DF AB 于点 F , EG AB 于点 G , 当点 C 在 AB 上运动时，设 AF = x ， DE = y ，下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是 （ A ） 讲解此题时，可以与上题进行对比它们的不同点，交待给学生在动态几何中，两个变量之间的关系不容易用解析式表示，如何用两个变量的变化趋势来确定大致图象 例 3王芳同学为参加学校组织的科技竞赛，她周末到新华书店购买资料如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（B） 本例和上面两个问题不同已知问题中两个变量的函数图象，判断实际问题中的相关条件所以教师在讲解过程中要引导学生如何从生活实际中提炼出有关数学问题，再用数学方法解决实际问题 . （五） 通过函数图象求解方程、不等式时估算问题的困惑 函数与方程、不等式的关系前面已经提过，但对于一个实际问题，真正通过函数图象去求解方程、不等式的时候，可能并不易看出结果，需要通过估算来确定近似解估算是一种方法，一种意识，而学生常常通过用代数方法或借助计算器等工具求解而忽略估算所以通过教学要让学生理解估算的作用，培养估算的意识，以获得更多的解决问题的方法
