1、章末复习,第二章 点、直线、平面之间的位置关系,学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_ _. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,不在一条直线上,过该点的公共直线,一条,平行,2.直线与直线的位置关系,共面直线,_ _,异面
2、直线：不同在 一个平面内，没有公共点,平行,相交,任何,3.平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质,a,a，b，ab,a,a，a，b,(2)面面平行的判定与性质,a，b，abP，a，b,，a，b,(3)空间中的平行关系的内在联系,4.垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直的判定与性质,任意,mnO,a,b,ab,(2)平面与平面垂直的判定与性质定理,垂线,l l,， a， l， la,(3)空间中的垂直关系的内在联系,5.空间角 (1)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫做异面直线a，b所成的角(或夹角). 范围：设两
3、异面直线所成角为，则090.,锐角(或直角),(2)直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在 所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为 .,平面内的射影,90和0,(3)二面角的有关概念 二面角：从一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,题型探究,例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面A
4、FC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.,类型一 空间中的平行关系,解答,解 当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD， 证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，,四边形ABCD是平行四边形， O是BD的中点，OFPD. 又OF平面PMD，PD平面PMD，,PFMA且PFMA， 四边形AFPM是平行四边形，,AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD， AF平面PMD. 又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC， 平面AFC平面PMD.,反思与感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线
5、面平行的两种方法： 利用线面平行的判定定理. 利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面. (2)判断面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理. 面面平行的传递性(，). 利用线面垂直的性质(l，l).,跟踪训练1 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)证明：GHEF；,证明 因为BC平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC. 同理可证EFBC， 因此GHEF.,证明,(2)若EB2，
6、求四边形GEFH的面积.,解答,解 连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PAPC，O是AC的中点， 所以POAC，同理可得POBD. 又BDACO，且AC，BD平面ABCD， 所以PO平面ABCD. 又因为平面GEFH平面ABCD， 且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH. 又因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD， 所以POGK，所以GK平面ABCD. 又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高.,由AB8，EB2得EBABKBDB14，,所以GK3，,例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面A
7、BCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：,类型二 空间中的垂直关系,(1)PA底面ABCD；,证明 因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PA平面PAD，PAAD， 所以PA底面ABCD.,证明,(2)BE平面PAD；,证明 因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点， 所以ABDE，且ABDE. 所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD. 又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE平面PAD.,证明,证明 因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形， 所以BECD，ADCD. 由(1)知PA底面ABCD，所以APCD. 又因为APADA，AP，AD平
8、面PAD， 所以CD平面PAD，所以CDPD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PDEF，所以CDEF. 又因为CDBE，EFBEE，EF，BE平面BEF， 所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.,(3)平面BEF平面PCD.,证明,反思与感悟 (1)判定线面垂直的方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性). 线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa). 平行线垂直平面的传递性质(ab，ba). 面面垂直的性质(，l，a，ala). 面面平行的性质(a，a). 面面垂直的性质(l，l). (2)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义. 面面垂直的判定定理.,
9、证明 在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD. ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC， CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE.,跟踪训练2 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点. 证明：(1)CDAE；,证明,证明 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD， AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，PAAB. 又ABAD且PAADA，PA，AD平面PAD， AB平面
