1、20142018年全国中考题组 考点一 一元二次方程及其解法,五年中考,1.(2016天津,8,3分)方程x2+x-12=0的两个根为 ( ) A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2 C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=3,答案 D a=1,b=1,c=-12,b2-4ac=1+48=490, x= = ,x1=-4,x2=3.故选D.,2.(2015重庆,8,4分)一元二次方程x2-2x=0的根是 ( ) A.x1=0,x2=-2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=-2 D.x1=0,x2=2,答案 D x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=
2、2,故选D.,3.(2018江苏扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为 .,答案 2 018,解析 由题意可知2m2-3m-1=0, 2m2-3m=1 原式=3(2m2-3m)+2 015=2 018. 故答案为2 018.,4.(2017甘肃兰州,21(2),5分)解方程:2x2-4x-1=0.,解析 a=2,b=-4,c=-1, =b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240, (2分) x= = , (4分) 即x1= ,x2= . (5分),考点二 根的判别式、根与系数之间的关系,1.(2018山西,4,3分)下列一元二次方程中, 实
3、数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2,答案 C 因为=(-2)2=40,所以A选项有两个不相等的实数根;因为=42+4=200,所以B选项 有两个不相等的实数根;因为=(-4)2-423=-80,所以D选项有两个不相等的实数根.故选C.,2.(2018云南昆明,8,4分)关于x的一元二次方程x2-2 x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m3 C.m3 D.m3,答案 A 由题意知=b2-4ac=12-4m0,解得m3,故选A.,3.(2017江西,5,3分)已知一元二次方程2x2-5x+1=
4、0的两个根为x1,x2,下列结论正确的是 ( ) A.x1+x2=- B. x1x2=1 C.x1,x2都是有理数 D.x1,x2都是正数,答案 D 根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2= 0,x1x2= 0,则x10,x20,故选D.,4.(2017上海,2,4分)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0,答案 D A项,=(-2)2-410=40; B项,=(-2)2-41(-1)=80; C项,=(-2)2-411=0; D项,=(-2)2-412=-40, D项中的方程没有实数根,故选D.,思
5、路分析 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,当0时,方程有两个实数根;当 0时,方程无实数根,所以应先算出各选项中方程的判别式,再进行判断.,5.(2017新疆,7,5分)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是 ( ) A.-3 B.-2 C.3 D.6,答案 A 设方程的另一个根为b,根据根与系数的关系得到2+b=-1,解得b=-3,即方程的另一 个根是-3.故选A.,6.(2017四川绵阳,7,3分)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为 ( ) A.-8 B.8 C.16 D.-16,答案 C 由一元二次方程根与系数
6、的关系得, 解得m=2,n=-4,故nm=(-4)2=16,故选C.,7.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则 -4x1+2x1x2的值为 .,答案 2,解析 一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2, -4x1=-2,x1x2=2, -4x1+2x1x2=-2+22=2.,8.(2017四川成都,22,4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根,且 - =1 0,则a= .,答案,解析 因为x1,x2为方程x2-5x+a=0的两实根,所以x1+x2=5,又 - =10,所以x1-x2=2,解得x1= ,x2=,
7、所以a=x1x2= .,9.(2015江西南昌,11,3分)已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则m2-mn+n2= .,答案 25,解析 因为方程x2-4x-3=0的两根为m,n,所以m+n=4, mn=-3,所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=42+9=25.,评析 本题考查一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形,属容易题.,10.(2018四川成都,16,6分)若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a 的取值范围.,解析 由题意可知=(2a+1)2-4a2=4a2+4a+1-4a2=4a+1. 原方程有两个不相等的实数根
8、,4a+10,a- .,11.(2017湖北黄冈,17,6分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求 + 的值.,解析 (1)方程有两个不相等的实数根, =(2k+1)2-4k2=4k+10, (2分) 解得k- , k的取值范围是k- . (3分) (2)当k=1时,方程为x2+3x+1=0. 由根与系数的关系可得 (4分) + =(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-21=9-2=7. (6分),12.(2016四川南充,20,8分)已知关于x的一元二次方程x2-6x
