1、1.3.1函数的单调性与导数,单调性的定义,对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。,知识回顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,知识回顾,判断函数单调性有哪些方法？,比如：判断函数 的单调性。,图象法,减,增,如图：,思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?,(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x,发现问题：用单调性定
2、义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？下面我们通过函数的y=x24x3图象来 考察单调性与导数有什么关系,2,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数y=x24x3的图象：,总结: 该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;,而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变.,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
3、,结论：在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.,如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数,函数单调性与导数正负的关系,注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。,课本思考,思考1：如果在某个区间内恒有 ，那么函数 有什么特性？,几何意义：,关系：,思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。,思考：若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增， 那么f(x)一定大于零吗？,例1、已知导函数 的下列信息：,当10; 当x4,或x1时， 0; 当x
4、=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是( ）。,A,B,C,D,D,导函数f(x)的-与原函数f(x)的增减性有关,正负,1应用导数求函数的单调区间,(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”) (1) 函数y=x3在3，5上为_函数。 (2) 函数 y = x23x 在2，+)上为_函数，在(,1上为_函数。,基础训练：,应用举例,增,增,减,求函数 的单调区间。,变1：求函数 的单调区间。,理解训练：,解：,的单调递增区间为,单调递减区间为,变3：求函数 的单调区间。,解:,解:,注意:单调区间不可以并起来.,总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难 画
5、出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。,纳,1什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？,2试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？,归,练习,判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ),(A),(B),(C),(D),C,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在
6、这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或内的图象平缓.,练习,2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状,思考题,A,求参数的取值范围,例2：,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,例3：方程根的问题求证：方程 只有一个根。,提示:运用导数判断单调性,
7、根据函数的单调性比较函数值大小,B,2.函数y=a(x3-x)的减区间为 则 a 的取值范围为( ) (A)a0 (B)11 (D) 0a1,A,证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1) x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0 f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数. f(0)=e010=0. 当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0. 1+2xe2x,2.当x0时，证明不等式：1+2xe2x.,分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.,点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.,3.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。,