10、PAD，而PD平面PAD， ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.,(2)PD平面ABE.,证明,例3 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD ，AD2，PAPD ，E，F分别是棱AD，PC的中点. (1)证明：EF平面PAB；,类型三 空间角的求解,证明,证明 如图所示，取PB的中点M，连接MF，AM.,由已知得BCAD，BCAD， 又由于E为AD的中点， 因而MFAE且MFAE， 故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM. 又AM平面PAB，EF平面PAB， 所以EF平面PAB.,(2)若二面角PADB为60. 证明：平面PBC平面ABCD
11、；,证明,证明 连接PE，BE. 因为PAPD，BABD，而E为AD的中点， 所以PEAD，BEAD， 所以PEB为二面角PADB的平面角.,在PEB中，PE2，BE1，PEB60， 故可得PBE90，即BEPB. 又BCAD，BEAD，从而BEBC，,又BCPBB，BC，PB平面PBC， 因此BE平面PBC. 又BE平面ABCD， 所以平面PBC平面ABCD.,求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.,解 连接BF，由知，BE平面PBC， 所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角.,又BE1，,解答,反思与感悟 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). (2)求直线与平
12、面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面法.,跟踪训练3 如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的大小；,解答,解 ACAC， AO与AC所成的角就是OAC. AB平面BC，OC平面BC， OCAB，又OCBO，ABBOB，AB，BO平面ABO， OC平面ABO. 又OA平面ABO，OCOA.,OAC30. 即AO与AC所成角为30.,(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；,解答,解 如图，作OEBC于E，连接AE. 平面BC平面ABCD， 平面BC平面ABCDBC，OE平面BC， OE平面ABCD， O
13、AE为OA与平面ABCD所成的角.,(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.,解 由(1)可知OC平面AOB. 又OC平面AOC， 平面AOB平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成的角为90.,解答,达标检测,1,2,3,4,1.在空间中，下列命题正确的是 A.若平面内有无数条直线与直线l平行，则l B.若平面内有无数条直线与平面平行，则 C.若平面内有无数条直线与直线l垂直，则l D.若平面内有无数条直线与平面垂直，则,答案,5,解析,解析 对于A，若平面内有无数条直线与直线l平行，则l可能在平面内，故错； 对于B，若平面内有无数条直线与平面平行，则与可能相交，故错； 对于C，若平面内
14、有无数条直线与直线l垂直，则l与可能斜交，故错； 对于D，若平面内有无数条直线与平面垂直，则平面经过平面的垂线，则，故正确.故选D.,1,2,3,4,5,解析 如图， PHG，HG平面ACD，P平面ACD. 同理，P平面BAC. 平面BAC平面ACDAC，PAC.故选B.,2.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则 A.点P一定在直线BD上 B.点P一定在直线AC上 C.点P一定在直线AC或BD上 D.点P既不在直线AC上，也不在直线BD上,1,2,3,4,5,解析,答案,3.在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F
15、分别是棱B1B，AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.异面,解析,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 取AD1的中点O，连接OE，OF， 则OF平行且等于BE， 四边形BFOE是平行四边形， BFOE， BF平面AD1E，OE平面AD1E， BF平面AD1E，故选A.,4.空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，BCD90，且ABAD，则AC与平面BCD所成的角是_.,解析 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 因为ABAD，所以AOBD， 又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，
16、所以AO平面BCD. 因此，ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于BAD90BCD，,45,又AOOC，所以ACO45.,1,2,3,4,5,解析,答案,5.如图，在棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 求证：(1)直线PA平面DEF；,1,2,3,4,5,证明 因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DEPA. 又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直线PA平面DEF.,证明,(2)平面BDE平面ABC.,证明,1,2,3,4,5,证明 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，,又因为DF5，故DF
17、2DE2EF2， 所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC. 又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.,1.平行关系 (1)平行问题的转化关系,规律与方法,(2)直线与平面平行的主要判定方法 定义法；判定定理；面与面平行的性质. (3)平面与平面平行的主要判定方法 定义法；判定定理；推论；a，a.,2.垂直关系 (1)空间中垂直关系的相互转化,(2)判定线面垂直的常用方法 利用线面垂直的判定定理. 利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.,利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”. 利用面面垂直的性质. (3)判定线线垂直的方法 平面几何中证明线线垂直的方法. 线面垂直的性质：a，bab. 线面垂直的性质：a，bab. (4)判断面面垂直的方法 利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角. 判定定理：a，a.,3.空间角的求法 (1)找异面直线所成角的三种方法 利用图中已有的平行线平移. 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. 补形平移. (2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.,
