1、 1.2 余弦定理第 1 课时 余弦定理及其直接应用学习目标 1.掌握余弦定理及其证明方法.2.会用余弦定理解决两类问题：“已知三边” 、 “已知两边夹角”解三角形知识点一 余弦定理思考 根据勾股定理，若在ABC 中，C90，则 c2a 2b 2a 2b 22abcos C试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案 当 abc 时，C60，a2b 22abcos Cc 2c 22c ccos 60c 2，即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有 c2a 2b 22abcos C.梳理 余弦定理及公式表达：a2b 2c 22bccos A，b2a 2c 22accos B，公式表达c2a
2、2b 22abcos C语言叙述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍余弦定理推论cos A ，b2 c2 a22bccos B ，a2 c2 b22accos Ca2 b2 c22ab知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考 1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形思考 2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个
3、量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形； (2)已知三边，解三角形1勾股定理是余弦定理的特例()2余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素()3在ABC 中，已知两边及其夹角时，ABC 不一定唯一()类型一 余弦定理的证明例 1 已知ABC，BCa，AC b 和角 C，求 c.考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的理解解 如图，设 a， b，CB CA A c ，B 由 ，知 cab ，AB CB CA 则|c |2cc(ab)(ab)aab b2a ba 2b 22|a|b|cos C.所以 c2
4、a 2b 22abcos C.反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的理解解 如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A) ，BC 2b 2cos2A2bc cos Ac 2b 2sin2A，即 a2b 2c 22bc cos A.同理可证 b2c 2a 22ca co
5、s B，c2a 2b 22abcos C.类型二 用余弦定理解三角形命题角度 1 已知两边及其夹角例 2 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a3，b2，cos(AB) ，13则 c .考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 17解析 由三角形内角和定理可知 cos Ccos( AB) ，又由余弦定理得13c2a 2b 22abcos C94232 17，所以 c .( 13) 17反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角跟踪训练 2 在ABC 中，已知 a2，b2 ，C15 ，求 A.2考点 用余
6、弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形解 由余弦定理，得 c2a 2b 22abcos C84 ，3所以 c .6 2由正弦定理，得 sin A ，asin Cc 12因为 ba，所以 BA，所以 A 为锐角，所以 A30.命题角度 2 已知三边例 3 在ABC 中，已知 a2 ，b62 ，c 4 ，求 A，B，C .6 3 3考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三解形解 根据余弦定理，cos Ab2 c2 a22bc .6 232 432 26226 2343 32A(0，)，A ，6cos C ，a2 b2 c22ab 262 6 232 4322266 23 22C(0，)，
7、C .4BAC ，6 4 712A ，B ，C .6 712 4反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形 cos A ，cos Bb2 c2 a22bc，cos C 先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定a2 c2 b22ac b2 a2 c22ba理跟踪训练 3 在ABC 中，sin Asin B sin C245 ，判断三角形的形状考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形解 因为 abcsin Asin Bsin C245，所以可令 a2 ，b4 ，c5 ( 0)c 最大，cos C bc，C 为最小角且 C 为锐角，由余弦定理，得 cos Ca2 b2 c22ab
8、 .72 432 1322743 32又C 为锐角，C .63在ABC 中，已知 a2c 2b 2ab，则角 C 的大小为 考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 3解析 由余弦定理，得 cos C ，a2 b2 c22ab ab2ab 12又因为 C(0，) ，所以 C .34如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 78解析 设顶角为 C，周长为 l，因为 l5c ，所以 ab2c，由余弦定理，得 cos C .a2 b2 c22ab 4c2 4c2 c222c2c 781利用余弦定理可以解决两类有关
9、三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角一、填空题1在ABC 中，已知 B120，a3，c5，则 b .考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 7解析 b 2a 2c 22ac cos B3 25 2235cos 12049，b
10、7.2边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 120解析 设中间角为 ，则 为锐角，cos ，52 82 72258 1260， 18060120 为所求3在ABC 中，B120，AC7，AB5，则ABC 的面积为 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三角形三边求面积答案 1534解析 由余弦定理知 AC2AB 2BC 22ABBC cos 120，即 4925BC 25BC，解得BC3(负值舍去)故 SABC ABBCsin 120 53 .12 12 32 15344在ABC 中，已知 b2ac 且 c2a，则 cos B .考
11、点 余弦定理及其变形应用题点 已知三边之比或三角正弦之比，求角答案 34解析 b 2ac，c 2a，b 22a 2，cos B .a2 c2 b22ac a2 4a2 2a22a2a 345ABC 的三边长分别为 AB7，BC 5，CA 6，则 的值为 AB BC 考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 19解析 设三角形的三边分别为 a，b，c，依题意得，a5，b6，c7. | | |cos(B)accos B.AB BC AB BC 由余弦定理得 b2a 2c 22accos B，accos B (b2a 2c 2) (625 27 2)19，12 12 19.AB BC
12、6在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a4，b5，c6，则 .sin 2Asin C考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 1解析 由余弦定理得 cos A ，所以 b2 c2 a22bc 25 36 16256 34 sin 2Asin C 2sin Acos Asin C 1.2acos Ac 4cos A37在ABC 中，若 a2，bc7，cos B ，则 b .14考点 余弦定理解三角形题点 已知三角形的相关边与角，求边答案 4解析 在ABC 中，由 b2a 2c 22ac cos B 及 bc7，知 b24(7b) 222(7b) ，( 14)整理得 15b600.所以 b4.8若ABC 的内角 A，B ，C 所对的边 a，b，c 满足(ab) 2c 24，且 C60，则 ab 的值为_考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 43解析 (ab) 2c 2a 2b 2 c22ab4，又 c2a 2b 22abcos Ca 2b 2aba 2b 2c 2ab，3ab4，ab .439在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b 21，|c|a2 b2即 a2b 2c 20，cos C 0，a2 b2 c22ab又 C(0，)，C 为钝角故ABC 为钝角三角形