9、+(2m+1)=0有实数根. (1)求m的取值范围; (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2+x1+x220,求m的取值范围.,解析 (1)方程x2-6x+(2m+1)=0有实数根, =(-6)2-4(2m+1)0, (2分) 化简,得32-8m0,解不等式,得m4. (4分) (2)根据一元二次方程根与系数的关系, 得x1+x2=6,x1x2=2m+1. (5分) 2x1x2+x1+x220, 2(2m+1)+620. (6分) 解不等式,得m3. (7分) 由(1)得m4,m的取值范围是3m4. (8分),易错警示 本题的第(2)问很容易漏掉m4而丢分.,1.(2018新疆乌
10、鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会 住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的 每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x 元,则有 ( ) A.(180+x-20) =10 890 B.(x-20) =10 890 C.x -5020=10 890 D.(x+180) -5020=10 890,考点三 一元二次方程的应用,答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有 个,所以有游客居住的房间有 个,则宾馆当天的利润为 (x-20)元,故B正确.,2.(201
11、7甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一 个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能 围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为 ( )A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-4x2-(70+80)x=3 000,答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题意可得方程 (80-2x)(70-2x)=3 000.,3.(201
12、8辽宁沈阳,21,8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成 本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都 相同. (1)求每个月生产成本的下降率; (2)请你预测4月份该公司的生产成本.,解析 (1)设该公司每个月生产成本的下降率为x,根据题意,得 400(1-x)2=361, 解得x1= =5%,x2= =1.95, 1.951,x2=1.95不合题意,舍去. 答:每个月生产成本的下降率为5%. (2)361(1-5%)=342.95(万元). 答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.,4.(2017重庆A卷
13、,23,10分)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨 水等因素的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产. (1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果 农今年收获樱桃至少多少千克; (2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售.该果农去年樱桃的市场 销售量为100千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%,销售均价 与去年相同;该果农去年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,今年枇杷的市场 销售量比去年增加了2m%,但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市
14、场销售的这部分 樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同,求m的值.,解析 (1)设该果农今年收获樱桃x千克. 根据题意,得400-x7x, 解这个不等式,得x50. 答:该果农今年收获樱桃至少50千克. (2)根据题意,得100(1-m%)30+200(1+2m%)20(1-m%)=10030+20020, 令m%=y,原方程可化为3 000(1-y)+4 000(1+2y)(1-y)=7 000. 整理这个方程,得8y2-y=0, 解这个方程,得y1=0,y2=0.125, m%=0(舍去)或m%=0.125, m=12.5. 答:m的值是12.5.,教师专用题组,考点
15、一 一元二次方程及其解法,1.(2016辽宁沈阳,8,2分)一元二次方程x2-4x=12的根是 ( ) A.x1=2,x2=-6 B.x1=-2,x2=6 C.x1=-2,x2=-6 D.x1=2,x2=6,答案 B 原方程配方得x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,故x-2=4,x1=-2,x2=6,故选B.,2.(2015甘肃兰州,16,4分)若一元二次方程ax2-bx-2 015=0有一根为x=-1,则a+b= .,答案 2 015,解析 将x=-1代入方程得a+b-2 015=0,则a+b=2 015.,3.(2015山东聊城,13,3分)一元二次方程x2-2x=0的解是 .,答
16、案 x1=0,x2=2(注:写成0,2同样得分),解析 x2-2x=0,x(x-2)=0,x=0或x-2=0,所以x1=0,x2=2.,4.(2014河北,21,10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式时,对 于b2-4ac0的情况,她是这样做的:,(1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)的 求根公式是 ; (2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.,解析 (1)四; (2分) x= . (4分) (2)由x2-2x-24=0,得x2-2x=24, 进而x2-2x+1=24+1, 即(x-1)2=
