1、有趣的数学问题【例 1】 豹子和狮子进行 100 米往返比赛。豹子一步 3 米，狮一步 2 米，但豹子跑 2 步的时间狮子可以跑 3 步。谁获胜？分析与解答：豹子两步跑 32=6 米，相同时间里狮子跑 23=6 米，两者的速度一样。但由于 100 米正好是 2 米的 50 倍，也就是狮子 100 米正好跑 50 步，而豹子 100 米要跑 1003=33步1 米，也就余下的 1 米也得跑一步，这样就浪费了时间。因此，狮子获胜。【例 2】有一口 9 米深的井，蜗牛和乌龟同时从进底向上爬。因为井壁滑，乌龟白天向上爬3 米，晚上向下滑 1 米；而蜗牛白天向上爬 2 米，晚上向下滑 1 米。问：当乌龟
2、爬到井口时，蜗牛距井口多少米？分析与解答：乌龟每天白天爬 3 米，晚上向下滑 1 米，也就是每天向上爬 2 米。但最后一天向上爬的高度是 3 米，因此，乌龟爬到井口需要（9 3）（31 ）1=4 天。而蜗牛每天只上升 21=1 米，因为乌龟是第 4 天白天爬上井口的，所发，蜗牛第 4 天不应该考虑“ 晚上下滑 1 米”，那时，蜗牛距井口 9（4 1 ）=4 米。【例 3】甲、乙两人进行 3000 米长跑，甲离终点还有 500 米时，乙距终点还有 600 米。照这样跑下去，当甲到达终点时，乙距终点还有多少米？分析与解答： 根据题意可知，甲跑 3000500=2500 米，乙只能跑 3000600
3、=2400 米，即甲跑25 米，乙跑 24 米。因为 500 米中含有 20 个 25 米，即甲再跑 20 个 25 米就可到达终点，同时乙只能跑 20 个 24 米，所以乙离终点还有 6002420=120 米。【试一试】1、一只蜗牛从 9 米深的井底向上爬，白天向上爬 5 米，晚上又退下 4 米。这只蜗牛几天几夜才能爬到井口？2、甲走 2 步的距离乙要走 5 步，甲走 3 步的时间乙可以走 8 步。他们谁走得快？3、B 处的兔子和 A 处的狗相距 56 米，狗跑 3 次的时间与兔子跳 4 次的时间相同。兔子跳出112 米的 C 处被狗追上。兔子一跳前进多少米？4、甲、乙、丙三人进行 60
4、米赛跑，当甲到达终点时，比乙领先 10 米，比丙领先 20 米。如果按原速前进，当乙到达终点时，将比丙领先多少米？你能判断正方体对面的数字吗【例 4】一个正方体 6 个面上分别写着 1、2、3、4、5、6。根据下图摆放的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几。分析：如果直接思考哪个数字的对面是几，有一定的困难。我们可以这样想：这个数字的对面不会是几。（1）从（A） 、 （B）两种摆法中可以看出：4 的对面不会是 2、5，也不会是 1、6，那么，4 对面一定是 3；（2）从（B ） 、 （C ）两种摆法中可以看出：1 的对面不会是 4、6，也不会是 2、3，那么，1 的对面一定是 5；（3）剩下
5、 2 的对面一定是 6。答：1 的对面是 5，2 的对面是 6，3 的对面是 4。 【例 5】 一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于 13，小明能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为 18；小亮能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为 24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？分析与解答：大家先想想，我如果用 18 加上 24 的话，得到是哪几个面的和？是 4 个侧面和 2 个顶面的和！而四个侧面的和应该是：131326，这时就可以计算出顶面的数是：（182426）28，于是底面的数是：1385.【试一试】1，一个正方体的 6 个面分别涂着红、黄、白、黑、绿六种
6、颜色，根据下面的三种摆法，判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。2，根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什么？ 3，下图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的六个面都按同样的顺序写有1、2、3、4、5、6 六个数字，请写出每个数字的对面上的数字是几。最大最小问题在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近” 、 “费用最省”、 “面积最大”、 “损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题” 。 解答最大最小问题通常要用下面的方法：（1）枚举比较法。当题中给定
7、的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；（2）着眼于极端情形，即充分运用已有知识和生活常识，一下子从“极端” 情形入手，缩短解题过程。【例 6】有 8 个西瓜，它们的重量分别是 2 千克、3 千克、4 千克、4 千克、5 千克、6 千克、8.5 千克、10 千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？分析与解答：3 堆西瓜的总重量是 42.5 千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。根据 42.53=14 千克0.5 千克可知：最重的一堆是 140.5=14.5 千克，即由 6 千克和 8.5 千克组成，另外两堆分别是 14 千
8、克。【例 7】 一次数学考试满分 100 分，6 位同学平均分为 91 分，且 6 人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得 65 分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）分析与解答：除得 65 分的同学外，其余 5 位同学的总分是 91665=481 分。根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得 100 分和 99 分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得 95 分。下面的题目你可以参照上面的例子亲自体验一下。【试一试】1、一把钥匙只能开一把锁。现有 9 把钥匙和 9 把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙
