1、1/8课时分层作业(十三) 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质(建议用时：40 分钟)学业达标练一、选择题1ABC 所在的平面为 ，直线 lAB，lAC，直线 mBC，m AC，则直线 l，m 的位置关系是( )A相交 B异面C平行 D不确定C 因 为 lAB ，lAC 且 ABACA，所以 l平面 ABC.同理可证 m平面 ABC，所以 lm，故选 C.2设 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出如下命题：若 ， m，n，nm，则 n；若 ，且 n，n m，则 m；若 ，m，m，则 m；若 ，m，则 m.其中正确命题的个数为 ( )A1 B2 C 3 D4B 根据平面与平面
2、垂直的性质知正确；中，m 还可能在 内或 m或 m 与 斜交，不正确； 中，m，m 时，只可能有 m，正确；中，m 与 的位置关系可能是 m 或 m 或 m 与 相交，不正确综上，可知正确命题的个数为 2，故选 B.3如图 2345，点 P 为四边形 ABCD 外一点，平面 PAD平面2/8ABCD，PA PD，E 为 AD 的中点，则下列结论不一定成立的是( )图 2345APEACBPEBCC平面 PBE平面 ABCDD平面 PBE平面 PADD 因 为 PAPD，E 为 AD 的中点，所以 PEAD.又平面 PAD平面ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PE平面 ABCD，所
3、以PEAC， PEBC，所以 A，B 成立；又 PE平面 PBE，所以平面 PBE平面ABCD，所以 C 成立；若平面 PBE平面 PAD，则 AD平面 PBE，必有ADBE ，此关系不一定成立，故选 D.4如图 2346，设平面 平面 PQ，EG 平面 ，FH平面 ，垂足分别为 G，H.为使 PQGH，则需增加的一个条件是( ) 【导学号：07742168】图 2346AEF平面 BEF平面 CPQGE DPQFHB 因为 EG平面 ，PQ平面 ，所以 EGPQ.若 EF平面 ，则由PQ平面 ，得 EFPQ. 又 EG 与 EF 为相交直线，所以 PQ平面 EFHG，所以PQGH ，故选 B
4、.5如图 2347 所示，三棱锥 PABC 的底面在平面 内，且 ACPC ，平3/8面 PAC平面 PBC，点 P，A，B 是定点，则动点 C 的轨迹是( )图 2347A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点D 平面 PAC平面 PBC，ACPC，平面 PAC平面 PBCPC ，AC平面 PAC，AC 平面 PBC.又BC平面 PBC，ACBC.ACB90.动点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆，除去 A 和 B 两点二、填空题6如图 2348，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC90，F 是AC 的中点，E 是 PC 上的点，且 EFBC，则 _.PEEC【导学号
5、：07742169】图 23481 在三棱锥 PABC 中，因为 PA底面 ABC，BAC90，所以 AB平面 APC.因为 EF平面 PAC，所以 EFAB，因为 EFBC， BCABB，所以 EF底面 ABC，所以 PAEF，因为 F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点，4/8所以 E 是 PC 的中点，所以 1.PEEC7若 ， l，点 P，P l，则下列命题中正确的为_(只填序号)过 P 垂直于 l 的平面垂直于 ；过 P 垂直于 l 的直线垂直于 ；过 P 垂直于 的直线平行于 ； 过 P 垂直于 的直线在 内 由 ，l，点 P ，Pl 知：在中，由面面垂直的判定定理得：过 P
6、垂直于 l 的平面垂直于 ，故 正确；在中，过 P 垂直于 l 的直线有可能垂直于 ，但不垂直于 ，故错；在中，由线面平行的判定定理得过 P 垂直于 的直 线平行于 ，故正确；在中，由面面垂直的性质定理得过 P 垂直于 的直线在 内，故正确8如图 2349，四面体 PABC 中，PAPB13，平面 PAB平面ABC， ACB90，AC8，BC6，则 PC_.图 234913 取 AB 的中点 E，连接 PE，EC(图略)ACB90，AC8，BC6，AB10， CE5.PAPB13，E 是 AB 的中点， PEAB ，PE 12.平面 PAB 平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB ，PE平