17、25, (8分) 故x-1=5, x1=6,x2=-4. (10分),考点二 根的判别式、根与系数之间的关系,1.(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数, 且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 B 关于x的方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,=b2-4ac=4-4(m-2)0,m3. m为正整数,m=1或2或3. 当m=1时,方程x2+2x-1=0的两根不是整数,不满足题意. 当m=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B.,2.(2017甘肃兰州,6,4分)如果一元
18、二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取 值范围为 ( ) A.m B.m C.m= D.m=,答案 C 因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m= , 故选C.,3.(2017内蒙古包头,8,3分)若关于x的不等式x- 1的解集为x1,则关于x的一元二次方程x2+ax +1=0根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定,答案 C 解不等式得x +1,根据题意得 +1=1,解得a=0,所以方程可化为x2+1=0,所以=-4 0,所以一元二次方程无实数根.,4.(20
19、17河南,6,3分)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根,答案 B =(-5)2-42(-2)=25+16=410,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.,5.(2016内蒙古呼和浩特,10,3分)已知a2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是 ( ) A.6 B.3 C.-3 D.0,答案 A 由题意知m,n可看作一元二次方程x2-2ax+2=0的两个实数根,所以m+n=2a,mn=2. 则(m-1)2+(n-1)2=m2+n2-2(m+
20、n)+2 =(m+n)2-2(mn+m+n)+2=4a2-4a-2 =4 -3. 因为a2,所以当a=2时,4 -3有最小值,为6, 即(m-1)2+(n-1)2的最小值是6. 故选A.,6.(2014广东,8,3分)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值 范围是 ( ) A.m B.m C.m= D.m-,答案 B 一元二次方程有两个不相等的实数根, (-3)2-4m0,m .故选B.,7.(2014江苏苏州,7,3分)下列关于x的方程有实数根的是( ) A.x2-x+1=0 B.x2+x+1=0 C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0,
21、答案 C 选项A、B中,根的判别式都小于零,故不符合题意;选项D可化为(x-1)2=-1,易知方 程无实数根;选项C的根为x1=1,x2=-2,故选C.,8.(2018吉林,10,3分)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为 .,答案 -1,解析 方程有两个相等的实数根,=4+4m=0,解得m=-1.,9.(2016湖南长沙,14,3分)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 .,答案 m-4,解析 一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,0,即 b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4 m0,
22、解得m-4.,10.(2016江苏南京,12,2分)设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则x1+x2= ,m = .,答案 4;3,解析 根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=m,x1+x2-x1x2=1,4-m=1,m=3.,12.(2015内蒙古包头,15,3分)已知关于x的一元二次方程x2+ x-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是 .,11.(2015江苏南京,12,2分)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 ,m的 值是 .,答案 3;-4,解析 设方程的另一个根为x1,则x11=3,即x1=3
23、,则-m=1+3,解得m=-4.,答案 k1,解析 由题意知=( )2-41(-1)=k-1+4=k+30,k-3.又k-10,即k1,k1.,13.(2018内蒙古呼和浩特,23,7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根x1, x2,请你用配方法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明x1x2= .,14.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.,解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2
24、+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0, x1=x2=-1.,15.(2015河南,19,9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. (1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.,解析 (1)证明:原方程可化为x2-5x+6-|m|=0. (1分) =(-5)2-41(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|. (3分) |m|0,1+4|m|0. 对于任意实数m,方程总有两个不