9、和锁？2、如果四个人的平均年龄是 25 岁，其中没有小于 17 岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？3、五位同学捐款，他们捐的钱有 3 张 1 元的，4 张 2 元的，3 张 5 元的和 3 张 10 元的。这五位同学捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？.4、一次考试满分 100 分，5 位同学平均分是 90 分，且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了 75 分，那么，第一名同学至少得了多少分？5、有五人来理发，按发型所用时间是 10、12、15、22 和 24 分钟。由两位师傅同时为这五人理发，问怎样安排，使五人理发和等候的时间总和最少，最少是多少分钟？
10、.图表中的最大最小问题 【例 8】把 1、2、3、 16 分别填进图中 16 个三角形里，使每边上 7 个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？分析与解答：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处 D 中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数 1。而三个角上的 a、b、c 六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填 1116。然后根据“三角形三边上 7 个小三角形内数的和相等” 这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。（23416111213141516）3=72 【例 9】 一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割
11、好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输） ，这两组从开工到完工最少经过多少小时？分析与解答：先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆 7+5=12 小时，谷子 3+6=9小时，高梁 5+1=6 小时，小米 5+9=14 小时。平均每个小组用（12+9+6+14 ）2=20.5 小时，但实际做不到。因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近 20.5 小时。12+9=21 小时是最少经过的时间。【试一试】1，将 5、6、7、8、9、10 六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？ 2，把 29 分别填入
12、下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。3，如下图，有两条垂直相交的线段 AB、CD，交点为 E。已知 DE=2CE，BE=3AE。在 AB 和CD 取 3 个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？ 鸡兔同笼中“ 两数之差” 问题的解法【例 10】 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 28，问鸡与兔各几只？分析与解答：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 28214（只） ，鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 422（倍） ，于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只数是：（100282）（21）38（只）.鸡是：1003862（只）.答：鸡 62 只，兔 38
13、 只.当然也可以去掉兔 2847（只）这时鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 422（倍） ，于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍，所以原来兔的只数是（100284）（21）738（只）【例 11】买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角。已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？分析与解答： 如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多。（680840）（84）30（张） ，即余下的邮票中，8 分和 4 分的各有 30 张。因此 8 分邮票有 403070（张）.答：买了 8 分的邮票 70 张，4 分的邮票 30 张.
14、另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差” ，总脚数也换成“两数之差”.【例 12】古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了 20 个字。问两种诗各多少首？分析与解答：如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差541320280（字）.每首字数相差：7454 8（字）.因此，七言绝句有：280835（首）.五言绝句有：351348（首）.答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首.【例 13】有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只 2 角
15、，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是 20000.2400 元。但破损一只要减少 10.21.2（元）.因此破损只数是（400379.6）（10.2）17（只）.答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶。对联中的数学趣题对联是我国传统文化艺术中的一项瑰宝。不少对联与数学结缘，成为佳联妙对。我们在欣赏这些对联时，既提高了文学修养，又感受到数学的魅力，别有一番情趣。如古代穷苦人家的一幅对联：二三四五；六七八九。横批：南北。 这幅对联全部由数字组成，初看平淡无奇，实则含蓄深刻，对联运用了谐音手法，意为缺
