1、双玉远程教育学校【高等数学基础】形成性考核册答案【高等数学基础】形考作业 1 答案：第 1 章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等A. ， B. ，2)(xfxg(2)(xfxg)(C. ， D. ，3lnln112分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A、 ，定义域 ； ，定义域为 R2()fxx|0xxg)(定义域不同，所以函数不相等；B、 ， 对应法则不同，所以函数不相等；2fg)(C、 ，定义域为 ， ，定义域为3()lnlxx|xxln3)(|0x所以两个函数相等D、 ，定义域为 R； ，定义域为1)(f 21(
2、)|,1R定义域不同，所以两函数不等。故选 C设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C）对称)(xf ),()(xfA. 坐标原点 B. 轴xC. 轴 D. yy分析：奇函数， ，关于原点对称()(ff偶函数， ，关于 y 轴对称x与它的反函数 关于 对称，1fx奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设 ，则gffgffxg所以 为偶函数，即图形关于 y 轴对称x故选 C下列函数中为奇函数是（B）A. B. )1ln(2yxycosC. D. xa )1ln(分析：A、 ，为偶函数22l()lB、 ，为奇函数coscosyxxyx或者 x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇
3、函数C、 ，所以为偶函数2ay双玉远程教育学校D、 ，非奇非偶函数ln(1)yx故选 B下列函数中为基本初等函数是（C）A. B. xyC. D. 2xy0,1分析：六种基本初等函数（1） （常值）常值函数c（2） 为常数幂函数,yx（3） 指数函数01a（4） 对数函数log,（5） 三角函数sin,cstan,cotyxyx（6） 反三角函数,1ta,ctrycxyrx分段函数不是基本初等函数，故 D 选项不对对照比较选 C下列极限存计算不正确的是（D ）A. B. 12limx 0)1ln(im0xxC. D. 0sns分析：A、已知 linx22 221limlilim0xxxB、 0
4、lin(1)l(0)x初等函数在期定义域内是连续的C、 sillsinxx时， 是无穷小量， 是有界函数，1ix无穷小量有界函数仍是无穷小量D、 ，令 ，则原式sinlimsl1xx0,tx0sinlm1t故选 D当 时，变量（C）是无穷小量0A. B. xsinx双玉远程教育学校C. D. x1sin2)ln(x分析； ，则称 为 时的无穷小量lm0affxaA、 ，重要极限ixB、 ，无穷大量01liC、 ，无穷小量 有界函数 仍为无穷小量snxx1sinxD、 0lim(2)=l0+ln2故选 C若函数 在点 满足（A ），则 在点 连续。f )(xf0A. B. 在点 的某个邻域内有定
5、义)(li00xfxC. D. f )(limli00xffxx分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即 00lixffx连续的充分必要条件 0 00limlix xfff故选 A（二）填空题函数 的定义域是 )1ln(39)(2xxf|3x分析：求定义域一般遵循的原则（1） 偶次根号下的量 0（2） 分母的值不等于 0（3） 对数符号下量（真值）为正（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于 1（5） 正切符号内的量不能取 0,12k然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域要求)1ln(39)(2xxf得 求交集 2013或 3 1定义域为 |x已知函数
6、，则 x2-x f2)()(f分析：法一，令 得1tt则 则f t2fx法二， 所以()()1x()1tt x21(lim双玉远程教育学校分析：重要极限 ，等价式1limxxe10limxxe推广 则xafli()fxa则li0xaf1lifxxae21m()()2若函数 ，在 处连续，则 e 0,1xkxf k分析：分段函数在分段点 处连续 000limlixxfffx所以001lilimxxxf keke函数 的间断点是 ,sin1xy 0x分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）不等，所以 为其间
7、断点00limli1snxxf0x若 ，则当 时， 称为 时的无穷小量 Afx)(li0 0Af)(分析： 00li()limxxf所以 为 时的无穷小量f)(（三）计算题设函数 0,e)(xxf求： )1(,0)2(ff解： ， ，1fe求函数 的定义域lgxy解： 有意义，要求 解得21lxy20x102x或则定义域为 1|02x或双玉远程教育学校在半径为 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试R将梯形的面积表示成其高的函数解： DARO h EBC设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R直角三角形 AOE
8、中，利用勾股定理得22AEORh则上底故 22hSh求 xxsin3lm0解： 000sisin3lillm22xxx132求 )1sin(l21x解： 1() 1mlili 2sn()snxxx求 x3tanli0解： 00sisi31llm3cocosxxxA求 xsin1lm20解：22200 0(1)(1)lli limi sin(1)sinxx xxx02lii()x 求 xx)31(lim解：14331()()li()li()limli31xxxxx e双玉远程教育学校求 4586lim24xx解： 422lilim113xxx设函数 1,1,)()2xf讨论 的连续性，并写出其连
9、续区间)(xf解：分别对分段点 处讨论连续性1,x（1） 11limli10xxf所以 ，即 在 处不连续11lilixxfffx1（2） 2211lilimxxff所以 即 在 处连续11lilixxffffx1由（1）（2）得 在除点 外均连续故 的连续区间为f ,【高等数学基础】形考作业 2 答案：第 3 章 导数与微分（一）单项选择题设 且极限 存在，则 （C ）0)(fxf)(lim0xf)(li0A. B. C. D. cvxxf设 在 可导，则 （D ）)(0 hffh2)(li00A. B. 2fxC. D. 0x )(0f设 ，则 （A ）fe)(fx1)(lim0A. B.