25、相等的实数根. (4分) (2)把x=1代入原方程,得|m|=2,m=2. (6分) 把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,x1=1,x2=4. m的值为2,方程的另一个根是4. (9分),考点三 一元二次方程的应用,1.(2017安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都 为x,则x满足 ( ) A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16,答案 D 第一次降价后的单价为25(1-x)元,第二次降价后的单价为25(1-x)2元,25(1-x)2=16, 故选D.,2.(201
26、5甘肃兰州,11,4分)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能 再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天 时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是 ( ) A.(1+x)2= B.(1+x)2= C.1+2x= D.1+2x=,答案 B 设原价为1,则某天跌停后是0.9,根据题意可列方程为0.9(1+x)2=1,即(1+x)2= ,故选B.,3.(2018重庆,23,10分)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改 造. (1)原计划今年1至5月,村级道路硬化和道路
27、拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至 少是道路拓宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是多少千米? (2)到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好 是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45 千米,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为12,且里程数之比为21.为加快美丽乡村 建设,政府决定加大投入.经测算:从今年6月起至年底,如果政府投入经费在2017年的基础上增 加10a%(a0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在201 7年的基础上
28、分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础 上分别增加5a%,8a%,求a的值.,解析 (1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米, 根据题意,得x4(50-x). (2分) 解得x40. 答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米. (4分) (2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为21,所以,道路 硬化的里程数为30千米,道路拓宽的里程数为15千米. 设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元. 由题意,得30y+152y=780, 解得y=13. 所以,2017年每千米道路硬化的经
29、费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元. (5分) 根据题意,得13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%). (8分) 令a%=t,原方程可化为:520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t).,整理得10t2-t=0. 解得t1=0,t2=0.1. a%=0(舍去)或a%=0.1.a=10. 答:a的值是10. (10分),4.(2014辽宁沈阳,21,10分)某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利 润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月
30、的增长率相同,求 这个增长率.,解析 设这个增长率为x. 依题意得20(1+x)2-20(1+x)=4.8, 解得x1=0.2,x2=-1.2(不合题意,舍去).0.2=20%. 答:这个增长率为20%.,5.(2014重庆,23,10分)为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资 建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30 000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施, 另一部分用于购买书刊. (1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资金 购买书桌、书架等设施? (2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资
31、150元.镇政府了解情况后,赠 送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与 的户数在200户的基础上增加了a%(其中a0),则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了 a%,求a的值.,解析 (1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元, 由题意,得30 000-x3x, (3分) 解得x7 500. 答:最多用7 500元资金购买书桌、书架等设施. (5分) (2)由题意,得200(1+a%)150 =20 000. (8分) 设x=a%,则3(1+x) =2, 整理得,10x2+x-3=0, 解得x1=-0.6(舍),x2=0.5, (9