16、衣（一）少食（十） ，没有东西。这也成了条内涵丰富的谜语。而将数学演算引入对联之中，则更能激发读者的兴趣和启迪人们的思维智慧。例如： “ 六尺红绫，三尺系腰三尺吊；一幅锦被，半幅遮身半幅闲。 ”这是古时一对新婚夫妇花烛之夜吟成的一幅对联，联语中运用了减法：上联六减三还剩三，下联一减半还剩半。 “绿鸭浮水，数数一双四只；赤蛇出洞，量量九寸十分。 ”这是一幅加法联， “绿”与“ 赤”属颜色相对，同时谐音“ 六” 与“尺”。上联讲鸭的只数：一双加四只是六只；下联讲蛇的长度：九寸加十分为一尺。“北斗七星，水底连天十四点；南楼孤雁，月下带影一双飞” 。采用倍数计算，由星空、水底、孤雁、月影，构成一幅月夜
17、雁飞图，充满着诗情画意。“七里山塘，行到半塘三里半；九溪蛮洞，经过中间五溪中。 ”取其半数，对仗十分工巧。下面再看两幅蕴含数学趣题的对联：【例 13】大家知道被列为 “唐宋八大家”之一的苏东坡，诗词歌赋，书法绘画，出联对句，样样精通，被誉为“ 全能文学家 ”。传说有一天,他去金山寺为诗僧老友佛印禅师祝寿。席间，即兴为佛印禅师写了一幅寿联，上联是：“花甲一周，尚余半百岁月” ；下联是：“古稀双度，犹欠三十春秋”。实际上这幅为禅师祝寿的对联，上下联都是说的佛印禅师的岁数。上联中的“花甲 ”是指 60 岁， “半百”是指 50 岁， “尚余”就是还多的意思。可列算式为：6050110（岁）下联中的“
18、古稀 ”是指 70 岁，杜甫诗句中不是有：“人生七十古来稀。 ”吗！“ 双度”是指 2 个 70 岁，“犹欠”就是还差的意思。可列算式为： 70230 110 （岁） 所以佛印禅师当时的年龄是 110 岁。 【试一试】清朝乾隆皇帝下江南，遇到一位老寿星，当即乾隆皇帝赠送一幅对联的上联给老人：“花甲重开，又加三七岁月。 ”一同来的纪晓岚马上对出下联：“ 古稀双庆，更多一度春秋。 ” 两人说的都是这位老寿星的年龄，聪明的你能算出老寿星的年龄吗？学会用“假设法 ”解题【例 14】：有两次智力测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错或不答 1 题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1
19、 题得 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？分析与解答解法一：假设小明第一次测验 24 题全对，得 524=120（分）.那么第二次只做对 30-24=6（题）得分是：86-2（15-6） =30（分）. 两次相差：120-30=90（分） 。 比题目中条件相差 10 分，多了 80 分，说明假设的第一次答对题数多了，要减少第一次答对题，减少一题少得 5+1=6（分） ，而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分，因此增加 8+2=10 分.两者两差数就可减少6+10=16（
20、分） 。因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少（90-10）（6+10）=5（题） 。也就是第一次答对：24-5=19（题） ，第二次答对：30-19=11（题）.第一次得分：519-1（24- 9）=90（分） 。第二次得分：811-2（15-11 ）=80（分） 。答：第一次得 90 分，第二次得 80 分.解法二：因为两次共答对 30 题，所以两次共答错： 24+15-30=9（题）.假设答错 9 题都是第一次，要从满分中扣去 69=54（分） 。但两次满分都是 120 分，比题目中条件“第一次得分比第二次多 10 分” ，要少了 54+10=64（分） 。根据解法一可知：第一次答错一
21、题，要从满分中扣去 5+1=6（分） ，第二次答错一题，要从满分中扣去 8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差 6+10=16（分）.因此，第二次答错题数是：（69+10）（6+10）=4 （题） 。 第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5（24-5 ）-15=90 （分）.第二次得分 8（15-4 ）-24=80 （分）.答：第一次得 90 分，第二次得 80 分. 趣题巧解:阿米巴的繁殖【例 15】有一种变形虫叫阿米巴，它的繁殖是成倍地分裂增长，即一变二、二变四、。每分裂一次需三分钟，在瓶子里放一个阿米巴，一小时后充满瓶子，请你想一想，如果开始时放 2个阿米巴，多少分钟后
22、充满瓶子？【分析与解答】阿米巴每三分钟分裂一次，因此从 1 个阿米巴变为 2 个，需要 3 分钟。如果 1个瓶子里放 1 个阿米巴，60 分钟可充满瓶子。因此，瓶子里放 2 个阿米巴，只需 60-3=57（分钟）就可以充满瓶子。解题的关键是注意“开始时有 1 个阿米巴” 与“开始时有 2 个阿米巴”，这两种情况之间的关系，前一种情况经过三分钟就变成后一种情况，所以从后一种情况到充满瓶子比前一种少用 3 分钟。合理分类巧计算【例 16】题目：123499100 的积的末尾有多少个连续的“0”？分析：要求出积的末尾有多少个连续的“0” ，首先应当弄明白那些情况可能使积的末尾出现若干个连续“0”？末
23、尾出现 0 的情况有两种：第一种是因数末尾带有“0” ，如 10、20、3090 、100，把这 10 个数连乘，积末尾连续的“0”的个数容易计算出来；第二种是个位是 5 的数与任何一个偶数相乘，末尾会出现“0”，如 5，15，2585，95。把这 10 个数与 10 个偶数相乘，积末尾连续“0” 的个数也容易算出来。不过，对第二种情况的分析又提醒我们发现刚才分析第一种情况的一点疏忽，就是在第一种情况所列举的 10 个数中，50 与偶数相乘，末尾是两个“0”。不能不考虑这个特殊情况，不然会漏算一个“0”；既然这样，25 、75 也有些特别，他们与偶数相乘又会出现 50、150，50、150 再与偶数相乘，末尾也都是两个“0” 。你看，稍不留心，差点少算了三个 “0”！因此，1X2X3X4X99X100 的积的末尾出现连续的 “0”的个数应当是：11+1+10+2=24（个） 。【试一试】请同学们思考：11991 这 1991 个数中，共有多少个数字“0”？
