1、数学归纳法,（第一课时）,费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：,形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数,100年后,问题情境一,华罗庚的“摸球实验”,问题1、这里有一袋球共12个，我们要判断这袋球是白球还是黑球，请问怎 么判断？启发回答： 方法一：把他们全部倒出看一看。特点:方法是正确的，但操作上缺乏顺序性。方法二：一个一个拿，拿一个看一个。 比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球第十二个白球，由此得到：这一袋都是白球。特点：有顺序，有过程。思考：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法。什么是归纳法?上述归纳法有什么不同呢？,完全归纳法,问题情境二,：由一系列有限的特殊事例
2、得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法,归纳法,我不是四斤！我是小宝！,我是一斤,我是二斤,我是三斤,我是谁？,不完全归纳,猜：四斤！,完全归纳,？,小插曲,ldp.flv 多米诺.exe,回顾等差数列通项公式“an=a1+(n-1)d”是怎么得到的？,思考：在这个游戏中如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做 到？,可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能到下：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一快倒下。,a2=a1+
3、 da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d,温故引新,条件（2）事实上给出了一个递推关系,你认为条件（2）的作用是什么？,你认为证明等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏证明这个问题吗？,等差数列和“多米诺骨牌”游戏这两类事物的相关“元素”之间可以建立如下的对应关系：1张牌-数列中相应的一项；某张牌倒下-数列中相应的某个命题成立 根据这种对应关系，进一步得到等差数列通项公式成立必须具备的两个条件：（1）当n=1时，命题成立；（2）假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时命题也成立。,一般的，证明一个与正整数有关的数学命
4、题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立； 【归纳奠基】 （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立。【归纳递推】只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做 数学归纳法,数学归纳法,验证n=n0时命题成立,若n=k（kn0）时命题立，证明n=k+1时命题也成立,命题对n0从开始所有的正整数n都成立,归纳奠基,归纳递推,框图表示,1、数学归纳法有几个步骤？2、这些步骤每一步的作用是什么？3、数学归纳法的实质是什么？,总结思考,1、数学归纳法有两个步骤一个结论
5、2、第一步是递推的基础，第二步是命题的正确性能否传递下去的保证，它体现的是递推思想；3、数学归纳法的实质即它的核心是递推思想，就是用有限的步骤替代无限的递推过程；,ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d,当n=k+1时，结论也成立。,由(1)和(2)可知,等式对于任何nN*都成立。,1.用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n- 1)d对于一切nN*都成立。,从n=k到n=k+1有什么变化,利用假设,结论,证明：,（1）当n=1时，,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d,=a1, 当n=1时，,结论成立,(2)假设当n=k时结论成立
6、，,即 ak=a1+(k-1)d,则当n=k+1时,1.用数学归纳法证明：1+3+5+(2n1)=n2,反馈练习，巩固提高,2.用数学归纳法证明：,1.用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2 证明: (1) 当n=1时，左1，右121 n=1时，等式成立 (2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时命题成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,递推基础,递推依据,反馈练习，巩固提高,2.用数学归纳法证明,用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
7、,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；,（2）假设时 结论正确，证明时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,“综合（1）、（2），”不可少！,注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。,阶段小结,1、小明认为下面的一个结论是正确的,且给出了证明,你认为这里有无错误呢?1+3+5+(2n-1)=n2+1 （nN ） 证明:假设n=k(kN ,k1)时等式成立, 即： 1+3+5+(2k-1)=k2+1， 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= k2+1+2k+1=(k+1)2 +1， 所以当n=k+1时等式也成立。 可知，对nN ，原
8、等式都成立。,易错辨析,错误原因：没有第一步n=1等式成立的证明,其实n=1等式并不成立，左边=1，右边=2,错误！,2、用数学归纳法证明：1+3+5+(2n-1)=n2（nN ）下面是小强同学的证法,你认为他做得对吗?请说明理由. 证明：当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。假设n=k(kN ,k1)时等式成立, 即： 1+3+5+(2k-1)=k2，那么，当n=k+1时：1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= 所以当n=k+1时等式也成立。 由和可知，对nN ，原等式都成立。,易错辨析,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,错误！,一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命题”
9、的方法- 数学归纳法,二个注意：1.“二步一结论”缺一不可。 2.第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设,阶段小结,C,C,展示风采,3. 用数学归纳法证明:122334n(n1) ,4、用数学归纳法证明：,展示风采,3.用数学归纳法证明 122334n(n1) ,展示风采,4、用数学归纳法证明, n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,提什么好呢?,注意结论的形式,展示风采,回顾反思,1、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性2、数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤一个结论: （1） 【归纳奠基】证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； （2） 【归纳递推】假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确； （3）由（1）、（2）得出结论。3、数学归纳法主要用来证明与自然数有关的数学命题；4、数学归纳法的实质是递推思想，它的使用要点可概括为：“两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。,课本作业：课本108页习题2.3A组1，2题；B组第2题补充作业：已知函数,布置作业,（1）求 ；（2）猜测 并用数学归纳法证明.,下课休息！,