10、 e2C. D. 214设 ，则 （D ）)9()(1)(xxf )0(fA. B. 9双玉远程教育学校C. D. !9!9下列结论中正确的是（ C ）A. 若 在点 有极限，则在点 可导)(xf00xB. 若 在点 连续，则在点 可导C. 若 在点 可导，则在点 有极限fD. 若 在点 有极限，则在点 连续)(00（二）填空题设函数 ，则 0 0,01sin)(2xxf )(f设 ，则 xxfe5e2fd)(lx5ln2曲线 在 处的切线斜率是1)(, 1k曲线 在 处的切线方程是xfsin),4( )4(2xy设 ，则y2yln2xx设 ，则l1（三）计算题求下列函数的导数 ：y xye)
11、3(xxe2123)( lncot2lncs xlxy2l 3sy4)2(cos3)2lsin(xx xysinl2xxy22sins)(l)1(si xxylnsi4 xxylncosi43 xy3sin2xxxy2233ln)(si)(cos3双玉远程教育学校 xyxlntae xexey1costan2求下列函数的导数 ：y 21exy2 3coslnxy322tanix xy8781 3xy)21()(1321 x xyecos2)in(x2ecosxy22in xyncsi)sin(o1 xn2sin5xy双玉远程教育学校2sin5coln2xxyx2siexy2sini22exxy
12、22 )ln( xx exxyee xexxex )ln(在下列方程中， 是由方程确定的函数，求 ：yx() y xy2ecos2inys xylncoy1.cs.si)lni1(xx yx2si2in.co2yx yxyxysin2)cos2(222syxy双玉远程教育学校 yxln1y 2elnyxy1)2(yex xsin1xxeyeyco2xsi 3eyxy2yx x25lnlyl1yx求下列函数的微分 ：d xcsotdy)in(22 xysildxd2incosl1双玉远程教育学校 xy1arcsin dxxdxd 2222 )1()(1)( 31xy两边对数得： )1ln()l(
13、3lnxy)(3xy 11 xyesin2dxeddx)2sin(i3 3etanxyxdedd22scsc3求下列函数的二阶导数： xyln1 xysincos2 xyartn21)(x双玉远程教育学校 23xy3ln2 22 3ln23ln4xxy （四）证明题设 是可导的奇函数，试证 是偶函数)(xf )(xf证：因为 f(x)是奇函数 所以 两边导数得： )()1( xfxf 所以 是偶函数。)(f【高等数学基础】形考作业 3 答案：第 4 章 导数的应用（一）单项选择题若函数 满足条件（D ），则存在 ，使得 )(xf ),(baabff)()(A. 在 内连续 B. 在 内可导,b
14、aC. 在 内连续且可导 D. 在 内连续，在 内可导,函数 的单调增加区间是（D ）14)(2xfA. B. ,)1,(C. D. 2函数 在区间 内满足（A ）52y6,A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升函数 满足 的点，一定是 的（C ）)(xf0)(f )(xfA. 间断点 B. 极值点C. 驻点 D. 拐点设 在 内有连续的二阶导数， ，若 满足（ C ），则 在 取到极小)(f,ba),(0ba)(xf )(xf0值A. B. 0)(,0xfx 0,fxfC. D. )(f )()(0设 在 内有连续的二阶导数，且 ，则 在此区间内
15、是（ A ）,ba,xff )(xfA. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的（二）填空题设 在 内可导， ，且当 时 ，当 时 ，则 是)(xf,ba),(0bax0x)(f0x)(f0x的 极小值 点若函数 在点 可导，且 是 的极值点，则 0 0f 双玉远程教育学校函数 的单调减少区间是 )1ln(2xy)0,(函数 的单调增加区间是ef 若函数 在 内恒有 ，则 在 上的最大值是 ,ba)xfxf,ba)(af函数 的拐点是 x=0 35)(（三）计算题求函数 的单调区间和极值2(1)yx令 )(52 x,驻 点列表：极大值： 27)(