32、分) a%=0.5, a=50. (10分),A组 20162018年模拟基础题组 考点一 一元二次方程及其解法,三年模拟,1.(2018天津红桥一模,7)若2x2+1与4x2-2x-5的值互为相反数,则x的值是 ( ) A.-1或 B.1或- C.1或- D.1或,答案 B 2x2+1与4x2-2x-5的值互为相反数,2x2+1+4x2-2x-5=0,3x2-x-2=0,即(x-1)(3x+2)= 0,解得x1=1,x2=- .故选B.,2.(2017天津红桥,1)方程2x2-6x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( ) A.6、2、5 B.2、-6、5 C.2、-6、-5 D
33、.-2、6、5,答案 C 方程2x2-6x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、-6、-5.故选C.,3.(2016陕西咸阳,5)方程x2-5x=0的解是 ( ) A.x1=x2=5 B.x1=x2=0 C.x1=0,x2=5 D.x1=-5,x2=0,答案 C 原方程可化为x(x-5)=0, 所以x=0或x-5=0, 解得x1=0,x2=5, 故选C.,4.(2016甘肃兰州,16)已知方程x2-x=3有一个根为m,则m2-m+2 013的值为 .,答案 2 016,解析 方程x2-x=3有一个根为m, m2-m=3, m2-m+2 013=3+2 013=2 016.,5.(2
34、018天津和平质检,19)解方程:(x-3)(x-2)-4=0.,解析 方程化为x2-5x+2=0, a=1,b=-5,c=2. =b2-4ac=(-5)2-412=170, x= = = , 即x1= ,x2= .,6.(2016四川凉山州,18)解下列方程: (1)2x2-3x-2=0; (2)x(2x+3)-2x-3=0.,解析 (1)2x2-3x-2=0, 即(2x+1)(x-2)=0, 所以2x+1=0或x-2=0, 所以x1=- ,x2=2. (2)x(2x+3)-(2x+3)=0, 即(2x+3)(x-1)=0, 所以2x+3=0或x-1=0, 所以x1=- ,x2=1.,考点二
35、 根的判别式、根与系数之间的关系,1.(2018辽宁鞍山铁西3月模拟,6)若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是( ) A.k1,答案 A kx2-6x+9=0为一元二次方程,k0,关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不 相等的实数根,0,即(-6)2-49k0,解得k1,k1且k0.故选A.,2.(2018云南曲靖罗平一模,6)若方程x2-3x-4=0的两根分别为x1和x2,则 + 的值是 ( ) A.1 B.2 C.- D.-,答案 C 依题意得x1+x2=3,x1x2=-4,所以 + = = =- .故选C.,3.(2017贵州黔东南
36、州,14)如果关于x的方程x2-2x+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是 .,答案 k1,解析 因为方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,所以0,即(-2)2-41k=4-4k0,解得k1.,考点三 一元二次方程的应用,1.(2017贵州黔东南州,13)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由1 000元 降到了810元,则平均每月降价的百分率为 .,答案 10%,解析 设平均每月降价的百分率为x, 依题意得1 000(1-x)2=810, 化简得(1-x)2=0.81, 解得x1=0.1,x2=-1.9(舍). 所以平均每月降价的百分率为10%.,
37、2.(2018湖北襄阳枣阳模拟,22)已知某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减 少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,则平均每天可多售出 2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答: (1)该商品的日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含x的代数式表示); (2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,销售该商品的日盈利可达到 2 100元?,解析 (1)由“每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件”知,每件商品降价x元,则日销售 量增加2x件,每件商品盈利(50-x)元,故答案为2x;50-x. (2)由题意得(50-x)(
38、30+2x)=2 100(0x50), 化简得x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0, 解得x1=15,x2=20. 为了尽快减少该商品的库存, 日销售量应尽量高一些,x=20. 答:每件商品降价20元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元.,一、选择题(每小题3分,共9分),B组 20162018年模拟提升题组 (时间:40分钟 分值:55分),1.(2018天津河东一模,8)方程x2-2x=3可以化简为 ( ) A.(x-3)(x+1)=0 B.(x+3)(x-1)=0 C.(x-1)2=2 D.(x-1)2+4=0,答案 A 由x2-2x=3得, x2-2x-3=0,
39、 则(x-3)(x+1)=0, 故选A.,2.(2017云南曲靖,7)若方程x2-4x-1=0的两根分别是x1,x2,则 + 的值为 ( ) A.6 B.-6 C.18 D.-18,答案 C 方程x2-4x-1=0的两根分别是x1,x2, x1+x2=4,x1x2=-1, + =(x1+x2)2-2x1x2=42-2(-1)=18.,思路分析 根据根与系数的关系可得出x1+x2=4,x1x2=-1,将 + 变形为(x1+x2)2-2x1x2,代入数据 即可得出结果.,解题技巧 掌握根与系数的关系是解决本题的关键,同时注意完全平方公式变形的应用.,3.(2016辽宁抚顺,5)关于x的一元二次方程
