1、习题课导数的综合应用,1.利用导数研究方程的根或函数零点 (1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标. (2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与 直线y=a交点的横坐标. (3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标. 2.利用导数解决不等式恒成立问题 (1)不等式f(x)恒成立,则f(x)max. (2)不等式f(x)恒成立,则f(x)min.,【做一做1】 方程x3-6x2+9x-4=0实根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.
2、3 解析:利用导数,求出函数的极大值为0,极小值为-4,再结合函数的单调性,通过数形结合可得. 答案:C 【做一做2】 已知函数f(x)=x3- x2-2x+5,若当x-1,2时,f(x)7. 答案:B,探究一,探究二,规范解答,利用导数研究方程的根(函数的零点) 【例1】 设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值;(2)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围. 分析:方程f(x)=0只有一个实数根就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究
3、二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,反思感悟方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.,探究一,探究二,规范解答,变式训练1已知函数f(x)=x2-aln x(aR),当x=1时f(x)取得极值. (1)求a的值; (2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(kR)的图象的交点个数.,探究一,探究二,规范解答,解:(1)函数f(x)定义域为(0,+), 因为
4、当x=1时,f(x)取得极值, 所以f(1)=2-a=0,即a=2. (2)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2ln x+x2-2x-k=2x2-2ln x-2x-k,因为x0,所以2x+10. 令F(x)=0,则x=1,当x(0,1)时,F(x)0. 因此函数F(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增. 所以F(x)min=F(1)=-k. 当-k0,即k0时,两图象交点个数为2.,探究一,探究二,规范解答,利用导数解决不等式的恒成立问题 【例2】 已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意x(0,+),2f(
5、x)g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围. 分析:(1)可通过解不等式f(x)0和f(x)0得到单调区间;(2)应先将不等式进行参数分离,把待求范围的参数a移至不等式的一边,再利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,反思感悟有关不等式的恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题,求解时,要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知,即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数研究其最值,最后求得参数的取值范围.一般地,f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.,探究一,探究二,规
6、范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用导数解决函数的综合问题,【审题策略】 (1)将a的值代入,先求极值,再得到最值;(2)将所给不等式进行转化,化为f(x2)-ax2f(x1)-ax1,从而可构造函数g(x)=f(x)-ax,通过g(x)的单调性,利用导数转化为不等式恒成立问题即可求得.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 (1)第1步:确定函数定义域 第2步:求导数 第3步:分析极值情况 第4步:得到最值,探究一,探究二,规范解答,(2)第1步:假设结论成立 第2步:将所给不等式转化 第3步:构造新函数g(x
7、) 第4步:将问题转化为g(x)在(0,+)上为增函数 第5步:利用导数转化为g(x)0在(0,+)上恒成立 第6步:分离参数求最值 第7步:得到结果,探究一,探究二,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,失分主要出现在第二问,造成失分的原因是: (1)不能将所给不等式转化,为构造新函数奠定基础; (2)虽能对不等式转化,但不能将转化后的不等式合理变形,从而构造新函数; (3)构造新函数后,无法根据题意推出其单调性; (4)在得到新函数的单调性后,无法利用导数转化为恒成立问题求解; (5)分离参数后无法准确求得函数最值.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,1,2,3,4,1.若
8、不等式 在1,2上恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.a-1 B.a4 解析:由题意知,不等式x3-2x-ax3-2x,令g(x)=x3-2x,则g(x)=3x2-20在1,2上恒成立,因此g(x)max=g(2)=4,故a4. 答案:D,1,2,3,4,2.若函数f(x)=x3-6x2+9x-10-a有三个零点,则实数a的取值范围是( ) A.(-,-10) B.(-6,+) C.(-10,-6) D.(-,-10)(-6,+) 解析:令f(x)=0,得x3-6x2+9x-10=a, 令g(x)=x3-6x2+9x-10, 则g(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3). 由g(x)=0,得x=1或x=3. 当x3时,g(x)0,g(x)单调递增;当1x3时,g(x)0,g(x)单调递减;所以g(x)的极大值为g(1)=-6,g(x)的极小值为g(3)=-10. 函数f(x)有三个零点,即直线y=a与函数g(x)的图象有三个交点,所以-10a-6,选C. 答案:C,1,2,3,4,1,2,3,4,