16、f极小值： 05求函数 在区间 内的极值点，并求最大值和最小值3yx,0令： 。x驻 点(16)3(f最 大 值 21最 小 值试确定函数 中的 ，使函数图形过点 和点 ，且dcxbay23 dcba, )4,2()10,(是驻点， 是拐点2x1x解： bac26048 24163dcba求曲线 上的点，使其到点 的距离最短xy)0,2(A解： ，d 为 p 到 A 点的距离，则：上 的 点是设 p2),(xd)(22 101)( xx令 。Axy的 距 离 最 短到 点上 点 )0,(,12圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？L设园柱体半径为
17、 R，高为 h，则体积LhV)(22X )2,(2 (2,5) 5 ),(y+ 极大 - 极小 +y 上升 27 下降 0 上升2)0(ff双玉远程教育学校 LhLhLhhV。 3303)2( 22 令 。RLR时 其 体 积 最 大当 ,33一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为 R，高为 h，则体积 222 RVSh表 面 积 33204。令 34Vh答：当 时表面积最大。2R3Vh欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底连长为 x，高为 h。则： 225.65.6h侧面积为： xS042令 51032 x答
18、：当底连长为 5 米，高为 2.5 米时用料最省。（四）证明题当 时，证明不等式 )ln(x证：由中值定理得： )0(11l)1l( x。xx 时当 0()l()1ln( 当 时，证明不等式 01ex)1()(efx设 0)()(00 fxf单 调 上 升 且时当时当 证 毕即,fx【高等数学基础】形考作业 4 答案：第 5 章 不定积分第 6 章 定积分及其应用（一）单项选择题若 的一个原函数是 ，则 （D ）)(xfx1)(fA. B. C. D. ln232x双玉远程教育学校下列等式成立的是（D ）A B. C. D. )(d)(xff )(dxff )(d)(xff )(d)(xff若
19、 ，则 （B ）cosA. B. C. D. sinccsincos （ B）xfxd)(32A. B. C. D. 32f)(1xf)(31xf若 ，则 （B ）cxFf)()(dA. B. C. D. 2cxF)2( cxF)(由区间 上的两条光滑曲线 和 以及两条直线 和 所围成的平面区域的,bafy(gabx面积是（C ）A. B. axgfd)(baxfd)C. D. b g(（二）填空题函数 的不定积分是 )(xf dxf)(若函数 与 是同一函数的原函数，则 与 之间有关系式 F)(G)(xFG。cxGF常 数()( xde22x )(tanct若 ，则f3os)(xf)3cos
20、(9x 335d)21(six若无穷积分 收敛，则1p0p（三）计算题 cxdxx 1sin)(cosdcos2 ee2e cxdxx)ln()(ln1l cxxd2sin41o2os2cs2si e1 1e1 )ln3()l3()l(l3 exx 2d 20210202 exx双玉远程教育学校 4121ln2dle1 exdxe eex11e2（四）证明题证明：若 在 上可积并为奇函数，则 )(xf,a0d)(axf证: aaa tftdtfdxft )()()(令证毕0)( aaa xffdxf证明：若 在 上可积并为偶函数，则 f, aaxfxf0d)(2d)(证： aaa xfxfx00d)()(d)( aaa xftftfft 00 )(, 是 偶 函 数则令 证 毕 aaa xfxxxxf 000 d)(2d)d)()(d)(证明： aff 证： aaaa fff 0000 )()()()()(= a xfxxxf00 dd证 毕