40、(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 ( ) A.m3 B.m3 C.m3且m2 D.m3且m2,答案 D 关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,m-20,且0,即m2,且22-4 (m-2)10,解得m3且m2,m的取值范围是m3且m2.故选D.,易错警示 该方程是一元二次方程,所以m-20,即m2.,拓广探索 关于x的方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,求m的取值范围. 解析:当m2时,方程是一元二次方程,解法同上. 当m=2时,方程是一元一次方程,方程为2x+1=0,解得x=- ,符合题意. 综上所述,m的取值范围为m3.,二、填空题(每小题3
41、分,共6分),4.(2018贵州黔南州一模,15)若关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足 .,答案 a1,解析 (1)当a-5=0,即a=5时,方程变为-4x-1=0,此时方程一定有实数根; (2)当a-50,即a5时, 该方程为关于x的一元二次方程, 关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根, 16+4(a-5)0,解得a1, a1,且a5. 综上,a1.,5.(2016江西宜春高安,11)已知、是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的 实数根,且满足 + =-1,则m的值是 .,答案 3,解析 、是关于x的一元二次方程x2+(2m+3
42、)x+m2=0的两个不相等的实数根, +=-2m-3,=m2, + = = =-1, m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1. 一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根, =(2m+3)2-41m2=12m+90,m- , m=-1不合题意,舍去,m=3.,易错警示 在用根与系数的关系时,0是前提.,三、解答题(共40分),6.(2018新疆昌吉州阜康二模,18)如图所示,ABC中,B=90,AB=6 cm,BC=8 cm. (1)若点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s 的速度移动,且P,Q分别从A,B同时出发
43、,则经过几秒,PBQ的面积等于8 cm2? (2)若点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的 速度移动,且P,Q分别从A,B同时出发,则线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分?若能,请 求出运动时间;若不能,请说明理由. (3)若P点沿射线AB方向从A点出发以1 cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从C点出发以2 cm/s的速度移动,且P,Q同时出发,问:经过几秒,PBQ的面积为1 cm2?,解析 (1)设经过x(0x4)秒,PBQ的面积等于8 cm2, 依题意有 (6-x)2x=8, 解得x1=2,x2=4, 经检验,x1,x2均符
44、合题意. 故经过2秒或4秒,PBQ的面积等于8 cm2. (2)不能.理由如下: 设经过y(0y4)秒,线段PQ能将ABC分成面积相等的两部分,依题意得,ABC的面积= 6 8=24 cm2, 则 (6-y)2y=12,即y2-6y+12=0, =b2-4ac=36-412=-120, 此方程无实数根, 线段PQ不能将ABC分成面积相等的两部分. (3)当点P在段段AB上,点Q在线段CB上时, 设经过m(0m4)秒,PBQ的面积为1 cm2,依题意有 (6-m)(8-2m)=1, 即m2-10m+23=0, 解得m1=5+ ,m2=5- , 经检验,m=5+ 不符合题意,舍去, m=5- ;
45、当点P在线段AB上,点Q在线段CB的延长线上时, 设经过n(46)秒,PBQ的面积为1 cm2, 依题意有 (k-6)(2k-8)=1,即k2-10k+23=0,解得k1=5+ ,k2=5- , 经检验,k=5- 不符合题意,舍去,k=5+ . 综上所述,经过(5- )秒,5秒,(5+ )秒,PBQ的面积为1 cm2.,7.(2017天津红桥,19)解方程: (1)2x2-4x-1=0(用配方法解方程); (2)(x+1)2=6x+6.,解析 (1)原方程可变为x2-2x= , x2-2x+1= , (x-1)2= , x-1= = , x1=1+ ,x2=1- . (2)原方程可变为(x+1
46、)2-6(x+1)=0, (x+1)(x+1-6)=0, x+1=0或x+1-6=0, x1=-1,x2=5.,8.(2016湖北十堰,21)已知关于x的方程x2-(k+1)x+ k2+1=0有两个实数根. (1)求k的取值范围; (2)若方程的两实数根分别为x1、x2,且满足|x1|+|x2|=4x1x2-5,求k的值.,解析 (1)方程有两个实数根, =-(k+1)2-4 =2k-30,解得k . (2)由(1)知k , x1+x2=k+10,x1x2= k2+10, x10,x20, |x1|+|x2|=x1+x2=k+1. |x1|+|x2|=4x1x2-5, k+1=4 -5, k2
47、-k-2=0,k1=-1,k2=2, 又k ,k=2.,9.(2017吉林长春,22)为了巩固全国文明城市建设成果,突出城市品质的提升,近年来,我市积极 落实节能减排政策,推行绿色建筑,据统计,我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米,2016 年达到了1 862万平方米.若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增,请解答 下列问题: (1)求这两年绿色建筑面积的年平均增长率; (2)2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2 400万平方米,如果2017年仍保持相同的年平均增 长率,请你预测2017年我市能否完成目标.,解析 (1)设这两年绿色建筑面积的年平均增长率为x,则950(1+x)2=1 862, 解得x1=0.4,x2=-2.4(舍去),0.4=40%. 所以这两年绿色建筑面积的年平均增长率为40%. (2)由题意可得1 862(1+40%)=2 606.8(万平方米), 2 606.82 400,2017年我市能完成目标.,