7、面 ABC.CE平面 ABC，PECE.在 Rt PEC 中，PC 13.PE2 CE2三、解答题5/89如图 2350，PA 平面 ABD，PC平面 BCD，E，F 分别为 BC，CD上的点，且 EFAC.求证： .CFDC CEBC图 2350证明 PA平面 ABD，PC平面 BCD，PABD，PCBD，PCEF.又 PAPCP ，BD 平面 PAC.又 EFAC，PCACC ，EF平面 PAC，EFBD， .CFDC CEBC10如图 2351，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BC BD ，平面 ABD平面 BCD，点 E，F( E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 E
8、FAD.求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC. 【导学号：07742170 】图 2351证明 (1)在平面 ABD 内，因 为 ABAD， EFAD，所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.6/8(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD ，BC平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又 ABAD，BCABB ，AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.冲 A 挑战练1设 l 是直二面角，直线 a，直线 b，a，
9、b 与 l 都不垂直，那么( )Aa 与 b 可能垂直，但不可能平行Ba 与 b 可能垂直，也可能平行Ca 与 b 不可能垂直，但可能平行Da 与 b 不可能垂直，也不可能平行C 由 题意，当 al ，lb 时，ab，故 A，D 错误；若 ab，在 b 上任取一点 A，过 A 作 ABl，由面面垂直的性 质定理，得 AB ，a ，ABa，又ab，AB b A，a， al， 这和 a 与 l 不垂直矛盾a 与 b 不可能垂直，故 B 错误 所以选 C.2如图 2352 所示，PA 垂直于O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下
10、列结论：AFPB，EF PB，AFBC，AEBC，其中正确的个数为 ( ) 【导学号：07742171】图 23527/8A1 B2 C3 D4C AB 是O 的直径，ACBC.PA 垂直于O 所在的平面，PABC，BC 平面PAC，BC AF，正确；又 AFPC，AF平面 PBC，AFPB，正确；又 AEPB，PB 平面 AEF，EF PB， 正确；若 AEBC，则由 AEPB，得 AE平面 PBC，此时 E，F 重合，与已知矛盾，错误故选 C.3PO 平面 ABC，O 为垂足， ACB90，BAC30，BC5，PA PBPC10 ，则 PO 的长等于_ 5 PA PBPC，3P 在平面 A
11、BC 内的射影 O 为ABC 的外心，又ABC 为直角三角形O 为斜边 BA 的中点在ABC 中，BC5， ACB 90，BAC30.PO 5 .34如图 2353，平行四边形 ABCD 中，AB BD，沿 BD 将ABD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，连接 AC，则在四面体 ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为_. 【导学号：07742172】图 23533 在平行四边形 ABCD 中，ABBD，沿 BD 将ABD 折起，使平面ABD平面 BCD.AB 平面 BCD，CD平面 ABD.根据面面垂直的判定定理得：平面 ABC平面 BCD.平面 ACD平面 ABD. 在四面体 AB
12、CD 中，互相垂直的平面有 3 对5如图 2354，在直角梯形 ABCD 中，8/8ADBC，BAD ，ABBC ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的2 12交点将ABE 沿 BE 折起到图 2354中A 1BE 的位置，得到四棱锥A1BCDE.图 2354(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 ，求 a 的2值解 (1)在图中，因为 ABBC ADa， E 是 AD 的中点，BAD ，12 2所以 BEAC .即在图中，BEA 1O，BEOC，从而 BE平面 A1OC，又易得 CDBE，所以 CD 平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE ，又由(1)得 A1OBE ，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高由图知，A 1O AB a，平行四 边形 BCDE 的面积 Sa 2.22 22从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V SA1O a2 a a3，由13 13 22 26a3 36 ，得 a6.26 2
